2024-2025学年上海市延安中学数学高二第二学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年上海市延安中学数学高二第二学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线的图像（ ）
A．关于轴对称
B．关于原点对称,但不关于直线对称
C．关于轴对称
D．关于直线对称，关于直线对称
2．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ）
A．1 B．4 C．2 D．不能确定
3．已知函数的导数是，若，都有成立，则( )
A． B．
C． D．
4．当生物死亡后，其体内原有的碳的含量大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的，则该生物生存的年代距今约（）
A．万年 B．万年 C．万年 D．万年
5．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.若与有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．把67化为二进制数为
A．1100001(2) B．1000011(2)
C．110000(2) D．1000111(2)
8．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
9．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）,那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（　　）

A．在时刻，两车的位置相同
B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同
D．在时刻，甲车在乙车前面
10．下列有关结论正确的个数为（ ）
①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
②设，则“”是“的充分不必要条件；
③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为．
A．0 B．1 C．2 D．3
11．64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a的球，记其体积为，表面积为，则（）
A．>且> B．<且<
C．=且> D．=且=
12．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是(　　)
A．0 B．256 C．64 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线上的点到其焦点的距离为______.
14．设为的展开式中含项的系数，为的展开式中二项式系数的和，则能使成立的的最大值是________．
15．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:
甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；
丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.
已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.
16．10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．
18．（12分）如图，四边形中，，，，为边的中点，现将 沿折起到达的位置（折起后点记为）．

（1）求证：；
（2）若为中点，当时，求二面角的余弦值．
19．（12分）一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为，俯视图中正方形的边长也为.

主视图和左视图 俯视图
（1）画出实物的大致直观图形；
（2）求此物体的表面积；
（3）若，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到个单位）
20．（12分）2名男生、4名女生排成一排，问：
（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？
21．（12分）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:工期延误天数Y的均值与方差;
22．（10分）已知函数.
（1）若不等式的解集，求实数的值.
（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
构造二元函数，分别考虑与、、、、的关系，即可判断出相应的对称情况.
【详解】
A．，所以不关于轴对称；
B．，，
所以关于原点对称，也关于直线对称；
C．，所以不关于轴对称；
D．，所以关于直线对称，同时也关于直线对称.
故选：D.
本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变.
2、B
【解析】
试题分析：由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．
解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点，
即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，
∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，
∴P（ξ＞4）=0.5，
由正态曲线的对称性知μ=4，
故选B．
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
3、D
【解析】
分析：由题意构造函数，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.
详解：令，
则：，
由，都有成立，可得在区间内恒成立，
即函数是区间内单调递减，
据此可得：，即，则.
本题选择D选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4、C
【解析】
根据实际问题，可抽象出，按对数运算求解.
【详解】
设该生物生存的年代距今是第个5730年，
到今天需满足，
解得：，
万年.
故选C.
本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.
5、D
【解析】
先把曲线，的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若与有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a的范围即得解.
【详解】
因为曲线的极坐标方程为即
故曲线的直角坐标方程为：.
消去参数可得曲线的一般方程为：，由于，故

如图所示，若与有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距
当直线与半圆相切时
由于为上半圆，故
综上：实数的取值范围是或
故选：D
本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
6、A
【解析】
由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果
满足条件的事件是e=
∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；
当b=2时，有a=5，6两种情况，
总共有6种情况．
∴概率为．
故选A
7、B
【解析】
如图：

所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．故选B.
考点：二进制法.
8、B
【解析】
分析：根据基本初等函数的性质，确定函数在上是增函数，且满足，，结合函数的零点判定定理可得函数的零点所在的区间.
详解：由基本初等函数可知与均为在上是增函数，
所以在上是增函数，
又，

