安徽省合肥市一六八中2024-2025学年数学高二下期末联考模拟试题含解析.doc

安徽省合肥市一六八中2024-2025学年数学高二下期末联考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．最低气温低于的月份有个
B．月份的最高气温不低于月份的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份
D．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关
2．已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式为.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（ ）
A．60千米/时 B．80千米/时 C．90千米/时 D．100千米/时
4．展开式的系数是（ ）
A．-5 B．10 C．-5 D．-10
5．.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）
A． B． C． D．
6．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为
A．18 B．24 C．28 D．36
7．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
8．在中， ，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
9．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是

A． B．
C． D．
11．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
12．设，则的展开式中的常数项为
A．20 B．-20 C．120 D．-120
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知、满足，则的最小值为________.
14．若点的柱坐标为，则点的直角坐标为______；
15．在平面几何中，若正方形的内切圆面积为外接圆面积为则，推广到立体几何中，若正方体的内切球体积为外接球体积为，则_______．
16．在极坐标系中，曲线被直线所截得的弦长为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.
（1）求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）设点，l和C交于A，B两点，求.
18．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围．
19．（12分）已知与之间的数据如下表：

（1）求关于的线性回归方程；
（2）完成下面的残差表：

并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）.
附：，，，.
20．（12分）如图，在以为顶点的多面体中，平面，平面，．
（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．

21．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
（1）设是参数，若，求直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，设且,求实数的值.
22．（10分）一个盒子里装有个均匀的红球和个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为.
（1）求，的值；
（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．
【详解】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．
在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；
在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；
在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；
故选：A．
本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
2、C
【解析】
利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意这个特殊元素的处理.
【详解】
已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为个.
故选C.
3、C
【解析】
分析：先设速度为x千米/小时，再求出函数f(x)的表达式，再利用导数求其最小值.
详解：当速度为x千米/小时时，时间为小时，
所以f(x)=
所以
令
当x∈（0,90）时，函数f(x)单调递减，当x∈（90,120）时，函数f(x)单调递增.
所以x=90时，函数f(x)取得最小值.
故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 如果求函数在开区间内的最值，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值．
4、D
【解析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x）5展开式x3的系数．
【详解】
解：根据（1﹣x）5展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣x）r，令r＝3，可得x3的系数是﹣＝﹣10，
故选：A．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
5、A
【解析】
设切点，根据导数的几何意义，在切点处的导数是切点处切线的斜率，求.
【详解】
设切点，
，解得 .
故选A.
本题考查了已知切线方程求参数的问题，属于简单题型，这类问题的关键是设切点，利用切点既在切线又在曲线上，以及利用导数的几何意义共同求参数.
6、D
【解析】
分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。
详解：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有，另外3人派往2个地区，共有18种。
类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有，另外2人派往2个地区，共有18种。
综上一共有36种，故选D
点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步。
7、A
【解析】
根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【详解】
解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；
②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
在上的值为负数，故第三个图象满足；
③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选A．
本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．
8、B
【解析】
利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．
【详解】
因为,，所以，有．
整理得，故, 的形状为直角三角形．
故选：B．
余弦的二倍角公式有三个，要根据不同的化简需要进行选取．
．
在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可
9、D
【解析】
分析： 由得椭圆的短轴长为，可得，，可得，从而可得结果.
详解：由得椭圆的短轴长为，，
解得，
，设，
则，，
即，
，故选D.
点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
10、C
【解析】
根据且，可依次排除，从而得到答案.
【详解】
由图象知，且
中，，不合题意；中，，不合题意；
中，，不合题意；
本题正确选项：
本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除.
11、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
12、B
【解析】
先利用微积分基本定理求出的值，然后利用二项式定理展开式通项，令的指数为零，解出相应的参数值，代入通项可得出常数项的值。
【详解】
，
二项式的展开式通项为，
令，得，因此，二项式的展开式中的常数项为，
故选：B.
本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
此题考查线性规划问题，只需认真作出不等式表示的平面区域，把目标函数转化为截距式求值即可.
【详解】
作出不等式表示的平面区域，如图所示：

