[高一数学]不等式恒成立问题的处理.doc
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1、不等式恒成立问题的处理恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:一次函数型;二次函数型; 其他类不等式恒成立一、一次函数型nmoxy给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于同理,若在m,n内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围。解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0,故有:即解得:x3.例2. 已知(其中a为正常数),若当x在区间1,2内任意取值时,P的值恒为正,求b的取值范围。解:P变形为 设 因此,原题变为当t在
2、区间0,1内任意取值时,f(t)恒为正,求b的取值范围。由充要条件,当(1) 或 (2)解(1)得解(2)得故,当时, 当例3 设,若当时,P0恒成立,求x的变化范围。解:设当时的图像是一条线段,所以a在上变动时,P恒为正值的充要条件是 即 解得即x的取值范围是二、 二次函数型(1)当二次函数的定义域为R时: 若二次函数y=ax2+bx+c (a0)大于0恒成立,则有若二次函数y=ax2+bx+c (a0)小于0恒成立,则有例1.若函数在R上恒成立,求m的取值范围。略解:要使在R上恒成立,即在R上恒成立。 时, 成立 时,由,可知,例2已知函数的定义域为R,求实数的取值范围。解:由题设可将问题
3、转化为不等式对恒成立,即有解得。所以实数的取值范围为。练习1:.已知函数,在R上恒成立,求的取值范围。(2)当二次函数的定义域不是R时,即二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解;有时也可以转化为求最值。例1:若时,恒成立,求的取值范围。解:,令在上的最小值为。当,即时, 又 不存在。当,即时, 又 当,即时, 又 总上所述,。变式2:若时,恒成立,求的取值范围。解法一:分析:题目中要证明在上恒成立,若把移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。 略解:,即在上成立。 22综上所述,。解法二:(利用根的分布情况知识)当,即时, 不
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