2025届湖南省宁远县第一中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025届湖南省宁远县第一中学数学高二下期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为,则该几何体的体积为( )

A． B． C． D．
2．点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点.若在以为直径的圆上且满足，则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
3．一工厂生产某种产品的生产量（单位：吨）与利润（单位：万元）的部分数据如表所示：

从所得的散点图分析可知，与线性相关，且回归方程为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是( )
A． B． C． D．
5．如图，已知棱长为1的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）

A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若为真命题，则为真命题
B．命题“若，则”的否命题是真命题
C．命题“函数的值域是”的逆否命题是真命题
D．命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”
7．若复数满足为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
8．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
9．已知函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
10．下列不等式中正确的有( )
①；②；③
A．①③ B．①②③ C．② D．①②
11．某个命题与正整数有关，如果当时命题成立，那么可推得当 时命题也成立。现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得
A．当n=7时该命题不成立 B．当n=7时该命题成立
C．当n=9时该命题不成立 D．当n=9时该命题成立
12．设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．由曲线与围成的封闭图形的面积是__________．
14．已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.
15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和是16，则展开式中的含项的系数是_________．
16．设a、b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是：_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）已知四棱锥的底面是正方形，底面.

（1）求证：直线平面；
（2）当的值为多少时，二面角的大小为？
19．（12分）已知函数.
（1）证明：；
（2）若对任意的均成立，求实数的最小值.
20．（12分）已知椭圆过点，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于
的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.
21．（12分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限.
（I）求复数；
（Ⅱ）设，且，求实数的值.
22．（10分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。
（1）试写出销售量与n的函数关系式；
（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
该几何体为一棱长为6的正方体掏掉一个棱长为2的小正方体，再放置进去一个半径为1的球，所以体积为.
故选A.
2、D
【解析】
试题分析：根据题画图，可知P为圆与双曲线的交点，根据双曲线定义可知：，所以，又，即，所以，，双曲线离心率，所以。
考点：双曲线的综合应用。
3、C
【解析】
根据表格中的数据计算出和，再将点的坐标代入回归直线方程可求出实数的值.
【详解】
由题意可得，，
由于回归直线过样本中心点，则有，解得，故选：C.
本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
4、B
【解析】
先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.
【详解】
因为为奇函数，所以
因为，所以
因此选B.
本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
5、D
【解析】
根据与平面的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得夹角的正弦值。
【详解】
连接、相交于点M，连接EM、AM
因为EM⊥AB，EM⊥BC1
所以EM⊥平面
则∠EAM即为直线与平面所成的角
所以

所以
所以选D
本题考查了空间几何体线面的夹角关系，主要是找到直线与平面的夹角，再根据各长度求正弦值，属于中档题。
6、C
【解析】
采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假
【详解】
A. 若为真命题，则中有一个为真命题即可满足，但推不出为真命题，A错
B. 命题“若，则”的否命题是：“若，则”，当时，不满足，B错
C. 原命题与逆否命题真假性相同，的取值大于零，所以值域为，C为真命题
D. 命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”，D错
答案选C
四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称
7、A
【解析】
根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.
【详解】
由题意得：
本题正确选项：
本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.
8、D
【解析】
每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.
9、C
【解析】
利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.
【详解】
命题推不出命题q，所以充分性不具备；
比如：，区间为，满足命题p，但，
根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；
故选：C
本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.
10、B
【解析】
逐一对每个选项进行判断,得到答案.
【详解】
①,设函数,递减,,即,正确
②,设函数,在递增,在递减, ,即,正确
③,由②知,设函数,在递减,在递增,,即正确
答案为B
本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力.
11、A
【解析】
根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以选A.
【详解】
根据逆否命题和原命题的真假一致性得，
当时命题不成立，则命题也不成立，
所以当时命题不成立，则命题也不成立，
故答案为：A
(1)本题主要考查数学归纳法和逆否命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.
12、D
【解析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
分析：由于两函数都是奇函数，因此只要求得它们在第一象限内围成的面积，由此求得它们在第一象限内交点坐标，得积分的上下限．
详解：和的交点坐标为，
∴．
故答案为1．
点睛：本题考查用微积分定理求得两函数图象围成图形的面积．解题关键是确定积分的上下限及被积函数．
14、
【解析】
由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积.
【详解】
因为球的体积为，设球的半径为，
则，解得：，
因为球的大圆即是过球心的截面圆，
因此大圆的面积为.
故答案为：.
本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.
15、
【解析】
先由二项式系数之和求出，再根据二项展开式的通项公式，即可求出结果.
【详解】
因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和是16，
所以，即；
所以，
其二项展开式的通项为：，
令得，所以，
因此含项的系数是.
故答案为：.
本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
16、③
【解析】
试题分析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1．[来源:Z§
考点：不等式性质

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见证明；（2）
【解析】
（1）利用等比数列的定义可以证明；
（2）由（1）可求的通项公式，结合可得，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.
【详解】
证明：（1）∵，∴.
又∵，∴.
又∵，
∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.
解：（2）由（1）求解知，，
∴，
∴.
本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.
18、 (1)证明见解析；(2)1.
【解析】
分析：（1）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证平面；（2）设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，分别利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.
详解：（1）证明：∵平面，平面，∴，
∵四边形是正方形，∴，，∴平面.
（2）解：设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设，则，，，，
则，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，∴.
设平面的法向量为，，
令，又，则，∴.
要使二面角的大小为，必有，
∴，∴，∴.
即当时，二面角的大小为.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
(1)由可得,再构造函数,分析函数单调性求最值证明即可.
(2)根据题意构造函数,再根据的正负分析函数的单调性可知为最大值,进而求得实数的最小值即可.
【详解】
（1）证明：由,得,
.
设,
所以,函数在上单调递增,在单调递减,所以,.
又因为（其中）,
所以,,所以,成立.
（2）解：设,.
,
,
所以,.
下面证明当时,成立.

,
因为,所以,
所以.
又因为当时,,
所以,所以,
所以,当时,.
故,.所以,的最大值为,
所以,的最小值为.
本题主要考查了利用导数证明函数不等式的问题,同时也考查了数列中求最大值项的方法.需要构造数列求解的正负判断,属于难题.
20、（Ⅰ）. （Ⅱ）为定值.证明见解析．
【解析】
本试题主要是考出了椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的运用的综合考查，体现了运用代数的方法解决解析几何的本质的运用．
（1）首先根据题意的几何性质来表示得到关于a,b,c的关系式，从而得到其椭圆的方程．
（2设出直线方程，设点P的坐标，点斜式得到AP的方程，然后联立方程组，可知借助于韦达定理表示出长度，进而证明为定值．
（Ⅰ）解：由题意可知，，，
解得. …………4分
所以椭圆的方程为. …………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，
于是直线的方程为，令，则.
即. …………7分
又直线的方程为，令，则，
即. …………9分
…………11分
又在上，所以,即，代入上式，
得,所以为定值. …………12分
21、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）设,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出，再求a的值.
【详解】
解；（Ⅰ）设，则，

解得或（舍去）.
.
（Ⅱ），
，
，.
本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
22、 (1)(2)
【解析】
试题分析：
(1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.
(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.
试题解析：
（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知
，
由叠加法可得
即为所求。
（2）设当时，获利为元，
由题意知，，
欲使最大，则，易知，此时.
考点：叠加法求通项,求最值.