北京市西城区外国语学校2025届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

北京市西城区外国语学校2025届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
2．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝(　　)
A．－62 B．62 C．32 D．－32
3．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（　）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
6．已知a，b∈R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到组数据，，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
8．在极坐标系中，与关于极轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值（ ）

A． B． C． D．
10．已知函数的图象如图，则与的关系是：（　　）

A． B．
C． D．不能确定
11． “”是“”成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知集合，若，则＝(　 　)
A．或 B．或 C．或 D．或或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知下列命题：
①若，则“”是“”成立的充分不必要条件；
②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为16；
③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；
④若命题：，则：
其中为真命题的是__________（填序号）．
14．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
15．若以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________.
16．已知∈R，设命题P：；命题Q：函数只有一个零点.则使“PQ”为假命题的实数的取值范围为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；
（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.
18．（12分）5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．

（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；
（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；
（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．
19．（12分）某工厂甲、乙两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，甲、乙两条生产线生产的产品为合格品的概率分别为相.

（1）若从甲、乙两条生产线上各抽检一件产品。至少有一件合格的概率为.求的值：
（2）在（1）的前提下，假设每生产一件不合格的产品，甲、乙两条生产钱损失分别为元和元，若从两条生产线上各随机抽检件产品。估计哪条生产线的损失较多？
（3）若产品按照一、二、三等级分类后销售，每件可分别获利元，元，元，现从甲、乙生产线各随机抽取件进行检测，统计结果如图所示。用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量为件时利润的期望值.
20．（12分）已知函数在处取得极大值为.
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程.
21．（12分）已知函数.若是的极值点.
(1)求在上的最小值；
(2)若不等式对任意都成立,其中为整数,为的函数,求的最大值.
22．（10分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.
【详解】
设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故
,又在圆上,故,
即即
故选：B
本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.
2、B
【解析】
先根据a2与2a4的等差中项为18求出，再利用等比数列的前n项和求S5.
【详解】
因为a2与2a4的等差中项为18，所以，
所以.
故答案为：B
(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，考查等差中项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 等比数列的前项和公式：.
3、B
【解析】
确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，可知，
利用条件概率的计算公式，可得，故选B.
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4、D
【解析】
先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果．
【详解】
由题意，函数的部分图象，
可得，即，所以，
再根据五点法作图，可得，求得，
故．
函数的图象向左平移个单位，可得
的图象，
则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象，
故选：D．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5、A
【解析】
试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即。分别令得又与的交点为，故选A。
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
6、A
【解析】
根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：因为，
若，则等式成立，即充分性成立，
若成立，即，所以解得或
即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．
7、D
【解析】
分析：根据回归直线方程经过 的性质，可代入求得，进而求出的值．
详解：由 ，且可知

所以
所以选D
点睛：本题考查了回归直线方程的基本性质和简单的计算，属于简单题．
8、B
【解析】
直接根据极轴对称性质得到答案.
【详解】
在极坐标系中，与关于极轴对称的点是.
故选：.
本题考查了极轴的对称问题，属于简单题.
9、C
【解析】
分析：由题意知，分别求出相应的概率，由此能求出.
详解：由题意知，
；
；
；
；
.
故选：C.
点睛：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.
10、B
【解析】
通过导数的几何意义结合图像即得答案.
【详解】
由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在
B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.
本题主要考查导数的几何意义，比较基础.
11、A
【解析】
首先画出函数的图像，求解不等式的解集，然后判断两个集合的包含关系，根据包含关系判断选项.
【详解】
如图:的图像

