高中立体几何大量习题及答案.doc
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1、立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题垂直于同一直线的两条直线互相平行;垂直于同一平面的两个平面互相平行;若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行;若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是( )A1 B2 C3 D42. 将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是( )A B C D3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是、,这个长方体对角线的长为( )A2 B3 C6 D4. 如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将ABC沿DE、
2、EF、DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为( )A90 B60C45 D05. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长 为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )A1个B2个C3个D无穷多个6. 正方体ABCDABCD的棱长为a,EF在AB上滑动,且|EF|=b(ba,Q点在DC上滑动,则四面体AEFQ的体积( )A与E、F位置有关 B与Q位置有关C与E、F、Q位置都有关 D与E、F、Q位置均无关,是定值7. 三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点O,点P到三个平面的距离比为123,PO=2
3、,则P到这三个平面的距离分别是( )A1,2,3B2,4,6C1,4,6D3,6,9 8. 如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1, S2,则必有( )AS1S2CS1=S2 DS1,S2的大小关系不能确定9. 条件甲:四棱锥的所有侧面都是全等三角形,条件乙:这个四棱锥是正四棱锥,则条件甲是条件乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P,P在底面上的射影为O,PO=a
4、,现用平行于底面的平面去截这个棱锥,截面交PO于点M,并使截得的两部分侧面积相等,设OM=b,则a与b的关系是( )Ab=(1)a Bb=(+1)a Cb= Db=11. 已知向量=(2,4,x),=(2,y,2),若|=6,则x+y的值是 ( )12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是( )A.12B. 18 C.36D. 613. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( )2020正视图20侧视图101020俯视图A B C D14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展
5、开图扇形的圆心角为 ( )A.1200 B.1500 C.1800 D.240015. 在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )16. 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=3,BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动,长为3的线段MN在棱CC1上移动,点R在棱BB1上移动,则四棱锥RPQMN的体积是( )A6 B10 C12 D不确定 17. 已知三棱锥OABC中,OA、OB、OC两两互相垂直,OC1,OAx,OBy,若x+y=4,则已知三棱锥OABC体积的最大值是 ( )A.1 B. C. D.18
6、. 如图,在正四面体ABCD中,E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心,则EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( )A B C D 19. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( ) A. B. C. D.20. 已知直线AB、CD是异面直线,ACAB,ACCD,BDCD,且AB=2,CD=1,则异面直线AB与CD所成角的大小为 ( )A300 B450 C600 D75021. 已知向量,且与互相垂直,则值是 ( )A B C D22. 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ( )A.4个 B.2个 C.3个 D.1个23. 三棱锥A-B
7、CD中,ACBD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH是( )A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形24. 在正四面体PABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )A.BC/平面PDFB.DF平面PAE C.平面PDF平面ABCD.平面PAE平面ABC25. 一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积的比为1:3,则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为( )A.1:3 B.1:2 C.1: D.1:26. 正四面体PABC中,M为棱AB的中点,则PA与CM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.27. 一个三棱锥SA
8、BC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为1,,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上,则这个球的表面积为( )A.16 B.32 C.36 D.6428. 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q是对角线A1C上的点,PQ=,则三棱锥PBDQ的体积为( )A. B. C. D.不确定29. 若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则P到平面ABC的距离为( )A. B. C. D.30. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( )A. B.2+ C.4+ D.31. PA、PB、PC是从P点出发的三
9、条射线,每两条射线的夹角均为60,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )A. B. C. D.32. 正方体ABCDA1B1C1D1中,任作平面与对角线AC1垂直,使得与正方体的每个面都有公共点,设得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则( )A.S为定值,l不为定值B.S不为定值,l为定值 C.S与l均为定值D.S与l均不为定值二、填空题33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_ABCDA1B1C1D1A134. 多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4,P是
10、正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:( )3; 4; 5; 6; 7以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)35. 如图,已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为. 36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对37. 如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为 .38. 如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等D是A1C1的 中点,则直线AD
11、 与平面B1DC所成角的正弦值为_ ACBC1B1A1P39. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面为直角三角形,ACB90,AC6,BCCC1,P是BC1上一动点,则CPPA1的最小值是_40. 已知平面和平面交于直线,P是空间一点,PA,垂足为A,PB,垂足为B,且PA=1,PB=2,若点A在内的射影与点B在内的射影重合,则点P到的距离为 _ 41. 若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积S= ,根据类比思想,若四面体内切球半径为R,四个面的面积为S1,S2,S3,S4,则四面体的体积V=_42. 四面体ABCD中,有如下命题:若ACBD,ABCD,则ADBC;若
12、E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小;若点O是四面体ABCD外接球的球心,则O在面ABD上的射影为ABD的外心;若四个面是全等的三角形,则ABCD为正四面体 _ (填上所有正确命题的序号)三、解答题43. 在长方体中,已知,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).44. 如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,.(1)证明AC;(2)若,求与平面ABC所成角的余弦值.45. 如图,在棱长为1的正方体中,是侧棱 上的一点,.(1)若直线与平面所成角的正切值为,求m;(2)在线段上是否存在一个定点,使
13、得对任意的,在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.46. 正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点,求证:PB平面MNB1。47. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.(1)求证:MN面ADD1A1;(2)求三棱锥PDEN的体积.PEDCBA48. 在四棱锥P-ABCD中,PBC为正三角形,AB平面PBC,ABCD,AB=DC,.(1)求证:AE平面PBC;(2)求证:AE平面PDC.49. 设空间两个不同的单位向量=(x1,y1,0),=(x2,y2,0)
14、与向量=(1,1,1)的夹角都等于. (1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求的大小(其中0.50. 如图,棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点.(1)证明:PBMB1;(2)在线段A1D1上求一点Q,使得QD平面B1MN;(3)画出这个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P、B两点间的距离.51. 矩形ABCD中,AB=3,BC=4(如图),沿对角线BD把ABD折起,使点A在平面BCD上的射影E落在BC上(1)求证:平面ACD平面ABC;(2)求三棱锥A-BCD的体积52. 如图,三棱锥P-AB
15、C中,ABC=,PA=1,AB=,AC=2,PA面ABC(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值;(2)求PC和面ABC所成角的正弦值;53. 已知三点,(1)求与的夹角;(2)求在方向上的投影.54. 有一块边长为4的正方形钢板,现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剰余部分围成一个长方体,该长方体的高是小正方形的边长(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1;(2)请你判断上述方案是否最佳方案,若不是,请设计一种新方案,使材料浪费最少,且所得长方体容器的容积V2V155. 如图,在正三棱
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