2024-2025学年陕西省西安市西安交大阳光中学九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1． 抛物线的顶点坐标（ ）
A．(-3，4) B．(-3，-4) C．(3，-4) D．(3，4)
2．如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
3．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）．

…

…

…

…
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧
C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点
4．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是：

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
5．书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．两个相似三角形对应高之比为，那么它们的对应中线之比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，下列几何体的俯视图是如图所示图形的是（ ）

A． B． C． D．
9．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1<y2，其中正确的结论有( )个

A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于( )

A．60° B．70° C．120° D．140°
12．如图,在中，点分别在边上,且为边延长线上一点,连接,则图中与相似的三角形有( )个

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．二次函数（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有______（请将结论正确的序号全部填上）
14．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是_____．

15．如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE．

16．已知四条线段a、2、6、a＋1成比例，则a的值为_____．
17．如图，一个半径为，面积为的扇形纸片，若添加一个半径为的圆形纸片，使得两张纸片恰好能组合成一个圆锥体，则添加的圆形纸片的半径为____．

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=1．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．
其中正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）．

三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）若此方程有两个实数根，求的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为，，且满足，求的值．
20．（8分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列人第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，古塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，古塔的塔尖点正好在同一直线上(点，点，点，点与古塔底处的点在同一直线上) ，这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度.

21．（8分）某校垃圾分类“督察部”从4名学生会干部（2男2女）随机选取2名学生会干部进行督查，请用枚举、列表或画树状图的方法求出恰好选中两名男生的概率．
22．（10分）某公司营销两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售种产品所获利润(万元)与所销售产品 (吨)之间存在二次函数关系，如图所示
信息2：销售种产品所获利润(万元)与销售产品(吨)之间存在正比例函数关系
根据以上信息，解答下列问题：

（1）求二次函数的表达式；
（2）该公司准备购进两种产品共10吨，请设计一个营销方案使销售两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元?
23．（10分）如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．
(1) 求证：是⊙的切线；
(2) 求证：.

24．（10分）如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交 于点.

(1)求证：；
(2)若，求的度数.
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．

（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的图形△A′B′C，点B′的坐标为________；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路径的长（结果保留π）．
26．平行四边形的对角线相交于点，的外接圆交于点且圆心恰好落在边上，连接，若.

（1）求证：为切线.
（2）求的度数.
（3）若的半径为1，求的长.
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据抛物线顶点式的特点写出顶点坐标即可得.
【详解】因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3， 4），
故选D．
本题考查了抛物线的顶点，熟练掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.
2、A
【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后证明△ABD为等边三角形，得出BD=AB=2，再根据CD=BC-BD即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2，∠B=60°，
∴BC=2AB，BC2=AC2+AB2，∴4AB2=AC2+AB2，
∴AB=2，BC=4，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2，
故选：A．
此题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，解本题的关键是综合运用基本性质．
3、B
【分析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上
则该二次函数的图像与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧
故选B.
本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.
4、A
【分析】在，直接根据正弦的定义求解即可.
【详解】如图：

AB=13，作BC⊥AC，
∵
∴.
故小车上升了5米，选A.
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题.解决本题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造，在中解决问题.
5、C
【分析】画树状图（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说），

共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6，
所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=．
故选：C．
本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即.
6、C
【分析】根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】A为正比例函数，B为一次函数，C为反比例函数，D为二次函数，故答案选择C.
本题考查的是反比例函数的定义：形如的式子，其中k≠0.
7、A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．
【详解】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，
∴它们的相似比是1:2，
∴它们对应中线之比为1:2.
故选A.
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
8、A
【分析】根据各选项几何体的俯视图即可判断．
【详解】解：∵几何体的俯视图是两圆组成，
∴只有圆台才符合要求．
故选：A．
此题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的两圆形得出实际物体形状是解决问题的关键．
9、A
【分析】根据轴对称图形概念进行解答即可.
【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
本题考查了轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴;轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形叫做轴对称图形.
10、A
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴即与y轴交点的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而即可得出abc＜0，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x=1，可得出2a+b=0，结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当x=2时y＞0，进而可得出4a+2b+c＞0，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y1=y2，结论④错误．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，=1，c＞0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x=1，
∴=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标是（-1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④=，，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴y1=y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选择：A．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
11、D
【解析】试题分析：如图，连接OA，则

∵OA=OB=OC，∴∠BAO=∠ABO=32°，∠CAO=∠ACO=38°．
∴∠CAB=∠CAO＋∠BAO=1．
∵∠CAB和∠BOC上同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠CAB=2．故选D．
12、D
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】
∵EF∥CD，ABCD是平行四边形
∴EF∥CD∥AB
∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA
∴△GDP∽△GAB
又EF∥AB
∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA
∴△GEQ∽△GAB
又∵ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G
∴∠BCP=∠GAB
又∠GPD=∠BPC
∴∠GBA=∠BPC
∴△GAB∽△BCP
又∠BQF=∠GQE
∴∠BQF=∠GBA
∴△GAB∽△BFQ
综上共有4个三角形与△GAB相似
故答案选择D.
本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、①③．
【解析】解：①∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，∵P（﹣5，y1），Q（，y2），﹣1﹣（﹣5）=4，﹣（﹣1）=3.5，由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵=﹣1，∴b=2a，当x=1时，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，a=﹣c；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AC=BC时，在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故⑤错误．
综上所述，正确的结论是①③．
故答案为①③．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）．
14、．
【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出k的值.
【详解】过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC=，
∴点B的坐标是
把代入，得
故答案为．

