2024-2025学年广西南宁市邕宁区中学和中学数学九年级第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）

A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是( )
A．k≤2且k≠1 B．k<2且k≠1
C．k=2 D．k=2或1
4．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．- D．
6．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（　　）

A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
7．如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）

A． B．
C． D．
8．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A． B． C． D．
9．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，与⊙相切于点，，，则⊙的半径为__________．

12．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2．
以上结论中，你认为正确的有 ．（填序号）
13．某公园平面图上有一条长12cm的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为_____．
14．如图，直线l1∥l2∥l3，A、B、C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝3，且，则m＋n的最大值为___________．

15．学生晓华5次数学成绩为86，87，89，88，89，则这5个数据的中位数是___________.
16．如图是小明在抛掷图钉的试验中得到的图钉针尖朝上的折线统计图，请你估计抛掷图钉针尖朝上的概率是_____．

17．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是________．
18．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．
20．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字,,，乙口袋中的小球上分别标有数字,,，从两口袋中分别各摸一个小球.求摸出小球数字之和为的概率
21．（6分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝1．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝1：2时，求点D的坐标．
（1）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36º的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．

(1)如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45º的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数:(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) ．
(2)如图3，△ABC 中，AC=2,BC=3,∠C=2∠B，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．
23．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系．
(1)若将沿轴对折得到，则的坐标为 ．
(2)以点为位似中心，将各边放大为原来的2倍，得到，请在这个网格中画出．
(3)若小明蒙上眼睛在一定距离外，向的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入的概率是多少？ (未掷入图形内则不计次数，重掷一次)

24．（8分）小涛根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，下面是小涛的探究过程，请补充完整：
（1）下表是与的几组对应值

．．．
-2
-1
0
1
2

3
．．．

．．．
-8
-3
0
m
n
1
3
．．．
请直接写出：=， m=， n=；
（2）如图，小涛在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点，再描出剩下的点，并画出该函数的图象；
（3）请直接写出函数的图像性质：；（写出一条即可）
（4）请结合画出的函数图象，解决问题：若方程有三个不同的解，请直接写出的取值范围．

25．（10分）某图书馆2015年年底有图书10万册，预计2017年年底有图书14.4万册.求这两年图书册数的年平均增长率．
26．（10分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）求当线段AM最短时的长度
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】分析：从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
解答：解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故选A．
2、B
【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴．
【详解】∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=-1，x2=2，
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)，
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x．
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解答本题的关键．
3、D
【分析】当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，函数为二次函数，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．
【详解】当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；
当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x轴只有一个交点可知，
∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，
解得k=2，
综上可知k的值为1或2，
故选D．
本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，解决本题时注意考虑一次函数和二次函数两种情况．
4、B
【分析】将整理成，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，

故选：B．
本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
5、B
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.
【详解】根据绝对值的性质得：|-1|=1．
故选B．
本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
6、B
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解:∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，
∴花圃的面积为＝3π，
故选：B．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．
7、B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：B．
本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
8、C
【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x2+8x，
故选：C．
本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
9、D
【分析】已知二次函数y＝2x2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
【详解】∵y＝2x2＋3＝2（x−0）2＋3，
∴顶点坐标为（0，3）．
故选：D．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y＝a（x−k）2＋h的顶点坐标为（k，h），
10、C
【详解】分析：先根据题意确定旋转中心，然后根据旋转中心即可确定旋转角的大小．
详解：如图，连接A′A，BB′，分别A′A，BB′作的中垂线，相交于点O.

显然，旋转角为90°，
故选C．
点睛：考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心，难度不大．先找到这个旋转图形的两对对应点，连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线的交点就是旋转中心.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】与⊙相切于点，得出△ABO为直角三角形，再由勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OB，
∵与⊙相切于点，
∴OB⊥AB，△ABO为直角三角形，
又∵，，
由勾股定理得
故答案为：
本题考查了切线的性质，通过切线可得垂直，进而可应用勾股定理计算，解题的关键是熟知切线的性质．
12、①③④
【解析】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8﹣x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8﹣3）﹣3=2，
由勾股定理得，
EF==2，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故答案为①③④．

考点：翻折变换的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
13、240m
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．
【详解】设这条公路的实际长度为xcm，则：
1：2000＝12：x，
解得x＝24000，
24000cm＝240m．
故答案为240m．
本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺＝图上距离∶实际距离．
14、
【分析】过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：过作于，延长交于，过作于，过作于，

设，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
当最大时，，
，
当时，，
，
的最大值为．
故答案为：．
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m的函数解析式是解题的关键．
15、1
【分析】根据中位数的概念求解即可．
【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：86，87，1，89，89，
则这5个数的中位数为：1．
故答案为：1．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
16、0.1
【分析】利用频数统计图可得，在试验中图钉针尖朝上的频率在0.1波动，然后利用频率估计概率可得图钉针尖朝上的概率．
【详解】解：由统计图得，在试验中得到图钉针尖朝上的频率在0.1波动，
所以可根据计图钉针尖朝上的概率为0.1．
本题考查了频数统计图用频率估计概率，解决本题的关键是正确理解题意，明确频率和概率之间的联系和区别.
17、且
【解析】根据根的判别式△≥0且二次项系数求解即可.
【详解】由题意得，
16-4≥0，且，
解之得
且.
故答案为：且.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
18、
【解析】试题分析：，解得r=．
考点：弧长的计算．

