中考数学-二次函数存在性问题-及参考答案.doc
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1、 中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图,把抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线.所得抛物线与轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与轴交于点C,顶点为D.(1)写出的值;(2)判断ACD的形状,并说明理由;(3)在线段AC上是否存在点M,使AOMABC?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.2.如图,已知抛物线经过A(2,0),B(3,3)及原点O,顶点为C(1)求抛物线的解析式;(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,
2、过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由二、二次函数中面积的存在性问题3.如图,抛物线与双曲线相交于点A,B已知点B的坐标为(2,2),点A在第一象限内,且tanAOX4过点A作直线AC轴,交抛物线于另一点C(1)求双曲线和抛物线的解析式;(2)计算ABC的面积;(3)在抛物线上是否存在点D,使ABD的面积等于ABC的面积若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由xyCB_D_AO4.如图,抛物线yax2c(a0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(2,0),B(1, 3)(1
3、)求抛物线的解析式;(3分)(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;(2分)(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使SPAD4SABM成立,求点P的坐标(4分)(4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大,若有,求出点Q的坐标,若没有,请说明理由。三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.如图,ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线经过A,B两点,抛物线的顶点为D(1)求b,c的值;(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时
4、,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下:求以点、为顶点的四边形的面积;在抛物线上是否存在一点P,使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.如图,直线交轴于A点,交轴于B点,过A、B两点的抛物线交轴于另一点C(3,0). 求抛物线的解析式;OCBA 在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 7如图,二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-,0)、B(2,0)两点,且与y轴交于点C;(1)
5、求该拋物线的解析式,并判断ABC的形状;(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标; (3) 在此拋物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。yABCOx六、二次函数中菱形的存在性问题8如图,已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D直线y=2x1经过抛物线上一点B(2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F(1)求m的值及该抛物线对应的解析式;(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若SADP=SADC,求出所
6、有符合条件的点P的坐标;(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由1、【答案】解:(1)由平移的性质知,的顶点坐标为(,), 。 (2)由(1)得. 当时, 解之,得。 . 又当时,C点坐标为(0,3)。又抛物线顶点坐标D(1,4),作抛物线的对称轴交轴于点E,DF 轴于点F。易知在RtAED中,AD2=22+42=20,在RtAOC中,AC2=32+32=18, 在RtCFD中,CD2=12+12=2, AC2 CD
7、2AD2。ACD是直角三角形。(3)存在作OMBC交AC于M,点即为所求点。由(2)知,AOC为等腰直角三角形,BAC450,AC。由AOM ABC,得。即。过M点作MGAB于点G,则AG=MG=,OG=AOAG=3。又点M在第三象限,所以M(,)。 2、【答案】解:(1)设抛物线的解析式为,抛物线过A(2,0),B(3,3),O(0,0)可得,解得。抛物线的解析式为。(2)当AE为边时,A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,DE=AO=2,则D在轴下方不可能,D在轴上方且DE=2,则D1(1,3),D2(3,3)。当AO为对角线时,则DE与AO互相平分。点E在对称轴上,且线段AO的中点横
8、坐标为1,由对称性知,符合条件的点D只有一个,与点C重合,即C(1,1)。故符合条件的点D有三个,分别是D1(1,3),D2(3,3),C(1,1)。(3)存在,如图:B(3,3),C(1,1),根据勾股定理得:BO2=18,CO2=2,BC2=20,BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形。假设存在点P,使以P,M,A为顶点的 三角形与BOC相似,设P(,),由题意知0,0,且,若AMPBOC,则。即 +2=3(2+2)得:1=,2=2(舍去)当=时,=,即P(,)。若PMABOC,则,。即:2+2=3(+2)得:1=3,2=2(舍去)当=3时,=15,即P(3,15)故符合条件的点P有两个
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