考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；
15、∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB．
【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是：
∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C．
②补充∠AED=∠B，理由是：
∵A是公共角，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB．
③补充，理由是：
∵∠A是公共角，，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
16、3
【分析】由四条线段a、2、6、a＋1成比例，根据成比例线段的定义，即可得=，即可求得a的值．
【详解】解：∵四条线段a、2、6、a＋1成比例，
∴=，
∵a(a+1)=12，
解得：a1=3，a2=-4(不符合题意，舍去).
故答案为3.
本题考查了线段成比例的定义：若四条线段a，b，c，d成比例，则有a:b=c:d．
17、1
【分析】能组合成圆锥体，那么扇形的弧长等于圆形纸片的周长．应先利用扇形的面积=圆锥的弧长×母线长÷1，得到圆锥的弧长=1扇形的面积÷母线长，进而根据圆锥的底面半径=圆锥的弧长÷1π求解．
【详解】解：∵圆锥的弧长=1×11π÷6=4π，
∴圆锥的底面半径=4π÷1π=1cm，
故答案为1．
解决本题的难点是得到圆锥的弧长与扇形面积之间的关系，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
18、①②④．
【解析】①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED，故①正确；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2，故②正确；
③∵AF=1，FG=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=，故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S△ADF=DF•AG=×6×，
∵△ADF∽△AED，
∴，
∴=，
∴S△AED=，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=；
故④正确．
故答案为①②④．

三、解答题（共78分）
19、（1）-4；（2）
【分析】（1）根据题意利用判别式的意义进行分析，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）由题意利用根与系数的关系得到，，进而再利用，接着解关于m的方程确定m的值．
【详解】解：（1）

方程有两个实数根
，即

的最小整数值为.
（2）由根与系数的关系得：，
由得：
，

.
本题考查根与系数的关系以及根的判别式，注意掌握若，是一元二次方程的两根时，则有．
20、古塔的高度为64.5米.
【分析】根据CD//AB，HG//AB可证明△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，根据相似三角形的性质求出AB的长即可.
【详解】∵CD//AB，HG//AB，
∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴，
∵
∴，即
∴（米），
∵，
∴，
∴AB=64.5.
答：古塔的高度为64.5米.
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
21、．
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【详解】用列表法得出所有可能出现的情况如下：

共有12种等可能的情况，其中两人都是男生的有2种，
∴P（两人都是男生）＝＝．
本题考查求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键．
22、（1）；（2）购进A产品6吨，购进B产品4吨，利润之和最大，最大为6.6万元
【分析】(1)由抛物线过原点可设y与x间的函数关系式为y=ax2+bx+c，再利用待定系数法求解可得；
(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10−m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据：A产品利润+B产品利润=总利润可得W=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m)，配方后根据二次函数的性质即可知最值情况．
【详解】解：(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
由图象，得抛物线过点(0,0)，(1,1.4)，(3,3.6)，
将三点的坐标代入表达式，
得,
解得
所以二次函数的表达式为y=−0.1x2+1.5x；
(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10−m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m)，
=−0.1m2+1.2m+3，
=−0.1(m−6)2+6.6，
∵−0.1<0，
∴∴当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，
答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
本题主要考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，(2)中整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键．
23、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线;（2）先证明△BDE≌△FCD（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，得出AB+EB=AC．
【详解】证明：(1)过点作于;
∵，以为圆心，以的长为半径画圆，
∴AB为圆D的切线
又∵，且AD平分∠BAC
,且DF⊥AC，
是⊙的切线.

(2)由，
DB是半径得AB的是⊙O的切线，
又由（1）可知是⊙的切线

∵,
∴

即.
本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等．
24、（1）详见解析；（2）36°
【分析】（1）连接OP，由已知条件证明，可推出；（2）设，因为OD=DC推出，由OP=OC推出，根据三角形内角和解关于x的方程即可；
【详解】（1）证明：连接OP.

∵，
∴PA=PC，
在中，

∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键.
25、（1）图见解析；B′的坐标为（﹣1，3）；（2）.
【分析】（1）过点C作B′C⊥BC，根据网格特征使B′C=BC，作A′C⊥AC，使A′C=AC，连接A′B′，△A′B′C即为所求，根据B′位置得出B′坐标即可；
（2）根据旋转的性质可得∠ACA′=90°，利用勾股定理可求出AC的长，利用弧长公式求出的长即可.
【详解】（1）如图所示，△A′B′C即为所求；

B′的坐标为（﹣1，3）．
（2）∵A（3，3），C（0，﹣1）．
∴AC＝＝5，
∵∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为：＝.
本题考查旋转的性质及弧长公式，正确得出旋转后的对应边和旋转角是解题关键.
26、（1）详见解析;（2）;（3）
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠BAD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝90°，根据平行线的性质得到OB⊥BC，即可得到结论；
（2）连接OM，根据平行四边形的性质得到BM＝DM，根据直角三角形的性质得到OM＝BM，求得∠OBM＝60°，于是得到∠ADB＝30°；
（3）连接EM，过M作MF⊥AE于F，根据等腰三角形的性质得到∠MOF＝∠MDF＝30°，根据OM＝OE＝1，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DOB＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC为⊙O切线；
（2）解：连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BM＝DM，
∵∠BOD＝90°，
∴OM＝BM，
∵OB＝OM，
∴OB＝OM＝BM，
∴∠OBM＝60°，
∴∠ADB＝30°；
（3）解：连接EM，过M作MF⊥AE于F，
∵OM＝DM，
∴∠MOF＝∠MDF＝30°，
∵的半径为1
∴OM＝OE＝1，
∴FM＝,OF＝，
∴EF＝1−
故EM==．

本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直径三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．