数列型不等式的证明.doc
《数列型不等式的证明.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数列型不等式的证明.doc(31页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、数列型不等式证明的常用方法一放缩法数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点,在多省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的一个重要方法,它具有很强的技巧性的特点,学生往往无从下手,下面总结放缩法证明的一些常用技巧,例如归一技巧、抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧,仅供参考.1 归一技巧归一技巧,指的是将不容易求和的和式中的所有项或若干项全部转化为同一项,或是将和式的通项中的一部分转化为同一个式子(或数值),既达到放缩的目的,使新的和式容易求和. 归一技巧有整体归一、分段归一。例如 设是正整数,求证【证明】.另外:.【说明】在这个证明中,第一次我们把、这些含的式子都“归一”为
2、,此时式子同时变小,顺利把不易求和的变成了个的和,既将式子缩小,同时也使缩小后的式子非常容易求和,这就是“归一”所达到的效果。而不等式右边的证明也类似.1.1 整体归一放缩法中,如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的,称之为“整体归一”.例1. 数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.()求数列的通项公式;() 设数列的前项和为 ,且,求证:对任意实数(是常数,2.71828)和任意正整数,总有 2;()解:由已知:对于,总有 成立 (n 2) -得均为正数, (n 2) 数列是公差为1的等差数列 又n=1时, 解得=1.() ()证明:对任意实数和任意正整数n,总有.
3、 (放缩通项,整体归一)(放缩通项,裂项求和) 例2.已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根,且(I)求,;(II)求数列的前项和;()记,求证:【分析】(1)略. ;时;(II)略. (III)本题应注意到以下三点,且具有周期性. ,这就有,虽有周期性,可周期为. 这就使当很大时,和式通项的符号增加了不确定性.很显然,当时,;当时,.纵然没有符号的问题,通项如何求和?也需要解决. ,本题相当于证明 基于以上三点,我们可以看到:等价于从第二项开始的项之和为非负数,可否考虑将第三项开始的项缩小,此时可以做两方面的“归一”,一是符号“归一”,二是分母的部分“归一”,两者都是要达到容易求和的目的.
4、 【解答】 当时,从第三项起“归一”为负= (3,4,5,n “归一”为2),至于不等式右边原理一样: (从第四项起“归一”为正 (4,5,n “归一”为3)又,原结论成立1.2 分段归一放缩法中,如果我们把和式分为若干段,每一段中的各个项都转化为同一项而达到放缩并容易求和的目的的,称之为“分段归一”.例3 已知数列和满足,数列的前和为.(1)求数列的通项公式;(2)求证:对任意的有成立分析:(1)略. (2)此问可以用数学归纳法证明,也可以用“分段归一”的放缩法解答.【解答】左边证明这里我们以,为界,将和式分为段,每段(),每段中的数对缩小归一为,这就使每一段的数缩小后和为,从而得证.至于不
5、等号右边,原理类似: 【说明】本题我们需要关注到不等号两边的性质:一方面,接着我们把不等式中间的和式除1外的部分拆分成段,每段都不小于;另一方面,接着我们把不等式中间的和式除外的部分拆分成段,每段都不大于;在归一放缩时,我们需要注意到题设的条件和式子的性质,它是我们考虑如何归一、往哪个地方归一的关键.2 抓大放小在将和式通项中,我们保留式子主要的、数值较大的部分,去掉次要的、数值相对较小的部分,以便达到放缩和容易求和的目的,这种放缩技巧,我们称之为“抓大放小”技巧.例如求证: 通项放缩为 , 求和即证。2.1直接抓大放小例4设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记.(I)求数列的通项公式
6、;(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有.【解答】()略. ()由()知(分母直接抓大放小)又当当 【说明】这里的分母阻碍了式子的求和,式子中,最大的是,他起到了决定整个这个式子数值大小的作用,相比它来说小很多,由此,我们能把留在,去掉,这里既能起到放大式子的要求,也能使通项转化为等比数列,使和式容易求和. 就象整棵大树,我们留下了主干,把枝梢末节的地方去掉了。2.2拆大抵小“拆”大“抵”小指的是通项中有一两个数值在放缩时无法直接消去,只能从主要的数值中拆出一部分出来与之相抵,达到放缩的效果.例5 设数列的前n项和为Sn,满足,且,成等差数列.(1) 求a1,a2,a3的值; (
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整 word 数列 不等式 证明
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【1587****927】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【1587****927】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。