线性代数模拟题及答案.doc

模拟试题一
一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1．n阶行列式D的值为c, 若将D的所有元素改变符号, 得到的行列式值

为 .
2．设矩阵A = ，矩阵X满足 = ，则X =

3．设n阶矩阵A满足 = 0 ，其中E为n阶单位阵，则 =

4．设A，B均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则= .
5．当 l 满足条件 时线性方程组 只有零解．

二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共20分)

1．=( ).
① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d
2. 向量组 的秩为s的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量
② 向量组没有两个向量的对应分量成比例
③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示
④ 向量组线性无关
3. 当t =（ ）时，向量组 线性相关。
① 5 ② 10
③ 15 ④ 20

4．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2
② α1, α1+α2, α1+α2+α3
③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3
④ α1-α2, α2-α3, α3-α1

5. 已知, B为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ).
① 当t = 4时,B的秩必为1 ② 当t = 4时,B的秩必为2
③ 当t ≠ 4时,B的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B的秩必为2

6．设非齐次线性方程组A X = b中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A的秩为r ，则 ．
① r = m时，方程组A X = b有解
② r = n时，方程组A X = b有唯一解
③ m = n时，方程组A X = b有唯一解
④ r ＜ n时，方程组A X = b有无穷多解

7． 设矩阵A和B等价，A有一个k阶子式不等于零，则B的秩（ ）k.
① < ② = ③ ≥ ④ ≤
8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）.
① 个数唯一 ② 个数不唯一
③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一
9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ).
① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵
② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵
③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵
④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵
10．已知任一n维向量均可由线性表示，则
（ ）。
① 线性相关 ② 秩等于n
③ 秩小于n ④ 秩不能确定

三．计算题（1—6题每小题9分，第7题12分，共56分）

1．设矩阵A = ，矩阵B满足等式 ＋ B = ，求B ．
2. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.

3． 向量是三元非齐次线性方程组ＡＸ＝的解向量，Ｒ(Ａ)＝２且　，，求ＡＸ＝的通解．

4．设
5．已知矩阵 与 相似。
（1）求y的值 ；
（2）求一个满足P―1AP＝Ｂ的可逆矩阵P.

6．化二次型

为标准形，并求所用的非奇异线性变换矩阵.

7．设有三维向量组

问a为何值时：
(1) β可由线性表示,且表法唯一；
(2) β不能由线性表示；
(3) β可由线性表示,且表法不唯一；求出全体表达式。
四．证明题（4分）
二. 填空题
1． (-1)nc 2． 3． A—3E 4．84 5．l≠1且l≠-3
二、单项选择题
1． ① 2. ④ 3. ③ 4． ② 5. ③ 6． ① 7． ③ 8. ③ 9. ③ 10．②
三．计算题
1． 由 ＋ B = 得 A ＋ B A = E ，即 B ( E ＋ A ) = E ，故 E ＋ A = 2 E ＋ A可逆且与B互为逆阵，从而
B = = =
2. 构造矩阵，对A作行初等变换将其化为行简化阶梯形矩阵，即

显然，是的极大无关组并且

3．由题设可知，三元非齐次方程ＡＸ＝有解，由Ｒ(Ａ)＝２知ＡＸ＝Ｏ的基础解系含有一个非零解向量．所以
记
易知，向量γ为齐次线性方程组ＡＸ＝Ｏ的基础解系，向量η为三元非齐次线性方程组ＡＸ＝的特解，故三元非齐次线性方程组ＡＸ＝的通解为：
（ｋ为任意常数）．
4．

5．由1+4+5=2+2+y，得y=6；2对应的特征向量为（-1，1，0）T，（1，0，1）T；6对应的特征向量为（1，-2，3）T或（1/3，-2/3，1）T；P略
6． 由于f中含变量x1的平方项，故先集中含x1的项配方，就得到

