固体物理晶格振动chap3.ppt
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1、一维双原子链的模型一维双原子链的模型一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链 两种原子两种原子m和和M _(M m)_ 构成一维复式格子构成一维复式格子 M原子位于原子位于2n-1,2n+1,2n+3 m原子位于原子位于2n,2n+2,2n+4 同种原子间的距离同种原子间的距离2a_晶格常数晶格常数 系统有系统有N个原胞个原胞包含个自由度包含个自由度 N个原胞,有个原胞,有2N个独立的方程个独立的方程 两种原子两种原子振动的振幅振动的振幅A和和B一般来说一般来说是不同的是不同的 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的
2、形式 A、B有非零的解,系数行列式为零有非零的解,系数行列式为零 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe+-+-=wwmm 一维复式晶格中存在一维复式晶格中存在两种独立的格波两种独立的格波 与与q之间存在着两之间存在着两种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在两种独立的格波两种独立的格波 光学波光学波 声学波声学波两种格波的振幅两种格波的振幅 光学波光学波 声学波声学波相邻原胞之间位相差相邻原胞之间位相差 M和和m原子振动方程原子振动方程1.q的取值的取值波矢波矢q的值的值采用周期性边界条
3、件采用周期性边界条件一维双原子链的布里渊区 h为整数为整数每个波矢的线度每个波矢的线度允许的允许的q值的数目值的数目 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目a.描写晶格振动的波矢描写晶格振动的波矢q只能取分立的值。只能取分立的值。b.对应一个对应一个q有两支格波:一支声学波和一支光学波有两支格波:一支声学波和一支光学波c.总的格波数目为总的格波数目为2N q的取值的取值重要结论1.晶体中的格波的支数原胞内原子的自由度J一种色散关系,即q,对应一支格波2.晶格振动的模式数晶体中原子的总自由度J一种振动模式对应一个(,q)2.色散关系的特点色散关系的特点 2.1 短波极限短波极限两种格波的频率两种格波的
4、频率因为因为 Mm出现出现“频率的禁带区频率的禁带区”不存在格波不存在格波频率间隙频率间隙2.2 长波极限长波极限A 声学波声学波应用应用 声学波的色散关系声学波的色散关系就是把一维链看作连续介质就是把一维链看作连续介质时的弹性波时的弹性波长声学波中相邻原子的振动长声学波中相邻原子的振动 原胞中的两个原子振动的振幅相同,振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同,振动方向一致 代表原胞质心的振动代表原胞质心的振动B光学波光学波 长波极限长波极限 长光学波同种原子振动位相一致,相邻原子振动相反长光学波同种原子振动位相一致,相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动,原胞中原子之间相对运动原胞质心保
5、持不变的振动,原胞中原子之间相对运动习题1.对于NaCl晶体,已知其恢复力常数 1.510-1N/cm。试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率和最低频率;声学支的最高频率。2.对于NaCl晶体,其密度2.18g/cm3,正负离子的平衡距离a2.8110-10m,光学支格波的最高频率是3.6010-13rad/s。试以一维双原子链模型计算:NaCl的恢复力常数;长声学波的波速;NaCl的体积模量。nCl和Na的原子量分别为35.5和23.0。例题例题 一维复式格子中,如果一维复式格子中,如果计算计算1)光光学学波波频频率率的的最最大大值值 和和最最小小值值 ,声声学学波波频频率率的最大值的最大值
6、 ;2)相应声子的能量相应声子的能量 ,和和 ;3)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段?波长在什么波段?4)在在 下,三种声子数目各为多少?下,三种声子数目各为多少?1)声学波的最大频率声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率光学波的最小频率2)相应声子的能量)相应声子的能量3)如如果果用用电电磁磁波波激激发发光光学学波波,要要激激发发 的的声声子子所所用用的的电电磁磁波波长在什么波段?波波长在什么波段?对应电磁波的能量和波长对应电磁波的能量和波长 要激发的声子所用的电磁波波长在红外波段要激发的
7、声子所用的电磁波波长在红外波段光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目3)某一特定谐振子具有激发能某一特定谐振子具有激发能的几率的几率根据归一化条件根据归一化条件归一化常数归一化常数频率为频率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量频率为频率为 谐振子的能量谐振子的能量第第i个个q态的平均数声子态的平均数声子光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目三维晶格的振动n三维晶格振动的动力学方程组三维晶格振动的动力学方程组nq q取值与倒格子空间取值与倒格子空间n布里渊区布里渊区n例题例题三维复式格子三维复式格子各原子偏离格点
8、的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目原子的质量原子的质量第第l个原胞的位置个原胞的位置原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子三维晶格振动的动力学方程组三维晶格振动的动力学方程组第第k个原子运动方程个原子运动方程 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数,其方程的解方程右边是原子位移的线性齐次函数,其方程的解将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件,得到系数行列式为零条件,得到3n个
