初中数学反比例函数知识点及经典例题.pdf
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1、 反比例函数反比例函数一、基础知识一、基础知识1.1.定义:一般地,形如定义:一般地,形如(为常数,为常数,)的函数称为反比例函数。)的函数称为反比例函数。xky kok 还可以写成还可以写成xky kxy 12.2.反比例函数解析式的特征:反比例函数解析式的特征:等号左边是函数等号左边是函数,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫(也叫yk做比例系数做比例系数),分母中含有自变量,分母中含有自变量,且指数为,且指数为 1.1.kx比例系数比例系数0k自变量自变量的取值为一切非零实数。的取值为一切非零实数。x函数函数的取值是一切非零实数。的取值是一
2、切非零实数。y3.3.反比例函数的图像反比例函数的图像图像的画法:描点法图像的画法:描点法 列表(应以列表(应以 O O 为中心,沿为中心,沿 O O 的两边分别取三对或以上互为相反的数)的两边分别取三对或以上互为相反的数)描点(有小到大的顺序)描点(有小到大的顺序)连线(从左到右光滑的曲线)连线(从左到右光滑的曲线)反比例函数的图像是双曲线,反比例函数的图像是双曲线,(为常数,为常数,)中自变量)中自变量,xky k0k0 x函数值函数值,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐0y渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。渐靠近坐标
3、轴,但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是或或)。xy xy反比例函数反比例函数()中比例系数)中比例系数的几何意义是:过双曲线的几何意义是:过双曲线 xky 0kkxky()上任意引)上任意引轴轴轴的垂线,所得矩形面积为轴的垂线,所得矩形面积为。0kxyk4 4反比例函数性质如下表:反比例函数性质如下表:的取值的取值k图像所在象限图像所在象限函数的增减性函数的增减性ok 一、三象限一、三象限在每个象限内,在每个象限内,值随值随的增大而减小的增大而减小yxok 二、四象限二、四象限在每个象限内,在每个象限内,值随值随的增大而增大
4、的增大而增大yx5.5.反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出点的坐标即可求出)k6 6“反比例关系反比例关系”与与“反比例函数反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。中的两个变量必成反比例关系。xky 7.7.反比例函数的应用反比例函数的应用二、例题二、例题【例例 1】1】如果函数如果函数的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的222kkk
5、xy值是多少?值是多少?【解析解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数,()即)即xky 0kkxy()又在第二,四象限内,则)又在第二,四象限内,则可以求出的值可以求出的值10k0k【答案答案】由反比例函数的定义,得:由反比例函数的定义,得:解得解得01222kkk0211kkk或1k时函数时函数为为1k222kkkxyxy1【例例 2】2】在反比例函数在反比例函数的图像上有三点的图像上有三点,xy11x1y2x2y3x3y。若。若则下列各式正确的是(则下列各式正确的是()3210 xxxA A B B C C D D 213yyy123yyy321
6、yyy231yyy【解析解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。解法一:由题意得解法一:由题意得,111xy221xy331xy,所以选所以选 A A3210 xxxQ213yyy解法二:用图像法,在直角坐标系中作出解法二:用图像法,在直角坐标系中作出的图像的图像xy1描出三个点,满足描出三个点,满足观察图像直接得到观察图像直接得到选选 A A3210 xxx213yyy解法三:用特殊值法解法三:用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0yyyyyyxxxxxx令Q【例例 3】3】如果一次函数如果
7、一次函数相交于点相交于点的图像与反比例函数xmnymnmxy30(),那么该直线与双曲线的另一个交点为(,那么该直线与双曲线的另一个交点为()221,【解析解析】12132212213nmmnnmxxmnynmxy解得,相交于与双曲线直线QoyxyxoyxoyxoA B C D221111121,122211yxyxxyxyxyxy得解方程组双曲线为直线为11,另一个点为【例例 4】4】如图,在如图,在中,点中,点是直线是直线与双曲线与双曲线在第一象在第一象AOBRtAmxyxmy 限的交点,且限的交点,且,则,则的值是的值是_._.2AOBSm图图解解:因为直线因为直线与双曲线与双曲线过点过
8、点,设设点的坐标为点的坐标为.mxyxmy AAAAyx,则有则有.所以所以.AAAAxmymxy,AAyxm 又点又点在第一象限在第一象限,所以所以.AAAAAyyABxxOB,所以所以.而已知而已知.myxABOBSAAAOB2121212AOBS 所以所以.4m三、练习题三、练习题1.1.反比例函数反比例函数的图像位于(的图像位于()xy2A A第一、二象限第一、二象限 B B第一、三象限第一、三象限 C C第二、三象限第二、三象限 D D第二、四象限第二、四象限2.2.若若与与成反比例,成反比例,与与成正比例,则成正比例,则是是的(的()yxxzyzA A、正比例函数、正比例函数 B
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