根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是.
故选B.
点睛：本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题.
9、D
【解析】
根据图象可知在前，甲车的速度高于乙车的速度；根据路程与速度和时间的关系可得到甲车的路程多于乙车的路程，从而可知甲车在乙车前面.
【详解】
由图象可知，在时刻前，甲车的速度高于乙车的速度
由路程可知，甲车走的路程多于乙车走的路程
在时刻，甲车在乙车前面
本题正确选项：
本题考查函数图象的应用，关键是能够准确选取临界状态，属于基础题.
10、D
【解析】
对于①，，所以，故①正确；对于②，当，有，而由有，因为 ，所以是的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线对称，且 所以，故③正确．
点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．
11、C
【解析】
分别计算出、、、，再比较大小。
【详解】
，
，
故=，>
已知直径利用公式 ,分别计算出、、、，再比较大小即可。
12、D
【解析】
分析：先确定n值，再根据赋值法求所有项的系数和.
详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是,
选D.
点睛：二项式系数最大项的确定方法
①如果是偶数，则中间一项(第 项)的二项式系数最大；
②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】
先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离.
【详解】
抛物线，准线为：
点到其焦点的距离为点到准线的距离为5
故答案为5
本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解.
14、4
【解析】
由题意可得，An＝＝，，若使得An≥Bn，即n（n+1）≥2n，可求.
【详解】
∵（1+x）n+1的展开式的通项为Tr+1，由题意可得，An＝＝，
又∵为的展开式中二项式系数的和，∴，
∵An≥Bn，∴，即n（n+1）≥2n
当n＝1时，1×2≥2，满足题意；
当n＝2时，2×3≥22，满足题意；
当n＝3时，3×4≥23，满足题意；
当n＝4时，4×5≥24，满足题意；
当n＝5时，5×6＜25，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快，
故当n≥5时，n（n+1）＜2n，∴＝4.
故答案为4
本题主要考查了二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的性质应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用，属于中档题．
15、丙
【解析】
列出表格，用√表示已选的，用×表示未选的课程，逐个将每门课程所选的人确定下来，即可得知选击剑的人是谁。
【详解】
在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，

太极拳
足球
击剑
游泳
甲
×
×

√
乙
×
√②

×
丙
×

√
×
丁
√①

从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，
丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，
由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。
本题考查合情推理，充分利用假设法去进行论证，考查推理论证能力，属于中等题。
16、；
【解析】
利用超几何分布的概率公式，直接求出恰有1件次品的概率.
【详解】
设事件为“从中随机抽取3件，则恰有1件次品”，则.
求解概率问题的第一步是识别概率模型，再运用公式计算概率值，本题属于超几分布概率模型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）1
【解析】
（1）消去t即可得的普通方程，通过移项和可得的普通方程；（2）由可得的几何意义是斜率，将的参数方程代入的普通方程，得到关于t的方程且，由韦达定理可得．
【详解】
解：（1）．由，（t为参数），消去参数t，得，即的普通方程为，由，得，即，
将代入，得，即的直角坐标方程为．
（2）．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，
将，（t为参数）代入，得．
由，且得，且．
设M，N对应的参数分别为、，则，，
所以．
本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程和参数方程在几何问题中的应用．
18、 (1)见证明；(2)
【解析】
（１）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明面，从而推得；
（２）以为原点，以，分别为，建立空间直角坐标，分别求出面的法向量和面的法向量为，根据二面角的余弦值公式即可求解出结果．
【详解】
（1）证明：因为，，，
所以面，
又因为面，所以．
（2）解：以为原点，以，分别为，建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，
，，
设面的法向量，
则有
取，，，则
由，，设面的法向量为，
则有取，，，，
则，由于二面角的平面角为钝角，
所以，其余弦值为．
本题主要考查了通过线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
19、（1）见解析；（2）；（2）
【解析】
（1）根据三视图可知几何体的下部分是正方体，上部分是正四棱锥，画出几何体；
（2）根据（1）所画的几何体，几何体的表面积包含5个正方形和4个三角形的面积；
（3）根据数形结合，先画出展开图的平面图形，最短距离就是，根据余弦定理求边长.
【详解】
（1）

（2）正视图中等腰三角形的直角边是几何体正四棱锥的斜高，

，

（3）一个三角形和下面的正方形的的展开图，如图所示，

当时，
，，
设，,
而 ，

,
根据数形结合可知最短距离就是
,
,

本题考查根据三视图求几何体的直观图，以及计算表面积，意在考查空间想象能力和计算求解能力，本题第二问需注意三视图中等腰三角形的腰是正四棱锥的斜高，等腰三角形斜边上的高是锥体的高，求解表面积时需注意这点.
20、（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果.
详解：（1）法1：，法2：；
（2）．
答：分别有360和576种不同的排法.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
21、见解析
【解析】分析：先求P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900)，再求工期延误天数Y 的均值与方差.
详解：由已知条件和概率的加法公式有:
P(X<300)=0.3,
P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为:
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
点睛：(1)本题主要考查概率的计算，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是求出P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900).
22、（1） （2）
【解析】
（1）由根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式的解集，求得的值.
（2）利用绝对值不等式，证得的最小值为4，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）∵函数，
故不等式，即，
即，
求得.
再根据不等式的解集为.
可得，
∴实数.
（2）在（1）的条件下，，
∴存在实数使成立，即，
由于，
∴的最小值为2，
∴，
故实数的取值范围是.
本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.