广州顺德区2025年高二下数学期末经典模拟试题含解析.doc

广州顺德区2025年高二下数学期末经典模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数中，满足“且”的是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知集合，，则＝（　）
A． B． C． D．
4．函数在上有唯一零点，则的取值范围为
A． B． C． D．
5．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数是”为事件，则事件中恰有一个发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，且，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数至少有1个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
10．奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
12．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为，计算其相关系数为，相关指数为.经过分析确定点为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，相关指数为.以下结论中，不正确的是

A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.
14．设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是__________．
15．函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是________.
16．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明： .
18．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
19．（12分）数列满足，等比数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

21．（12分）己知抛物线：过点
（1）求抛物线的方程：
（2）设为抛物线的焦点，直线：与抛物线交于，两点，求的面积.
22．（10分）已知函数，其中为正实数.
（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有两个极值点，求证：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
试题分析：设
,故选C.

考点：解三角形.
2、C
【解析】
根据题意知，函数在上是减函数，根据选项判断即可。
【详解】
根据题意知，函数在上是减函数。
选项A，在上是增函数，不符合；
选项B，在上不单调，不符合；
选项C，在上是减函数，符合；
选项D，在上是增函数，不符合；综上，故选C。
本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。
3、B
【解析】
根据交集的概念，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】
在数轴上画出集合A和集合B，找出公共部分，如图，可知
故选B
本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.
4、C
【解析】
分析：函数有唯一零点，则即可
详解：函数为单调函数，且在上有唯一零点，
故
，解得
故选
点睛：函数为一次函数其单调性一致，不用分类讨论，为满足有唯一零点列出关于参量的不等式即可求解。
5、B
【解析】
由相互独立事件同时发生的概率得：事件，中恰有一个发生的概率是，得解．
【详解】
记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数是3”为事件，
则
∴事件，中恰有一个发生的概率是.
故选：B．
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型.
6、B
【解析】
根据已知，将选项代入验证即可.
【详解】
由，知且，
经检验符合题意，所以.
故选：B
本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.
7、C
【解析】
令，则函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点，对函数求导，讨论和时，函数的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数的取值范围。
【详解】
由题可得函数的定义域为；
令，则，函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点；
；
（1）当时，则在上恒成立，即函数在单调递增，当时，，当时，，由零点定理可得当时，函数在有且只有一个零点，满足题意；
（2）当时，令，解得：，令，解得：，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以要使函数至少有1个零点，则，解得：
综上所述：实数的取值范围是：
故答案选C
本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。
8、C
【解析】
根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可.
【详解】
函数,故函数是奇函数,图像关于原点对称,排除B,D,
当x＞0且x→0,f（x）＞0,排除A,
故选：C．
本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.
9、B
【解析】
由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。
【详解】
所求概率为.故选B.
本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题。
10、A
【解析】
根据函数为奇函数，以及上的单调性，判断出上的单调性，求得的值，对分为四种情况讨论，由此求得不等式的解集，进而求得的解集.
【详解】
由于函数为奇函数，且在上递减，故在上递减，由于，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故当或即或时，.所以不等式的解集为.故本小题选A.
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.
11、C
【解析】
分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：
，
计算的数值如下表所示：
底数
指数
幂值
5
1
5
5
2
25
5
3
125
5
4
625
5
5
3125
5
6
15625
5
7
78125
5
8
390625
5
9
1953125
5
10
9765625
据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，
所给选项中，只有2017除以8的余数为1，
则的值可以是2017.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12、B
【解析】
根据相关性的正负判断和的正负，根据两个模型中回归直线的拟合效果得出和的大小关系，将第一个模型中的样本数据中心点代入直线的方程得出的值，由两回归直线的倾斜程度得出两回归直线的斜率大小关系。
【详解】
由图可知两变量呈现正相关，故，且，故,
故正确，不正确.
又回归直线必经过样本中心点，所以，正确.
回归直线必经过样本中心点，所以，
所以，也可直接根据图象判断（比较两直线的倾斜程度），故正确。故选：B。
本题考查回归分析，考查回归直线的性质、相关系数、相关指数的特点，意在考查学生对这些知识点的理解，属于中等题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据题意得到圆柱底面圆半径为，高为，根据圆柱的体积公式，即可得出结果.
【详解】
因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，
则圆柱底面圆半径为，高为，
所以该圆柱的体积是.
故答案为：
本题主要考查旋转体的体积，熟记圆柱体积公式即可，属于基础题型.
14、
【解析】
分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.
详解：因为函数图象在处的切线方程是，，所以,
因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化
15、
【解析】
根据条件构造函数，其导数为，可知函数偶函数在时是减函数，结合函数零点即可求解.
【详解】
构造函数,其导数为，当时，，所以函数单调递减，又，
所以当时，，即，
因为为奇函数，所以为偶函数，所以当时，的解为，
即的解为，综上x的取值范围是.
本题主要考查了抽象函数，导数，函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点，属于难题.
16、​
【解析】
先求出最近路线的所有走法共有种，再求出不连续向上攀登的次数，然后可得概率.
【详解】
最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有种，故所求概率为.
本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当，取得极小值；当时，取得极大值；（2）见解析.
【解析】
【试题分析】(1)当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.(2)当时,化简原不等式得,分别利用导数求得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值, 最小值大于最大值,即可证明原不等式成立.
【试题解析】
（1）当时，，
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以，当，取得极小值；
当时，取得极大值．
（2）证明：当时，，，
所以不等式可变为．
要证明上述不等式成立，即证明．
设，则，
令，得，
在上，，是减函数；
在上，，是增函数．
所以．
令，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，
所以，即，即，
由此可知．
【点睛】本小题主要考查函数导数与极值的求法.考查利用导数证明不等式成立的问题. 求函数极值的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间,并得出是最大值还是最小值.
18、 (1) ，；(2) ，.
【解析】
(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】
(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
19、（1）,；（2）.
【解析】
分析：（1）由已知可得数列为等差数列，根据等差数列的通项公式求得；再求出和，进而求出公比，代入等比数列的通项公式，即可求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求出数列的前项和.
详解：解：（1），所以数列为等差数列，则；
，所以，则.
（2），
则