令 即
把f化为平方和

所用的非奇异线性变换矩阵为
（｜Ｃ｜＝１≠０）
7．解：设
（*）
令A=（），则A的行列式

（1）当时，，方程组（*）有唯一解，此时向量β可由线性表示,表法唯一；
（2）当对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：

此时可得，所以方程组（*）无解，即向量β不能由线性表示；
（3）a=1时，对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：

此时可得，所以方程组（*）有无穷多解，即向量β可由线性表示,且表法不唯一．
（*）的通解：k1（-1，1，0）T+k2（（-1，0，1）T+（1，0，0）=（1-k1-k2，k1，k2）T

四．

模拟试题二
一、填空题 （每小题2分，共20分）
1．设f（x）= ，则f（x）的展开式中 的系数为 ，
2．行列式的值为

3．设矩阵A满足 = 0 ，其中E为单位阵，则 =
4．设行列式D = = a ，则行列式D1 = = ．
5．设 a = ，b = ，且A = ，则 = ．
6．设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则 = 。
7．设3阶方阵A 、B满足 = E ，其中E为3阶单位阵，若A = ，则 = ．
8．t 满足 时, , , 线性无关
9．中的向量 在基 下的坐标为 ） ．

10．设A为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则2A2-3A+E的特征值为 10, 6, 3

二、单项选择题 (每小题2分，共10分)

1. 设A,B为方阵, 分块对角阵, 则C* = ( ).
① ②
③ ④
2. 设A是m×n矩阵,若非齐次线性方程组AX = B 的解不唯一,则结论( )成立.
① A的秩小于m ② m < n ③ A是零矩阵 ④ AX = 0 的解不唯一
3．设λ1 ，λ2是矩阵A的两个不相同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1 ，λ2的特征向量，则（ ）。
① 对任意k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，k1 ξ+ k2η都是A的特征向量
② 存在常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量
③ 当k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0时 ，k1 ξ+ k2η不可能是A的特征向量
④ 存在唯一的一组常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量
4．向量组线性无关的充分条件是 。
① 均为非零向量。
② 中任意两个向量的分量不成比例。
③ 中任意一个向量不能被其余向量线性表示。
④ 中有一个部分组线性无关。
5. 下列结论正确的是( ).
① X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数
② A, B有相同的特征值, 则A与B相似
③ 如果=0, 则A至少有一个特征值为零
④ 若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值
三、计算题 ( 1——4题每题8分，5——6题每题14分，共60分)
1． 若互不相同,求解方程:

2．已知向量组线性无关，若线性相关，求a.
3. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.
4．设X1, X2, X3 是线性方程组AX = B的三个解, 其中 A是3×4矩阵,
A的秩为2, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 = ( 2,3,1,1 )T , X3 = ( 2,1,1,3 )T
求AX = B的通解。
5．ａ，ｂ为何值时，线性方程组
　有唯一解？无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解．
6.用正交变换法化二次型
f（ x1 ，x2 ，x3 ，x4 ）=
为标准形，并求出所用的正交变换．
四．证明题 （10分）
设向量可由向量 线性表示，但不能由线性表示。证明：向量组 和向量组 等价。
模拟试题二参考答案
一、填空题
1． -6 、 2．、 3．（1/4）A 4． 24a 5．
6． -1/16 7． 1/2 8． t ¹ 1 9．（12，-5，4，3） 10． 10, 6, 3
二、单项选择题
1. ③ 2. ④ 3． ③ 4． ③ 5.③
三、计算题
1．
因f（ai）=0
（因有两行相同）
所以 xi= ai （I=1，2，…，n-1）是方程的根。
2．

因线性无关，只有系数全为0
所以对应的齐次线性方程组有非零解，由其系数行列式=0
解得a=-3/2
3.
A=()
秩为2，
为一个极大无关组

4．
因A的秩为2，故基解系含有2个解。
基解系为 X1-X2，X1-X3
通解为 X1+c1（X1-X2）+c2（X1-X3 ）
5．
解：因为方程组的系数行列式　，所以：
①ａ≠０且ｂ≠１时，Ｄ≠０时方程组有唯一解；
②：