三、解答题(共66分)
19、（3）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.
【解析】（3）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b2－4ac＝3求出a的值，再代入解方程即可．
【详解】（3）将x＝2代入方程，得，解得：a＝．
将a＝代入原方程得，解得：x3＝，x2＝2．
∴a＝，方程的另一根为；
（2）①当a＝3时，方程为2x＝3，解得：x＝3.
②当a≠3时，由b2－4ac＝3得4－4(a－3)2＝3，解得：a＝2或3．
当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋3＝3，解得：x3＝x2＝－3；
当a＝3时， 原方程为：－x2＋2x－3＝3，解得：x3＝x2＝3．
综上所述，当a＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.
考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.
20、
【分析】画树状图展示所有等可能的结果，再根据概率公式求解．
【详解】解：利用树状图表示为：

由树状图可知，共有种情况，每种情况的可能性相等.摸出的两个小球数字之和为有种情况.
（数字之和为）.
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21、（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）点D（1，4）或（2，1）；（1）当点P在x轴上方时，点P（，）；当点P在x轴下方时，点（﹣，﹣）
【分析】(1)c=1，点B(1，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+1，解得a=﹣1即可得出答案；
(2)由S△COF：S△CDF=1：2得OF：FD=1：2，由DH∥CO得CO：DM=1：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；
(1)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．
【详解】(1) ∵OB=OC=1，
∴点C的坐标为C(0，1)，c=1，点B的坐标为B(1，0)，
将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+1，解得：a=﹣1，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+1；
(2)如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M，

∵S△COF：S△CDF=1：2，
∴OF：FD=1：2，
∵DH∥CO，
∴CO：DM= OF：FD=1：2，
∴DM=CO=2，
设直线BC的表达式为：，
将C(0，1)，B(1，0)代入得，
解得：，
∴直线BC的表达式为：y=﹣x+1，
设点D的坐标为(x，﹣x2+2x+1)，则点M(x，﹣x+1)，
∴DM==2，
解得：x=1或2，
故点D的坐标为：(1，4)或(2，1)；
(1)①当点P在x轴上方时，
取OG=OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM=∠GBO，
则∠OBP=2∠OBE，过点G作GH⊥BM，如图，

∵点E的坐标为(0，)，
∴OE=，
∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，
∴GH= GO=OE=，BH=BO=1，
设MH=x，则MG=，
在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，
解得：x=2，
故MG==，则OM=MG+ GO=+，
点M的坐标为(0，4)，
设直线BM的表达式为：，
将点B(1，0)、M(0，4)代入得：，
解得：，
∴直线BM的表达式为：y=x+4，
解方程组
解得：x=1(舍去)或，
将x=代入 y=x+4得y=，
故点P的坐标为(，)；
②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M，

∵∠OBP=2∠OBE，
∴BE是∠OBP的平分线，
∴EN= OE=，BN=OB=1，
设MN=x，则ME=，
在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，
解得：，
∴，则OM=ME+ EO=+，
点M的坐标为(0，-4)，
设直线BM的表达式为：，
将点B(1，0)、M(0，-4)代入得：，
解得：，
∴直线BM的表达式为：，
解方程组
解得：x=1(舍去)或，
将x=代入得，
故点P的坐标为(，)；
综上，点P的坐标为：(，)或(，) ．
本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、角平分线的性质等，其中第(1)问要注意分类求解，避免遗漏．
22、（1）图见解析，；（2）三分线长分别是和
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数；
（2）根据等腰三角形的判定定力容易画出图形，设，则，，则，得出对应边成比例，设，得出方程组，解方程即可得．
【详解】解:(1)作图如图1、图2所示:
在图1中，

即三个等腰三角形的顶角分别为
在图2中，
，

，

即三个等腰三角形的顶角分别为
(2)如图3所示，就是所求的三分线
设，则，
此时，
设 ，
∵，
∴
∵，
∴，
解方程组
解得：，或（负值舍去）
，
即三分线长分别是和

本题是相似形的综合性题目，考查了等腰三角形的判定和性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定和性质、解方程组等知识，本题考查学生学习的理解能力及动手创新能力，综合性较强，有一定难度．
23、（1）(4,-1)；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据对称的特点即可得出答案；
（2）根据位似的定义即可得出答案；
（3）分别求出三角形和正方形的面积，再用三角形的面积除以正方形的面积即可得出答案.
【详解】解：（1）
（2）

（3）∵，
∴
本题考查的是对称和位似，比较简单，需要掌握相关的基础知识.
24、（1）1，1，0 （2）作图见解析 （3）必过点．（答案不唯一） （4）
【分析】（1）根据待定系数法求出的值，再代入和，即可求出m、n的值；
（2）根据描点法画出函数的图象即可；
（3）根据（2）中函数的图象写出其中一个性质即可；
（4）利用图象法，可得函数与有三个不同的交点，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）将代入中

解得
∴
当时，
当时，；
（2）如图所示；

（3）必过点；
（4）设直线，由（1）得
∵方程有三个不同的解
∴函数与有三个不同的交点
根据图象即可知，当方程有三个不同的解时，
故 ．

本题考查了函数的图象问题，掌握待定系数法、描点法、图象法、二次函数的性质是解题的关键．
25、20%
【解析】试题分析：经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书10（1+x）2万册，即可列方程求解．
试题解析：
设这两年图书册数的年平均增长率为x．
根据题意，得10（1+x）2=14.4
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2 （不符合题意，舍去）．
答：这两年图书册数的年平均增长率为20%．
26、（1）证明见解析；（2）BE=1或；（3）．
【解析】试题分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-（x-3）2+，利 用二次函数的性质，继而求得线段AM的最小值．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴
∴CE=
∴BE=6-
∴BE=1或
（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴
即：
∴CM=
∴AM=-5-CM=
∴当x=3时，AM最短为．
考点：相似形综合题．