2025年江苏省泰州市兴化一中数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年江苏省泰州市兴化一中数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的图象如图，设是的导函数，则（）

A． B．
C． D．
2．已知函数f（x）＝2x－1，（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
4．（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
5．已知复数为虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
6．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．从区间上任意选取一个实数，则双曲线的离心率大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
10．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A．34 B．55 C．78 D．89
11．二项式的展开式中的系数为，则（ ）
A． B． C． D．2
12．函数，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若（其中i是虚数单位），则实数_____.
14．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___
15．5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有_______种．（结果用数值表示）
16．复数的虚部是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）当时，若， ，求函数在闭区间上的值域；
（2）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.
18．（12分）已知函数.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）当时，若时，求证：.
19．（12分）已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．
(Ⅰ)求的值和这两项的二项式系数；
(Ⅱ)在的展开式中，求含项的系数（结果用数字表示）．
20．（12分） (1)已知可逆矩阵的逆矩阵为，求的特征值.
(2)变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是：变换对应用的变换矩阵是，求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.
21．（12分）已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若恒成立，求实数的值；
（3）设有两个极值点，求实数的取值范围，并证明.
22．（10分）2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为．

关注
不关注
合计
青少年
15

中老年

合计
50
50
100
（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？
（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附:参考公式，其中．
临界值表：

0.05
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由题意，分析、、所表示的几何意义，结合图形分析可得答案．
【详解】
根据题意，由导数的几何意义：
表示函数在处切线的斜率，
表示函数在处切线的斜率，
，为点和点连线的斜率，
结合图象可得：，
故选：D．
本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题．
2、C
【解析】
对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.
【详解】
当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数的值域为[0,++∞），满足题意.
当a＜0时，y=的值域为（2a,+∞）, y=的值域为[a+2,-a+2],
因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,
所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,
由题得2a＜1，即a＜，即a＜0.
当a＞0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[-a+2,a+2],
当a≥时，-a+2≤2a,由题得.
当0＜a＜时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.
综合得a的范围为a＜或1≤a≤2，
故选C.
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3、D
【解析】
分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
4、C
【解析】
设公差为，，，联立解得，故选C.
点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.
5、C
【解析】
，选C.
6、D
【解析】
根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.
【详解】
由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域

其中，，，，
，
，
又
又
阴影区域面积为：
即点集所表示的图形的面积为：
本题正确选项：
本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.
7、D
【解析】
分析：求出m的取值范围，利用几何概型的计算公式即可得出.
详解：由题意得，
，解得，即
.
故选：D.
点睛：几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
8、D
【解析】
根据复数的模长公式进行计算即可．
【详解】
z＝8+6i，则8﹣6i，则||10，
故选：D．
本题主要考查复数的模长的计算，根据条件求出是解决本题的关键．
9、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
10、B
【解析】
试题分析：由题意，①②③
④⑤⑥⑦⑧，从而输出，故选B.
考点：1.程序框图的应用.
11、A
【解析】
利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．
【详解】
二项式（ax+）6的展开式中通项公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，则T6=××a2x2．
∵x2的系数为，∴×a2=，解得a=2．
则x2dx=x2dx==．
故选：A．
用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加
12、C
【解析】
分析：利用均值定理可得≥2，中的，即≤2，所以a≤0
详解：
由均值不等式得≥2，当且仅当x=0取得
≤2，
，当a≤0时，≥2，≤2
故本题选C
点晴：本题是一道恒成立问题，恒成立问题即最值问题，本题结合均值，三角函数有界性等综合出题，也可以尝试特殊值方法进行解答

