福建省漳州市龙海程溪中学2024-2025学年高二下数学期末经典试题含解析.doc

福建省漳州市龙海程溪中学2024-2025学年高二下数学期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
3．已知函数图象经过点，则该函数图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数的共轭复数为，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
5．若直线：(为参数)经过坐标原点，则直线的斜率是
A． B．
C．1 D．2
6．若满足约束条件则的最大值为（ ）
A．5 B． C．4 D．3
7．设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．学生会为了调查学生对年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查人，得到如下数据：

不关注
关注
总计
男生
30
15
45
女生
45
10
55
总计
75
25
100
根据表中数据，通过计算统计量，并参考以下临界数据：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（ ）
A． B． C． D．
9．已知数列的前项和为，，若，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）．
A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上
11．证明等式 时，某学生的证明过程如下
（1）当n=1时， ，等式成立；
（2）假设时，等式成立，即，
则当时， ，所以当时，等式也成立，故原式成立.
那么上述证明（ ）
A．过程全都正确 B．当n=1时验证不正确
C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确
12．设集合，|，则（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为 ．
14．设全集，集合，，则_．
15．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.
16．若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

（1）计算，的值；
（2）若规定考试成绩在为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；
（3）若规定考试成绩在内为优秀，由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

附：，.

18．（12分）已知函数.
（1）设是的极值点，求的单调区间；
（2）当时，求证：.
19．（12分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线平行于轴.
（1）求实数的值；
（2）求函数的单调区间.
20．（12分）已知函数.
（1）求函数的定义域并判断奇偶性；
（2）若，求实数m的取值范围.
21．（12分）某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度，随机选取了名年龄在岁至岁的市民进行问卷调查，并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类.得到下表：
年龄

调查人数/名

了解“一带一路”倡议/名

（I）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为以岁为分界点对“一带一路”倡议的了解有差异（结果精确到）；

年龄低于岁的人数
年龄不低于岁的人数
合计
了解

不了解

合计

（Ⅱ）以频率估计概率，若在该地选出名市民（年龄在岁至岁），记名市民中了解“一带一路”倡议的人数为，求随机变量的分布列，数学期望和方差.
附：

，其中.
22．（10分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
，

故答案选
2、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
3、C
【解析】
首先把点带入求出，再根据正弦函数的对称轴即可．
【详解】
把点带入得，因为，所以，所以，函数的对称轴为．当，所以选择C
本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆常考三角函数的性质有：单调性、周期性、对称轴、对称中心、奇偶性等．属于中等题．
4、C
【解析】
根据共轭复数的概念，可得，然后利用复数的乘法、除法法则，可得结果.
【详解】
，
，
，
故选：C
本题考查复数的运算，注意细节，细心计算，属基础题.
5、D
【解析】
先由参数方程消去参数，再由直线过原点，即可得出结果.
【详解】
直线方程消去参数,得：，经过原点，
代入直线方程，解得：，所以，直线方程为：，斜率为2.
故选D
本题主要考查直线的参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可，属于基础题型.
6、A
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，

联立，可得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．
故选：A．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7、B
【解析】
分别将两个不等式解出来即可
【详解】
由得
由得
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若AÜB,则p是q的充分不必要条件，若AÝB，则p是q的必要不充分条件，若A=B，则p是q的充要条件.
8、A
【解析】
因为,所以若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过，故选A.
【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
9、C
【解析】
首先根据得到数列为等差数列，再根据，即可算出的值.
【详解】
因为，所以数列为等差数列.
因为，所以.
.
.
因为，所以.
故选：C
本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题.
10、C
【解析】
设动圆的半径为，然后根据动圆与圆及圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解.
【详解】
设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；
圆的圆心为，半径为1．
依题意得，则，
所以点的轨迹是双曲线的一支．
故选C．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11、A
【解析】
分析：由题意结合数学归纳法的证明方法考查所给的证明过程是否存在错误即可.
详解：考查所给的证明过程：
当时验证是正确的，归纳假设是正确的，从到的推理也是正确的，
即证明过程中不存在任何的问题.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法的概念及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12、C
【解析】
解出集合M中的不等式即可
【详解】
因为，
所以
故选：C
本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：椭圆的左焦点为，右焦点为，根据椭圆的定义，，∴
，由三角形的性质，知，当是延长线与椭圆的交点时，等号成立，故所求最大值为．