9、个长波极限长波极限存在存在3个解个解 趋于一致趋于一致 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波 3n3支支长长波波极极限限的的格格波波描描述述一一个个原原胞胞中中各各原原子子间间的的相相对运动对运动 3n3支光学波支光学波即:1.晶体中的格波的支数原胞内的自由度数。2.若晶体中一个原胞中有n个原子组成,则有3n支格波,其中3支声学波、3n3支光学波。3.若晶体为二维结构,则有2n支格波,相应的有2支是声学波,2n-2支光学波。4.若晶体为一维结构,则有n支格波,相应的有1支声学波,n-1支光学波。金刚石有几支声学波,几支光学
10、波?q取值与倒格子空间波矢波矢 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢 倒格子基矢倒格子基矢 3个系数个系数采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件波矢波矢波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积倒格子原胞体积状态密度状态密度波矢的取值波矢的取值_ h1 h2 h3 原子振动波函数原子振动波函数波矢改变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢 不同原胞之间位相联系不同原胞之间位相联系 原子振动状态一样原子振动状态一样从原子振动考查,q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系为了得到所有不同的格波,也只需考虑一定范围的为了得到所有不同的格波,也只需考虑一定范围的q值值q的取值限制在一个
11、倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布里渊区 个取值个取值由于边界条件允许的q的分布密度为因此不同q的总数为倒格子原胞的体积对应于一个波矢对应于一个波矢q 3支声学波和支声学波和3n3支光学波支光学波总的格波数目总的格波数目结论:1.在简约布里渊区范围内,晶格中振动波矢q数晶格的原胞数,即存在N个波矢。2.晶格振动的模式数(振动状态数)晶体的总自由度数3nN正好等于晶体Nn个原子的自由度上述的格波已概括了晶体的全部振动模布里渊区Brillouin Zone n简约布里渊区/第一布里渊区:由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面,由这些平面所围成的最小体积。其体积倒格子原胞体积
12、环绕原点对称;是单连通区域n第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域为第二第二布里渊区布里渊区;第一、第二布里渊区与再次远垂直平分面所围成的区域为第三布里渊区第三布里渊区。各布里渊区关于原点对称。除第一布里渊区外,其它区并不是但连通区域。任一布里渊区的面积(二维)/体积(三维)之和倒易空间中原胞的体积。布里渊区的形状取决于晶体的布拉伐格子。n第一布里渊区实际是倒易点阵的维格纳赛茨原胞。二维布里渊区二维布里渊区 正方格子的布里渊区正方格子的布里渊区 正方格子的基矢正方格子的基矢倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢维格纳赛茨原胞Wigner-Seitz 简化版作法n为了确定WS原胞,实际上往往只需作出
13、由原点到最近邻及次近邻的连接直线,再检查它们的垂直平分面在原点附近所围成的凸多面体的体积是否与原胞体积相等而决定是否需要作更多的连接直线。1.最近邻、次近邻是否围成闭合多面体2.检查围成的多面体体积?=原胞体积3.点阵的格点处于原胞的中心4.WS原胞只含一个格点,其体积=原胞体积 第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点倒格子空间离原点最近的四个倒格点垂直平分线方程垂直平分线方程 第一布里渊区第一布里渊区大小大小 第第二二布布里里渊渊区区:第第一一布布里里渊渊区区界界面面与与次次远远垂垂直直平平分分面面所所围围成的区域成的区域由由4个倒格点个倒格点 第二布里渊区大小第二布里渊区
14、大小的的垂垂直直平平分分线线和和第第一一布里渊区边界所围成布里渊区边界所围成由由4个倒格点个倒格点 第第三三布布里里渊渊区区:第第一一、第第二二布布里里渊渊区区边边界界与与再再次次远远垂垂直直平平分面所围成的区域分面所围成的区域第三布里渊区大小第三布里渊区大小的的垂垂直直平平分分线线和和第第二二布布里渊区边界边界所围成里渊区边界边界所围成第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第三布里渊区 正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形成 正方格子其它布里渊区的形状正方格子其它布里渊区的形状 每个布每个布里渊区经过适里渊区经过适当的平移之后当的平移之后和第一布里渊和第一布里渊区重合区重合 二维
15、六角格子其它布里渊区的形成二维六角格子其它布里渊区的形成 二维六角格子其它布里渊区的形状二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里每个布里渊区经过适当渊区经过适当的平移之后和的平移之后和第一布里渊区第一布里渊区重合重合 二维斜格子的第一布里渊区二维斜格子的第一布里渊区 三维三维简单立方简单立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为简单立方 原点和六个近邻格点连线的垂直平分面,简单立方*三维三维体心立方体心立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为面心立方 原点和十二个近邻格点连线的垂直平分面,正十二面体*三维三维面心立方面心立方结构晶格点阵的简约布
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