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由可知，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.
【详解】
因为
所以
所以
本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.
14、1
【解析】
确定系统抽样间隔，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案．
【详解】
由系统抽样知，抽样间隔，
因为样本中含编号为28的产品，
则与之相邻的产品编号为12和44，
故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，1，即最大编号为1．
本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
15、72
【解析】
首先对除甲乙外的三名同学全排列，再加甲乙插空排入，根据分步乘法计数原理可得到结果.
【详解】
将除甲乙外的三名同学全排列，共有：种排法
甲、乙插空排入，共有：种排法
根据分步乘法计数原理可得排法共有：种排法
本题正确结果：
本题考查排列问题中的不相邻问题的求解，关键是明确解决不相邻的问题可采用插空的方式来进行求解.
16、
【解析】
试题分析：因为，，所以，复数的虚部是．
考点：复数的代数运算，复数的概念．
点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2) 见解析
【解析】
分析：（1）利用，分别求得函数在区间上的表达式，并求得其值域.（2）首先判断出值域相同.当时，利用求得的值，并利用周期性的定义证明得函数是周期为的周期函数.同理可证明当，函数也为周期函数.
详解：
（1）当时， ，
当时，即，
由得，则，
当时，即，
由得，则，
当时，即，
由得，
综上得函数在闭区间上的值域为.
（2）（证法一）由函数的值域为得， 的取值集合也为，
当时， ，则，即.
由得，
则函数是以为周期的函数.
当时， ，则，即.
即，则函数是以为周期的函数.
故满足条件的函数为周期函数.
（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，
当时，对，有，
对，有，则不可能；
当时，即， ，
由的值域为得，必存在，使得，
仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一.
点睛：本小题主要考查分段函数的性质，考查利用抽象函数的关系式求解函数在不同区间上的表达式的方法，考查函数周期性的证明.题目第一问，已知条件给定函数在区间上的表达式，结合，容易想到要利用分段的方法，求解出函数在每个长度为的区间上的表达式，从而求得函数的值域.
18、（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.
【解析】
（1）对求导后讨论的范围来判断单调性；
（2）构造函数，借助得到，设，使得，设，根据该函数性质即可证明
【详解】
（1）由题意可知，，，
（i）当时，恒成立，
所以函数在上单调递增；
（ii）当时，令，得，
①当，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减；
②当，即时，
在上，，函数在上单调递增；
在上，，函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：令，
由题意可得，不妨设.
所以，于是.
令，，则，
，.
令，
则，在上单调递增，
因为，所以，且，
所以，即.
本题考察（1）用分类讨论的方法判断函数单调性；（2）多变量不等式要先化为单变量不等式，利用综合法证明猜想
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）285
【解析】
(Ⅰ)由题意知：得到，代入计算得到答案.
(Ⅱ)分别计算每个展开式含项的系数，再把系数相加得到答案.
【详解】
解：（Ⅰ）∵，∴，
∴；
（Ⅱ）方法一：含项的系数为
.
方法二：
含的系数为.
本题考查了展开式的二项式系数，特定项系数，意在考查学生的计算能力.
20、（1），.（2）
【解析】
(1)根据得出的逆矩阵，结合特征值的性质即可求解;
(2)先求出,再求点的变换，从而利用函数求出变换作用下所得曲线的方程.
【详解】
（1）解：由可知，

所以，，
所以，；
所以，，
由，，.
（2）.
设变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，
也就是，即，
所以所求曲线的方程是.
本题主要考查了逆矩阵、特征值以及矩阵变换等知识，意在考查运算求解能力，属于中档题.
21、（1）0；（2）1；（2），证明见解析.
【解析】
（1）先求的定义域，然后对求导，令寻找极值点，从而求出极值与最值；
（2）构造函数，又，则只需恒成立，再证在处取到最小值即可；（3）
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根，由此可得的取值范围，，由根与系数可知及范围为，代入上式得，利用导函数求的最小值即可.
【详解】
（1），
，
令G′(x)>0,解得x>1,此时函数G(x)单调递增，
令G′(x)<0,解得0<x<1,此时函数G(x)单调递减，
又G′(1)=0,∴x=1是函数G(x)的极小值点,也是最小值，且G(1)=0.
当时，的最小值为0.
（2）令，则.
所以即恒成立的必要条件是，
又，由得：.
当时，，知，
故，即恒成立.
（3）由，得.
有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，即：
，解得.
由，得，其中.
所以.
设，得，
所以，即.
本题考查导数的应用,包括利用导数求函数的最值、利用导数求参数取值范围，不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决.属于难题.
22、 (1) 有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关(2)
【解析】
试题分析：(1)依题意完成列联表，计算，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，计算出数学期望值.
试题解析：(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有人,“中老年”共有人.
完成的2×2列联表如：

关注
不关注
合计
青少年
15
30
45
中老年
35
20
55
合计
50
50
100
则
因为，，所以有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关
(2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问,的取值可以为0,1,2,3,则
,,,.

0
1
2
3

所以的分布列为数学期望