考点：椭圆的定义，三角形的性质．
14、
【解析】
利用已知求得：，即可求得：，再利用并集运算得解.
【详解】
由可得：或
所以
所以
所以
故填：
本题主要考查了补集、并集的运算，考查计算能力，属于基础题．
15、 [﹣，0]
【解析】
建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
【详解】
解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），
∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，
由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，
则•的取值范围是[，0]．
故答案为：[，0]．

本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．
16、4
【解析】
试题分析：由题意，．
考点：三视图与体积．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）；（3）有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异
【解析】
（1）由分层抽样的知识及题中所给数据分别计算出甲校与乙校抽取的人数，可得，的值；
（2）计算样本的优秀率，可得乙校的优秀率；
（3）补全列联表，计算出的值，对照临界表可得答案.
【详解】
解：（1）由题意知，
甲校抽取人，则，
乙校抽取人，则.
（2）由题意知，乙校优秀率为.
（3）填表如下表（1）.

甲校
乙校
总计
优秀
10
20
30
非优秀
45
30
75
总计
55
50
105
根据题意，
由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异.
本题主要考查了分层抽样及频率分布直方图的相关知识、独立性检验及其应用，属于中档题，注意运算准确.
18、（1）在上减，上增；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出函数的定义域以及导函数，由是的极值点可求出，即
，对导函数再次求导，判断导函数在上单调递增，由，进而可求出函数的单调区间.
（2）由，进而可得，记，研究函数
的单调性，求出的最小值，进而可得证.
【详解】
（1）解：的定义域为，，
由，
所以，又因为，
所以在上单调递增，注意到，
所以在上减，上增.
（2）由，所以,
记，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增 ，
所以是的最小值点，，故.
本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.
19、（1）（2）单调增区间为： 函数单调减区间为
【解析】
（1）根据题可知，由此计算出的值；
（2）写出并因式分解，讨论取何范围能使，由此求出单调递增、递减区间.
【详解】
（1）由题意，曲线在点处的切线斜率为0.
，
，
所以；
（2）由（1）知，，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以函数单调增区间为：；函数单调减区间为：.
本题考查导数的几何意义的运用以及求解具体函数的单调区间，难度较易.已知曲线某点处切线斜率求解参数时，可通过先求导，然后根据对应点处切线斜率等于导数值求解出参数.
20、（1）见解析；（2）或.
【解析】
（1）由，求得x的范围，可得函数y＝f（x）定义域，由函数y＝f（x）的定义域关于原点对称，且满足 f（﹣x）＝f（x），可得函数y＝f（x）为偶函数；（2）化简函数f（x）的解析式为所，结合函数的单调性可得，不等式等价于，由此求得m的范围．
【详解】
（1）由得,
所以的定义域为，又因为，所以偶函数.
（2）因为所以是[0，3）上的减函数,又是偶函数.
故解得或.
本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，复合函数的单调性，属于中档题．
21、（Ⅰ）填表见解析，有的把握认为以岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）由表格读取信息，年龄低于岁的人数共60人，年龄不低于岁的人数，代入公式计算；
（2）在总体未知的市民中选取4人，每位市民被选中的概率由频率估计概率算出，所以随机变量服从二项分布.
【详解】
解：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表

年龄低于岁的人数
年龄不低于岁的人数
合计
了解

不了解

合计

故有的把握认为以岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异.
（Ⅱ）由题意，得市民了解“一带一路”倡议的概率为，.
，，，
，，
则的分布列为

，.
本题要注意选取4人是在总体中选，而不是在100人的样本中选，如果看成是在样本中100人选4人，很容易误用超几何分布模型求解.
22、（1）；（2）
【解析】
分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先利用分段函数求得，再解不等式得到实数的取值范围.
详解：（1）当时，由得，
故有或或
∴或或，
∴或，
∴的解集为或.
（2）当时
∴
由得
∴
∴的取值范围为.
点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的最值的求法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论的思想方法.(2)解题的关键是求的最小值，这里要利用分段函数的图像求解.