2024-2025学年云南省中央民族大学附属中学芒市国际学校数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年云南省中央民族大学附属中学芒市国际学校数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（）
A．-3 B．0 C．3 D．2019
3．函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是( )。
A． B． C．5 D．4
4．已知集合，，则＝（　）
A． B． C． D．
5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：

由公式算得：K2＝≈7.8.附表：

参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”
8．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．设集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝(　　)
A．{x|2≤x＜3} B．{x|－2≤x＜0}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|－2≤x＜3}
10．从中不放回地依次取2个数，事件 “第一次取到的数可以被3整除”, “第二次取到的数可以被3整除”，则( )
A． B． C． D．
11．下列命题中正确的个数是（ ）
①命题“若,则”的逆否命题为“若，则;
②“”是“”的必要不充分条件;
③若为假命题，则，为假命题;
④若命题,则，.
A． B． C． D．
12．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）
14．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是____.
15．函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是_____．
16．已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
（2）已知该厂现有名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？
18．（12分）在直角坐标系中，斜率为k的动直线l过点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）若直线l与曲线C有两个交点，求这两个交点的中点P的轨迹关于参数k的参数方程；
（2）在条件（1）下，求曲线的长度.
19．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

20．（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
21．（12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球
（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列.
22．（10分）2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.

（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．
详解：由，则成立，反之：如，则不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．
点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、B
【解析】
根据题意，由函数的奇偶性分析可得，函数是周期为4的周期函数，据此求出、、的值，进而结合周期性分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，是定义在上的奇函数，则　，
又由，则有，即，
变形可得：，
即函数是周期为4的周期函数，
是定义在上的奇函数，
则，
又由，则，
故
.
故选：B.
本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.
3、D
【解析】
求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案．
【详解】
依题意，函数，得的解集是，
于是有，解得，
∵函数在处取得极小值，
∴，
即，解得，
故选：D．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.
4、B
【解析】
根据交集的概念，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】
在数轴上画出集合A和集合B，找出公共部分，如图，可知
故选B
本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.
5、C
【解析】
在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率
【详解】
在下雨条件下吹东风的概率为 ，选C
本题考查条件概率的计算，属于简单题．
6、B
【解析】
设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.
【详解】
设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故
,又在圆上,故,
即即
故选：B
本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.
7、A
【解析】

，
则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.
本题选择A选项.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.
8、C
【解析】
作，垂足为点D．利用点在抛物线上、， 结合抛物线的定义列方程求解即可.
【详解】
作，垂足为点D．
由题意得点在抛物线上，则得．①
由抛物线的性质，可知，，
因为，所以．
所以，解得：．②．
由①②，解得：（舍去）或．
故抛物线C的方程是．
故选C．
本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.
9、C
【解析】
求出集合A中不等式的解集，结合集合B，得到两个集合的交集．
【详解】
A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，
∵B={x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B={x|0＜x≤2}，
故选：C．
求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
10、C
【解析】
分析：先求，，再根据得结果.
详解：因为，
所以,
选C.
点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.
11、B
【解析】
根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“”时，可能成立，当“”时，“”，故“”是“”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若为假命题，则，至少有一个假命题，故②错误.对于④，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知④正确.综上所述，正确命题个数为个，故选B.
本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题.
12、C
【解析】
基本事件总数n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．
【详解】
解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，
每个村小学至少分配1名大学生，
基本事件总数n36，
小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，
∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p．
故选C．
本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、288.
【解析】
解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节，
∴先排数学课有种排法，
再排最后一节有种排法，
剩余的有种排法，
∴根据分步计数原理知
共有=288种排法.
14、
【解析】
设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得，从而求出结果.
【详解】
设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，
z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，可得，即，
则由根与系数的关系，，则，
所以的取值范围是：.
故答案为.
本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.
15、{a|a＜﹣3或a＞6}
【解析】
求出有两个不相等的实数解，即可求出结论.
【详解】
函数有极值，
则有两个不相等的实数解，
，
或.
故答案为:或.
本题考查极值存在求参数，熟练掌握三次函数图像特征及性质是解题关键，属于基础题.
16、
【解析】
分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，用来表示，进而求出答案.
详解：由题可知，
则，
以球心为坐标原点，以为轴正方向，平面的垂线为轴建立空间坐标系，则，，设
，

在球面上，则

设，当直线与圆相切时，取得最值.
由得

故答案为
点睛：本题考查了空间向量数量积的运算，使用坐标法可以简化计算，动点问题中变量的取值范围是解此类问题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不应该.
【解析】
（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；
（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；
（ⅱ）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论．
【详解】
解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．
∴该工厂正常运行的概率为：．
（2）（i）的可能取值有，，
，．
∴的分布列为：
X
31
44
P

∴ ．
（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，
工厂所获利润为万元，
因为，
∴该厂不应该再招聘名维修工人．
本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）把两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，设直线的方程为，与曲线联立，利用根与系数的关系可得两个交点的中点的轨迹关于参数的参数方程；
（2）化参数方程为普通方程，作出图形，数形结合即可求得曲线的长度．
【详解】
解：（1）曲线C的直角坐标方程为.
设直线l的方程为，
设直线l与曲线C的交点为，，
联立直线l与曲线C的方程得
解得，，
，，
设P的坐标为，则，代入l的方程得.
故的参数方程为.
（2）由的参数方程得即.
如图，圆C：圆心为，半径为2，
圆D：圆心为，半径为2，曲线为劣弧，

显然，
所以的长度为.
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查圆与圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
19、（1）（2）
【解析】
试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角兴中，注意这个隐含条件的使用.
试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝. 5分
（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝. 12分
考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.
20、（1）（2）（3）
【解析】
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则
（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，
由于与互斥，故
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故
，
．
所以ξ的分布列是
ξ

0

2

4

P

随机变量ξ的数学期望
考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．
21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的1个球中至少有一个红球的概率，从而求解；
（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出1个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，1，分别求出其概率
【详解】
解：（Ⅰ）取出的1个球中至少有一个红球的概率：
（1分）
（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，
则 ．…（6分）
（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，1．…（7分）
，
，
，
．…（11分）
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
1
P

考点：1古典概型概率;2分布列
22、 (1)答案见解析；(2).
【解析】
分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。
详解：（1）补充列联表如下：

由列联表知
故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.
（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有人，女性有人.
记男性观众分别为，女性观众分别为，随机抽取2人，基本事件有
共15种
记至少有一位男性观众为事件，则事件包含共9个基本事件
由古典概型，知
点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题。解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成列联表；
（2）计算的值；
（3）查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断。