由图像可知恒成立，所以解集是，是的真子集，所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选A.
本题考查了充分不必要条件的判断，属于基础题型.
12、C
【解析】
或．故选C．
点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合．2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解．3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①③
【解析】
逐一分析所给的各个说法：
①∵a，b，c∈R，
∴“ac2>bc2”⇒“a>b”，
反之，当时，由不成立。
若，则“”是“”成立的充分不必要条件；
故①正确；
②若椭圆的两个焦点为F1,F2,且弦AB过点F1，
则△ABF2的周长为4a=20，故②不正确；
③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，
则p是假命题，所以命题q一定是真命题，故③正确；
④若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0，则¬p:∀x∈R,x2+x+1⩾0，故④错误。
故答案为：①③。
14、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
15、
【解析】
由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.
【详解】
以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，共有个点，
而点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有个点： ，
所以概率
故得解．
本题考查古典概型，属于基础题.
16、
【解析】
分析：通过讨论，分别求出为真时的的范围，根据 为假命题，则命题均为假命题，从而求出的范围即可．
详解：命题中，当时，符合题意．
当时， ，则 ，
所以命题为真，则，
命题中，∵，
由 ，得 或，此时函数单调递增，
由，得，此时函数单调递减．
即当时，函数 取得极大值，
当时，函数取得极小值，
要使函数只有一个零点，则满足极大值小于0或极小值大于0，
即极大值 ，解得 ．
极小值 ，解得 ．
综上实数的取值范围：或．
为假命题，则命题均为假命题．
即或 ，

即答案为
点睛：本题考查了复合命题的判断及其运算，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ; (2)．
【解析】
由已知函数的定义域均为,且.
(1)函数,
因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．
(2)命题“若使成立”等价于 “当时，有”．
由（1），当时，，．
问题等价于：“当时，有”．
当时，由（1），在上为减函数，
则=，故．
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
所以，=，．
所以，，与矛盾，不合题意．
综上，得．
考点：1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变换.
18、（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.
【解析】
（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率；
（2）根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；
（3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人,由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数
【详解】
解：（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,
分数小于50的概率是,
所以估计总体中分数小于50的概率0.1
（2）根据频率分布直方图，
第六组的频率为0.04×10=0.4,第七组频率为0.02×10=0.2,
此分数为
（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人,
所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,
又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,
所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷=180人,
故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200×=540人
本题考查概率、频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力,是基础题．
19、 (1) (2) 乙生产线损失较多. (3)见解析
【解析】
（1）利用对立事件概率公式可得；
（2）根据二项分布的期望公式可得；
（3）根据统计图得三个等级的概率，求出随机变量的分布列，利用公式求得期望．
【详解】
（1）由题意，知，解得.
（2）由（1）知，甲生产线产品不合格率为，乙生产线产品不合格率为.
设从甲、乙生产线各随机抽检件产品，
抽到不合格品件数分别为和，则，，
所以，甲、乙损失的平均数分别为
，.
所以，乙生产线损失较多.
（3）由题意，知，，.
因为，，，
所以的分布列为

所以，（元）．
所以，该产量为件时利润的期望值为元.
本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后由期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
20、 (1)；(2) .
【解析】
分析：（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可知；
（2）由（1）得，据此可得切线方程为.
详解：（1），
依题意得，
即，解得，经检验，符合题意.
（2）由（1）得，
∴.
，，
∴曲线在处的切线方程为，
即.
点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
21、（1）2；（2）2.
【解析】
分析：（1）求出函数的导数，求出a的值，根据函数的单调性求出函数的最小值即可；
（2）问题转化为，令，，根据函数的单调性求出k的范围即可.
详解：（1），由是的极值点，得，.
易知在上单调递减，在上单调递增，
所有当时，在上取得最小值2.
(2)由(1)知，此时，

，
令，，
，
令，，在单调递增，
且，，在时，，
，
由，，
又，且，所以的最大值为2.
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题.
22、（1）的单调增区间为，；单调减区间为（2）
【解析】
（1）函数求导数，分别求导数大于零小于零的范围，得到单调区间.
（2）根据（1）中的单调区间得到最大值.
【详解】
解：（1）
当时，，或；当时，．
∴的单调增区间为，；单调减区间为．
（2）分析可知的递增区间是，，递减区间是，
当时，；当时，．
由于，所以当时，．
本题考查了函数的单调区间，最大值，意在考查学生的计算能力.