线性代数知识点汇总.doc

第一章 矩阵
矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)
矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律
数乘---------分配、结合律
乘法
（一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0）
转置：

方幂：
逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的， 且
矩阵的逆矩阵满足的运算律：
1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且
2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且
3、可逆矩阵A的转置也是可逆的，且
4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且，但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但。A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A可逆，则
逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵 ②BA=AB=I则A与B一定互逆；
③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。

分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵
转置：每块转置并且每个子块也要转置
注：把分出来的小块矩阵看成是元素

初等变换：
1、交换两行（列）
2.、非零k乘某一行（列）
3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）
初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
等价标准形矩阵

第二章 行列式
N阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式）
②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；
推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性
⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变
行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式
定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：
非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：
齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解
（逆否命题：若方程组存在非零解，则D等于零）

特殊行列式：
①转置行列式：
②对称行列式:
③反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零
④三阶线性行列式:
解法：用把化为零，。。化为三角形行列式
⑤上（下）三角形行列式

第三章 矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩r(A)：
若A可逆，则满秩
若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）
初等变换不改变矩阵的秩

求法：1.定义；2.转化为标准式或阶梯形
伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：
特殊矩阵的逆矩阵：
1、分块矩阵 则
2、准对角矩阵， 则
3、 4、（A可逆）
5、 6、（A可逆）
7、 8、
判断矩阵是否可逆：充要条件是，此时
求逆矩阵的方法：
定义法
伴随矩阵法
初等变换法 ,只能是行变换。

初等矩阵与矩阵乘法的关系：
设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘）

线性方程组解的判定：
非齐次线性方程组：
增广矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解；当时，有无穷多解
r(AB)r(B)，无解
齐次线性方程组：
仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n
当齐次线性方程组方程个数<未知量个数，一定有非零解
当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0
齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个
N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）
特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量
向量间的线性关系: 线性组合或线性表示
向量组的秩：
定理：如果是向量组的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：中的每一个向量都可由线性表出。
秩:极大无关组中所含的向量个数。
定理：设A为m*n矩阵，则的充要条件是：A的列（行）秩为r。

线性组合或线性表示注：两个向量α，β，若则α是β的线性组合
任意向量都是单位向量组的线性组合
零向量是任意向量组的线性组合
任意向量组中的一个都是他本身的线性组合

向量组间的线性相关注：
1. n个n维单位向量组一定是线性无关
2. 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关
3．含有零向量的向量组一定是线性相关
4.若两个向量成比例，则他们一定线性相关
向量β可由线性表示的充要条件是
判断向量组是否线性相关的方法：
1、定义法：设，求
2、 向量间关系法：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
3、 分量法（n个m维向量组）：
4、 线性相关（充要）
线性无关（充要）
推论①当m=n时，相关，则；无关，则
②当m<n时，线性相关
推广：若向量组线性无关，则当s为奇数时，向量组 也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。

定理：如果向量组线性相关，则向量可由向量组线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是线性无关。
极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；
不全为零的向量组的极大无关组一定存在；
无关的向量组的极大无关组是其本身；
向量组与其极大无关组是等价的。

第四章 向量空间
向量的内积
定义：（α，β）=
性质：非负性、对称性、线性性
(α,kβ)=k(α,β);
(kα,kβ)=(α,β);
(α+β,)=(α,)+(α,)+(β,)+(β,);
,
向量的长度：
的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1
正交向量：α，β是正交向量的充要条件是（α，β）=0
　　　正交的向量组必定线性无关
正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ　　　
性质：1、若A为正交矩阵，则Ａ可逆，且，且也是正交矩阵；
　２、若A为正交矩阵，则；
　３、若A、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵；
　４、ｎ阶矩阵Ａ＝（）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（行）向量组是 标准正交向量；

线性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系

齐次线性方程组（I）解的结构：解为
（I）的两个解的和仍是它的解；
（I）解的任意倍数还是它的解；
（I）解的线性组合也是它的解，是任意常数。
非齐次线性方程组（II）解的结构：解为
（II）的两个解的差仍是它的解；
若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。
定理：
如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。
若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是（II）的全部解。