两式相减得
整理得.
点睛：本题主要考查等差数列、等比数列的定义与通项公式，考查错位相减法求数列前项和，考查学生运算求解能力.
错位相减法是必须掌握的求和方法之一：若，其中是公差为d的等差数列，是公比为的等比数列.具体运算步骤如下：
1、写出新数列的和.
……（1）
2、等式左右同时乘以等比数列部分的公比.
……（2）
3、两式相减.
（1）-（2）整理得：
注意：首项系数为正，末项系数为负，中间有项.
4、求.

最后再化简整理为最简形式即可.
20、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
21、（1）；（2）12.
【解析】
（1）将点的坐标代入抛物线方程中即可；
（2）联立方程组先求出，点坐标，进而利用两点间距离公式求出，然后利用点到直线距离公式求出的高，最后代入三角形面积公式求解即可.
【详解】
（1）点在抛物线上，
将代入方程中，有，解得，
抛物线的方程为.
（2）如图所示，由抛物线方程可知焦点，
则点到直线的距离为，
联立方程组，可解得，，
所以，，
所以，.

本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系以及抛物线性质的应用，涉及到的知识点包括两点的之间的距离公式和点到直线的距离公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力，属于基础题.
22、（1）1；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论
试题解析：(1)因为，所以，
则,所以的值为1．
(2) ，函数的定义域为，
若,即,则,此时的单调减区间为;
若,即,则的两根为,
此时的单调减区间为,,
单调减区间为．
(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．
因为

要证,只需证．
构造函数，则，
在上单调递增,又,且在定义域上不间断,
由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．
则在上递减, 上递增,所以的最小值为．
因为,
当时, ,则,所以恒成立．
所以,所以，得证．