人教版初二下册数学知识点.pdf
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1、 1/201八年级数学(下册)知识点总结八年级数学(下册)知识点总结二次根式二次根式【知识回顾知识回顾】1.1.二次根式:式子二次根式:式子(00)叫做二次根式。)叫做二次根式。aa2.2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:最简二次根式:必须同时满足下列条件:被开方数中被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式;被开方数中被开方数中不含分母不含分母;分分母中母中不含根式不含根式。3.3.同类二次根式:同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。次根式。4.
2、4.二次根式的性质:二次根式的性质:(1 1)()2 2=(00);(2 2)aaa aa25.5.二次根式的运算:二次根式的运算:(1 1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面后移到根号里面(2 2)二
3、次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式式(3 3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的,所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式ab=ab(a0a0,b0b0);bbaa(b0b0,a0a0)(4 4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分乘法对加法的分配律以及多项式
4、的乘法公式,都适用于二次根式的运算配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算【典型例题典型例题】1 1、概念与性质、概念与性质例例 1 1 下列各式下列各式 1 1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa,其中是二次根式的是其中是二次根式的是_1_1 3 3 4 4 5 5 _(填序号)(填序号)(0)aa(0aa)0(=0);a 2/202例例 2 2、求下列二次根式中字母的取值范围、求下列二次根式中字母的取值范围(1 1);(;(2 2)xx31522)-(x例例 3 3、在根式在根式 1)1)222;2);3);4)275xabxxyabc,最简
5、二次根式是(,最简二次根式是(C C )A A1)1)2)2)B B3)3)4)4)C C1)1)3)3)D D1)1)4)4)例例 4 4、已知:、已知:。22,211881xyyxxyyxxxy例例 5 5、(20092009 龙岩)已知数龙岩)已知数 a a,b b,若,若2()ab=b=ba a,则,则 (B(B )A.A.abab B.B.aba0a0,b0b0 时,则:时,则:;1aabb1aabb例例 8 8、比较、比较与与的大小。的大小。5323 5 5、规律性问题、规律性问题例例 1.1.观察下列各式及其验证过程:观察下列各式及其验证过程:,验证:验证:;4/204 验证验证
6、:.(1 1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4415的变形结果,并的变形结果,并进行验证;进行验证;(2 2)针对上述各式反映的规律,写出用)针对上述各式反映的规律,写出用 n(n2n(n2,且,且 n n 是整数是整数)表示的等式,并表示的等式,并给出验证过程给出验证过程.5/205勾股定理勾股定理 1.1.勾股定理勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为:如果直角三角形的两直角边长分别为 a a,b b,斜边长为,斜边长为 c c,那么,那么a a2 2b b2 2=c=c2 2。2.2.勾股定理逆定理勾股定理逆定理:如果三角形
7、三边长:如果三角形三边长 a,b,ca,b,c 满足满足 a a2 2b b2 2=c=c2 2。,那么这个三角形是直角,那么这个三角形是直角三角形。三角形。3.3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)(例:勾股定理与勾股定理逆定理)4.4.直角三角形的性质直角三角形的性质 (1 1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:、直角三角
8、形的两个锐角互余。可表示如下:C=90C=90A+B=90A+B=90 (2 2)、在直角三角形中,、在直角三角形中,3030角所对的直角边等于斜边的一半。角所对的直角边等于斜边的一半。A=30A=30 可表示如下:可表示如下:BC=BC=ABAB21 C=90C=90 (3 3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90ACB=90 可表示如下:可表示如下:CD=CD=AB=BD=ADAB=BD=AD21 D D 为为 ABAB 的中点的中点5 5、摄影定理、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的在直角三角形中,斜边上的高线是
9、两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项斜边的比例中项ACB=90ACB=90 BDADCD2 ABADAC2CDABCDAB ABBDBC26 6、常用关系式、常用关系式由三角形面积公式可得:由三角形面积公式可得:ABAB CD=ACCD=AC BCBC 6/2067 7、直角三角形的判定、直角三角形的判定 1 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么
10、这个三角形是直角三角形。3 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a a,b b,c c 有关系有关系,那么这,那么这222cba个三角形是直角三角形。个三角形是直角三角形。8 8、命题、定理、证明、命题、定理、证明 1 1、命题的概念、命题的概念判断一件事情的语句,叫做命题。判断一件事情的语句,叫做命题。理解:命题的定义包括两层含义:理解:命题的定义包括两层含义:(1 1)命题必须是个完整的句子;)命题必须是个完整的句子;(2 2)这个句子必须对某件事情做出判断。)这个句子必须对某件事情做出判断。2 2、命题的分类(按正确、错误与否分)、命题的分类(
11、按正确、错误与否分)真命题(正确的命题)真命题(正确的命题)命题命题 假命题(错误的命题)假命题(错误的命题)所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。3 3、公理、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。4 4、定理、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5 5、证明、证明判断
12、一个命题的正确性的推理过程叫做证明。判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6 6、证明的一般步骤、证明的一般步骤(1 1)根据题意,画出图形。)根据题意,画出图形。(2 2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。(3 3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。9 9、三角形中的中位线、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。7/207(1 1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。)三角形共有三条中位
13、线,并且它们又重新构成一个新的三角形。(2 2)要会区别三角形中线与中位线。)要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用:三角形中位线定理的作用:位置关系:可以证明两条直线平行。位置关系:可以证明两条直线平行。数量关系:可以证明线段的倍分关系。数量关系:可以证明线段的倍分关系。常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:结论结论 1 1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。:三条中位线组成一个三