令，则，作出直线l: ,平移直线l，由图可得，当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最小值，得B(2，2),代入故填4.
本题主要考查学生的作图能力及分析能力，难度较小.
14、
【解析】
由柱坐标转化公式求得直角坐标。
【详解】
由柱坐标可知，所以
，所以直角坐标为。所以填。
空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换公式为。
15、
【解析】
由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果．
【详解】
正方形的内切圆半径为 外接圆半径为，半径比，面积比为半径比的平方，类比正方正方体内切球半径为 外接球半径为，径比，所以体积比是半径比的立方=，填．
立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果．
16、
【解析】
将直线和曲线的方程化为普通方程，可知曲线为圆，然后计算圆心到直线的距离和半径，则直线截圆所得弦长为。
【详解】
曲线的直角坐标方程为，直线，所以圆心到直线的距离为，
所求弦长为.故答案为：。
本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线与圆相交时弦长的计算，而计算直线截圆所得弦长，有以下几种方法：
①几何法：计算圆心到直线的距离，确定圆的半径长，则弦长为；
②弦长公式：将直线方程与圆的方程联立，消去或，得到关于另外一个元的二次方程，则弦长为或
（其中为直线的斜率，且）；
③将直线的参数方程（为参数，为直线的倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，则弦长为。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) .. (2) .
【解析】
（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.
（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.
【详解】
（1）消去参数α得，
即C的普通方程为.
由，得，（*）
将，代入（*），化简得，
所以直线l的倾斜角为.
（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），
即（t为参数），
代入并化简，得，
，
设A，B两点对应的参数分别为，，
则，，
所以，，所以.
本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（1）利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.（II）将原不等式分离常数得，构造函数，利用导数求得，由此求得的取值范围.
【详解】
解：（Ⅰ）的导数为，
可得切线的斜率为1，切点为，
切线方程为，即；
（Ⅱ）若在上恒成立，
可得在上恒成立，
令，则，
，可得在上单调递增，
则，
可得在上单调递增，
则，
则．
本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.
19、（1）；（2）良好.
【解析】
（1）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据公式计算并填写残差表；由公式计算相关指数，结合题意得出统计结论．
【详解】
（1）由已知图表可得，，，，
则，，
故.
（2）∵，∴，，，，，则残差表如下表所示，

∵ ，
∴，
∴该线性回归方程的回归效果良好.
本题考查了线性回归直线方程与相关系数的应用问题，是中档题．
20、（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）取BC的中点P，连接EP，DP，证明平面ABF∥平面EDP，可得结论；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．
试题解析：（1）如图，取中点，连接，则平面即为所求的平面.
显然，以下只需证明平面；
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，
∴.
又平面，平面，
∴平面，
又平面平面，
∴平面平面.
又平面，
∴平面，即平面.

（2）

过点作并交于，
∵平面，
∴，即两两垂直，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.在等腰梯形中，∵，
∴，
则.
∵，∴，
∴.
设平面的法向量，
由，得，
取，可得平面的一个法向量.
设直线和平面所成角为，
又∵，
∴，
故直线和平面所成角的正弦值为.
21、（1）(t为参数)；（2）.
【解析】
（1）先将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，代入，求得的值，由此求得直线的参数方程.（2）先求得曲线的直角坐标方程，然后将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，结合利用参数的几何意义列方程，解方程求得的值.
【详解】
（1）由得直线，代入，求得，故直线的参数方程为（为参数）.（2）由得.将代入并化简得，所以，由于在直线上，由得，即，化简得，解得（负根舍去）.
本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程及直线参数的运用，属于中档题.
22、（1），（2）
【解析】
（1）设该盒子里有红球个，白球个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出，．
（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率．
【详解】
解：（1）设该盒子里有红球个，白球个.根据题意得，
解方程组得，，
故红球有4个，白球有8个.
（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件.
设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件，则
设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件，则，
故.
因此，从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为.
本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，属于中档题．