必修五余弦定理.pptx
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1、1直角三角形中的边角关系:直角三角形中的边角关系:CBAabc1 1、角的关系:、角的关系:A+B+C=180A+B=C=90 2 2、边的关系:、边的关系:a2+b2=c23 3、边角关系:、边角关系:sinA=cosBsinB=cosAacbc复习复习2CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2看一看想一想看一看想一想 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、b b不变,不变,角角C C进行变动进行变动勾股定理仍成立吗?勾股定理仍成立吗?c2=a2+b23是寻找解题思路的最佳途径是寻找解题思路的最佳途径 c=AcbCBa AB
2、c2=AB 2=AB AB AB=AC+CB AB AB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试!算一算试试!联想联想4证明:证明:向量法向量法若若 ABC为任意三角形,已知角为任意三角形,已知角C,BC=a,CA=b,求证:求证:bcABCa证明证明5同理可证同理可证:格式二:逆用公式格式二:逆用公式证明证明6bAacCB证明:以证明:以CB所在的直线为所在的直线为x轴,过轴,过C点点垂直于垂直于CB的直线为的直线为y轴,建立如图所轴,建立如图所示的坐标系,则示的坐标系,则A、B、C三点的坐标三点的坐标分别为:分别为:xy解析法解析法证明证明7ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时几何法几
3、何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理的余弦定理作为勾股定理的推广,考虑借助勾股定理推广,考虑借助勾股定理来证明余弦定理。来证明余弦定理。证明证明8证明:在三角形证明:在三角形ABC中,已知中,已知AB=c,AC=b和和A,作作CDAB,则,则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有:同理有:当然,对于钝角三角形来说,证明当然,对于钝角三角形来说,证明类似,课后类似,课后 自己完成。自己完成。D9余弦定理余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗你能用文字
4、说明吗?CBAabc 三角形任何一边的平方三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。积的两倍。归纳归纳10变一变乐在其中变一变乐在其中CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形变形归纳归纳11想一想:想一想:余弦定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立?形中是否仍然成立?cosC=a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=
5、c2 cosA=b2+c2-a2 2bc cosB=c2+a2-b2 2cacosA=cos B=acbc12问题问题1:勾股定理与余弦定理有何关系?勾股定理与余弦定理有何关系?勾股定理是余弦定理的特例,余弦勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2:公式的结构特征怎样?公式的结构特征怎样?(1)轮换对称,简洁优美)轮换对称,简洁优美;剖剖 析析 定定 理理(2)每个等式中有同一个三角形中的)每个等式中有同一个三角形中的四个元素,知三求一四个元素,知三求一.(方程思想)(方程思想)剖析剖析13思考:思考:已知两边及一边的对角时,已知两边及一边的对角时,我
6、们知道可用正弦定理来解三我们知道可用正弦定理来解三角形,想一想能不能用余弦定角形,想一想能不能用余弦定理来解这个三角形?理来解这个三角形?如:已知如:已知b=b=4 4,c=,C=,c=,C=6060求边求边a.a.14(3 3)已知)已知a a、b b、c c(三边),可(三边),可以求什么?以求什么?剖剖 析析 定定 理理剖析剖析P P1414例例3 3P P1515练习练习2,32,315剖剖 析析 定定 理理(4)能否把式子 转化为角的关系式?分析分析:剖析剖析16(1)已知三边求三个)已知三边求三个角;角;问题问题3:余弦定理在解三角形中的作用余弦定理在解三角形中的作用是什么?是什么
7、?(2)已知两边和它)已知两边和它们的夹角,求第三们的夹角,求第三边和其他两个角边和其他两个角.剖剖 析析 定定 理理剖析剖析P P1414例例1 1、例、例2 21718会用才是真的掌握了会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题?中能解决哪些问题?角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理运用运用19练一练:练一练:P P1515练习练习1 1,4 4 1、已知、已知ABC的三边为的三边为 、2、1,求它的最大内角。,求它的最大内角。解:不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1 则最大内角为A由余弦定理
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