中考数学专题训练-旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补.doc
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1、几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补知识关联图真题演练【练1】 (2013北京中考)在中,(),将线段绕点逆时针旋转60得到线段(1)如图1,直接写出的大小(用含的式子表示);(2)如图2,判断的形状并加以证明;(3)在(2)的条件下,连结,若,求的值 【练2】 (2012年北京中考)在中,是的中点,是线段上的动点,将线段绕点顺时针旋转得到线段(1)若且点与点重合(如图1),线段的延长线交射线于点,请补全图形,并写出的度数;(2)在图2中,点不与点重合,线段的延长线与射线交于点,猜想的大小(用含的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的,当点在线段上运动到某一位置(不与点,重合)时,
2、能使得线段的延长线与射线交于点,且,请直接写出的范围例题精讲考点1:手拉手模型:全等和相似包含:等腰三角形、等腰直角三角形(正方形)、等边三角形伴随旋转出全等,处于各种位置的旋转模型,及残缺的旋转模型都要能很快看出来(1)等腰三角形旋转模型图(共顶点旋转等腰出伴随全等) (2)等边三角形旋转模型图(共顶点旋转等边出伴随全等) (3)等腰直角旋转模型图(共顶点旋转等腰直角出伴随全等) (4)不等边旋转模型图(共顶点旋转不等腰出伴随相似) 【例1】 (14年海淀期末)已知四边形和四边形都是正方形 ,且(1)如图,连接、求证:;(2)如图,如果正方形的边长为,将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得,
3、求的度数;请直接写出正方形的边长的值【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型,突破口常见的有哪些信息?常见的考试方法有哪些?【例2】 (2014年西城一模) 四边形是正方形,是等腰直角三角形,连接,为的中点,连接,。(1)如图24-1,若点在边的延长线上,直接写出与的位置关系及的值;(2)将图24-1中的绕点顺时针旋转至图24-2所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;ACDGEFB图111124-1图24-2ACDGEFB【题型总结】此类型题目方法多样,你还能找到其他的解题方法吗?另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种?【例3】 (2015
4、年海淀九上期末)如图1,在 中,以线段为边作,使得, 连接,再以为边作,使得,(1)如图2 ,当且时,用等式表示线段之间的数量关系;图1(2)将线段沿着射线的方向平移,得到线段,连接若 ,依题意补全图3, 求线段的长;请直接写出线段的长(用含的式子表示) 图2 图3 备用图【例4】 (13年房山一模) (1)如图1,和都是等边三角形,且、三点共线,联结、相交于点,求证:(2)如图2,在中,分别以、和为边在外部作等边、等边和等边,联结、和交于点,下列结论中正确的是_(只填序号即可);(3)如图2,在(2)的条件下,求证: 图1图2【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小,夹角都为旋转与最短路程问
5、题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题,同时与旋转有关路程最短的问题,比较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换 考点2: 角含半角模型:全等秘籍:角含半角要旋转:构造两次全等【例1】 (2012年西城期末)已知:如图,正方形的边长为a,分别平分正方形的两个外角,且满足,连结,猜想线段,和之间的等量关系并证明你的结论 【例2】 (2014年平谷一模)(1)如图1,点分别是正方形的边上的点,连接, 则之间的数量关系是:连结,交于点,且 满足,请证明这个等量关系;(2)在中, ,点分别为边上的两点如图2,当,时,应
6、满足的等量关系是_;如图3,当,时,应满足的等量关系是_【参考:】【题型总结】角含半角的特点有哪些,哪些是不变的量?由角含半角产生的数量关系都是有哪些?如何描述这类题目的辅助线?考点3:对角互补模型常和角平分线性质一起考,一般有两种解题方法(全等型90)(全等型120) (全等型任意角) 【例1】 四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形,其中和都是直角,另一条对角线的长度为,求四边形的面积【例2】 已知:点是的平分线上的一动点,射线交射线于点,将射线绕点逆时针旋转交射线于点,且使(1)利用图1,求证:;(2)如图1,若点是与的交点,当时,求与的比值; 图1 图2 【题型总结】对角互补模型
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