14、角形,其周长为原三角形周长的一半。结论结论 2 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论结论 3 3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论结论 4 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论结论 5 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。1010 数学口诀数学口诀.平方差公式平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾
15、乘首减尾,莫与完全公式平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。相混淆。完全平方公式完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首央;首尾括号带平方,尾项符号随中央。尾括号带平方,尾项符号随中央。四边形四边形 1 1四边形的内角和与外角和定理:四边形的内角和与外角和定理:(1 1)四边形的内角和等于)四边形的内角和等于 360360;(2 2)四边形的外角和等于)四边形的外角和等于 360.360.2 2多边形的内角和与外角和定理:多边形的内角和与外角和定理:(1 1)n
16、n 边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)180(n-2)180;(2 2)任意多边形的外角和等于)任意多边形的外角和等于 360.360.ABCD1234ABCD 8/2083 3平行四边形的性质:平行四边形的性质:因为因为 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形.54321)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等;()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;(4.4.平行四边形的判定:平行四边形的判定:.是平行四边形)对角线互相平分()一组对边平行且相等()两组对角分别相等()两组对边分别相等()两组对边分别平行(ABCD543215.5.矩形的性质:矩形的性质:因为因为
17、 ABCDABCD 是矩形是矩形.3;2;1)对角线相等()四个角都是直角(有通性)具有平行四边形的所(6.6.矩形的判定:矩形的判定:四边形四边形 ABCDABCD 是矩形是矩形.边形)对角线相等的平行四()三个角都是直角(一个直角)平行四边形(321 7 7菱形的性质:菱形的性质:因为因为 ABCDABCD 是菱形是菱形.321角)对角线垂直且平分对()四个边都相等;(有通性;)具有平行四边形的所(ABDOCCDBAOABDOCADBCADBCADBCOADBCO 9/2098 8菱形的判定:菱形的判定:四边形四边形四边形四边形 ABCDABCD 是菱形是菱形.边形)对角线垂直的平行四()
18、四个边都相等(一组邻边等)平行四边形(3219 9正方形的性质:正方形的性质:因为因为 ABCDABCD 是正方形是正方形 .321分对角)对角线相等垂直且平(角都是直角;)四个边都相等,四个(有通性;)具有平行四边形的所(CDAB(1 1)ABCDO (2 2)(3 3)1010正方形的判定:正方形的判定:四边形四边形 ABCDABCD 是正方形是正方形.一组邻边等矩形)(一个直角)菱形(一个直角一组邻边等)平行四边形(321 (3)ABCD(3)ABCD 是矩形是矩形又又AD=ABAD=AB 四边形四边形 ABCDABCD 是正方形是正方形1111等腰梯形的性质:等腰梯形的性质:因为因为
19、ABCDABCD 是等腰梯形是等腰梯形 .321)对角线相等(;)同一底上的底角相等(两底平行,两腰相等;)(1212等腰梯形的判定:等腰梯形的判定:四边形四边形 ABCDABCD 是等腰梯形是等腰梯形对角线相等)梯形(底角相等)梯形(两腰相等)梯形(321 (3)ABCD(3)ABCD 是梯形且是梯形且 ADBCADBCAC=BDAC=BDABCDABCD 四边形是等腰梯形四边形是等腰梯形CDBAOABCDOABCDOCDAB 10/2010 1414三角形中位线定理:三角形中位线定理:三角形的中位线平行第三边,三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半并且等于它的一半.1515梯形中位线定
20、理:梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半并且等于两底和的一半.一一 基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线角梯形,三角形中位线,梯形中位线.二二 定理:中心对称的有关定理定理:中心对称的有关定理11关于中心对称的两个图形是全等形关于中心对称的两个图形是全等形.22关于中
21、心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.33如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称关于这一点对称.三三 公式:公式:1 1S S 菱形菱形 =ab=ch.ab=ch.(a a、b b 为菱形的对角线为菱形的对角线 ,c,c 为菱形的边长为菱形的边长 ,h h 为为 c c 边上的高)边上的高)212 2S S 平行四边形平行四边形 =ah.=ah.a a 为平行四边形的边,为平行四边形的边
22、,h h 为为 a a 上的高)上的高)3 3S S 梯形梯形 =(a+ba+b)h=Lh.h=Lh.(a a、b b 为梯形的底,为梯形的底,h h 为梯形的高为梯形的高,L,L 为梯形的中位线)为梯形的中位线)21四四 常识:常识:11若若 n n 是多边形的边数,则对角线条数公式是:是多边形的边数,则对角线条数公式是:.2)3n(n2 2规则图形折叠一般规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似出一对全等,一对相似”.”.3 3如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.EFDABCEDCBA 11/20114 4常见图形中,仅是轴对称图形的
23、有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等常见图形中,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形腰梯形 ;仅是中心对称图形的有:平行四边形;仅是中心对称图形的有:平行四边形 ;是双对称图形的有:线;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意:线段有两条对称轴注意:线段有两条对称轴.一次函数一次函数一一.常量、变量:常量、变量:在一个变化过程中在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做数值发生变化的量叫做 变量变量 ;数值始终不变的量叫做;数值始终不变的量叫做 常量常量 。二、函数的概念:二、函数的概念:函数的定义:
24、一般的,在一个变化过程中函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量如果有两个变量 x x 与与 y y,并且对于,并且对于 x x 的每一的每一个确定的值,个确定的值,y y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x x 是自变量,是自变量,y y 是是 x x 的函的函数数三、函数中自变量取值范围的求法:三、函数中自变量取值范围的求法:(1 1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。(2 2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为
25、0 0 的一切实数。的一切实数。(3 3)用寄次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。)用寄次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切切实数。实数。(4 4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量的取值范围。共范围,即为自变量的取值范围。(5 5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。)对于与实际问题有关系的,自变量
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