高中数学圆锥曲线试题(含答案).doc
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1、理 数圆锥曲线1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A.B.C.D.答案 1.A解析 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,cosAF2F1=.故选A.2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 2.A解析 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,
2、又=,c=1,b2=2,C的方程为+=1,选A.3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3答案 3.B解析 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设mn0,于是mn=m=3n.a=n,b=nc=n,e=,选B.4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0k9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案 4.A解析 4.0k0,25-k0.-=1与-=1均表示双曲线,又
3、25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它们的焦距相等,故选A.5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6答案 5.D解析 5.设Q(cos ,sin ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|=5,故|PQ|max=5+=6.6.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 6.A解析 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为
4、e1和e2,则e1=,e2=.因为e1e2=,所以=,即=,=.故双曲线的渐近线方程为y=x=x,即xy=0.7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 7.A解析 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图,从点发出的光线,沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点,再
5、经抛物线反射后射向直线上的点,经直线反射后又回到点,则等于( )A B CD答案 8. B解析 8.由题意可得抛物线的轴为轴,所以所在的直线方程为,在抛物线方程中,令可得,即从而可得,因为经抛物线反射后射向直线上的点,经直线反射后又回到点,所以直线的方程为,故选B9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测,4) 下列双曲线中,有一个焦点在抛物线准线上的是( ) A. B. C. D. 答案 9. D解析 9. 因为抛物线的焦点坐标为,准线方程为,所以双曲线的焦点在轴上,双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a
6、b0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_.答案 10.解析 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.、两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,=,故椭圆的离心率e=.11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=_.答案 11.1+解析 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点,从而有即b2=a2+2ab,-2-1=0,又1,=1+.12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E
7、:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为_.答案 12.x2+y2=1解析 12.不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,0b0).又|AF1|=3|F1B|,由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=1.13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是_.答案 13.解析 13.由得A,由得B,则
8、线段AB的中点为M.由题意得PMAB,kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,e=.14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,12) 抛物线+12y=0的准线方程是_.答案 14. y=3解析 14. 抛物线的标准方程为:,由此可以判断焦点在y轴上,且开口向下,且p=6,所以其准线方程为y=3.15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.()求C的方程;()过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一
9、圆上,求l的方程.答案 15.查看解析解析 15.()设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)()依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3
10、,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.()求椭圆C的标准方程;()设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的
11、垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.答案 16.查看解析解析 16.()由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.()(i)由()可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0.所以
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