初中数学竞赛全辅导第二十二讲圆幂定理.doc
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1、【例题求解】【例1】 如图,PT切O于点T,PA交O于A、B两点,且与直径CT交于点D,CD=2,AD=3,BD=6,则PB= (成都市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长注:比例线段是几何之中一个重要问题,比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程,大致经历了四个阶段: (1)平行线分线段对应成比例; (2)相似三角形对应边成比例; (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来; (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来 【例2】 如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则DE的长为( )
2、A3 B4 C D (全国初中数学联赛题)思路点拨 连AC,CE,由条件可得许多等线段,为切割线定理的运用创设条件注:圆中线段的算,常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识,通过代数化获解,加强对图形的分解,注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键【例3】 如图,ABC内接于O,AB是O的直径,PA是过A点的直线,PAC=B (1)求证:PA是O的切线; (2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,AE:BE=2:3,求AB的长和ECB的正切值 (北京市海淀区中考题) 思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识(1)问的证明为切割线定理的
3、运用创造了条件;引入参数x、k处理(2)问中的比例式,把相应线段用是的代数式表示,并寻找x与k的关系,建立x或k的方程【例4】 如图,P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点,DP与AC、BC分别交于点E、E,EG是过B、F、P三点圆的切线,G为切点,求证:EG=DE (四川省竞赛题)思路点拨 由切割线定理得EG2=EFEP,要证明EG=DE,只需证明DE2=EFEP,这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明注:圆中的许多问题,若图形中有适用圆幂定理的条件,则能化解问题的难度,而圆中线段等积式是转化问题的桥梁需要注意的是,圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明,可拓展到
4、平面几何各种类型的问题中 【例5】 如图,以正方形ABCD的AB边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,DF切半圆于点E,交AB的延长线于点F,BF4 求:(1)cosF的值;(2)BE的长 (成都市中考题)思路点拨 解决本例的基础是:熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE,AE);熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法对于(1),先求出EF,FO值;对于(2),从BE FEAF,RtAEB入手注:当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形,善于分析图形是解与圆相关综合题的关键,分析图形可从以下方面入手: (1)多视点观察图形如本例从D点看可用切线长定理,从F点看可用切割线定理 (2)多元素分析图形图
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