，方程组无解；
③ｂ＝１且时：

(Ⅰ) 时，，方程组无解；
(Ⅱ) 时，，方程组无穷多解，其同解方程组为：
　所以其基础解系，特解，通解分别为：
（ｋ为任意常数）．
6.
四．证明题 （10分）
证：因是的部分向量，所以可由线性表示，
且已知向量可由向量 线性表示，所以可由向量 线性表示；
因向量可由向量 线性表示，设

因kr≠0 （否则与向量不能由线性表示矛盾）
于是可解出，即可由线性表示。
所以向量组 和向量组 等价。
模拟试题三

一． 填空题 （每小题2分，共20分）
1． 实对称矩阵A的秩等于r, 它的正惯性指数为m, 则它的符号差为 .
2．当 l 满足条件 时线性方程组

只有零解．
3．设行列式D = = a ，则行列式D1 = = ．
4．设 a = ，b = ，且A = ，则 = ．
5．设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则 = 。
6. 设A, B都是可逆矩阵, 则的逆矩阵为 .
7．当k 时，是的一组基．
8. A是三阶非零矩阵,A*是其伴随阵,A的所有二阶子式都等于零,则r(A*) = .

9．若3阶方阵A与B相似，A的特征值为，则行列式= .
10. k 时,二次型必是正定二次型.

二、单项选择题 (每小题2分，共20分)
1．设非奇异矩阵A的一个特征值=2，则矩阵（的一个特征值为（ ）.
① ② ③ ④

2. 设A,B为方阵, 分块对角阵, 则C* = ( ).
① ②
③ ④
3．已知A 、B均为n阶非零矩阵，且A B = O ，则( )．
① A 、B中必有一个可逆 ② A 、B都不可逆
③ A 、B都可逆 ④ 以上①②③都不正确
4．设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．
① = a （a ≠ 0）时，= a
② = a （a ≠ 0）时，= －a
③ 当 ≠ 0 时，= 0
④ 当 = 0 时，= 0

5．设A = ，B = ，
P1 = ，P2 = ，则必有( )．
① A P1 P2 = B ② A P2 P1 = B
③ P1 P2 A = B ④ P2 P1 A = B
6. 设A是m×n矩阵,若非齐次线性方程组AX = B 的解不唯一,则结论( )成立.
① A的秩小于m ② m < n
③ A是零矩阵 ④ AX = 0 的解不唯一
7. 已知, B为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ).
① 当t = 4时,B的秩必为1 ② 当t = 4时,B的秩必为2
③ 当t ≠ 4时,B的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B的秩必为2
8．设λ1 ，λ2是矩阵A的两个不相同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1 ，λ2的特征向量，则（ ）。
① 对任意k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，k1 ξ+ k2η都是A的特征向量
② 存在常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量
③ 当k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0时 ，k1 ξ+ k2η不可能是A的特征向量
④ 存在唯一的一组常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量
9. 用正交变换法化二次型为标准形时，如果只求出系数矩阵的全部特征根，则（ ）。
① 标准形的形式和所用正交变换都无法确定
② 标准形的形式和所用正交变换都能确定
③ 标准形的形式可以确定，但所用正交变换无法确定
④ 标准形的形式无法确定，但所用正交变换可以确定
10. 设, 则下列矩阵中与A合同的矩阵是( ).
① ②
③ ④

三、计算题 ( 共51分)
1．(7分)已知向量组线性无关，若线性相关，求a.
2．（7分）设X1, X2, X3 是线性方程组AX = B的三个解, 其中 A是3×4矩阵,
A的秩为3, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 + X3 = ( 2,3,1,1 )T ,
求AX = B的通解。
3. （7分）设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.
4.（15分）设有向量组

问a,b为何值时
（1）不能由线性表示？
（2）可唯一由线性表示？写出该表示式；
（3）可由线性表示的表示式不唯一？并写出该表示式．
5.（15分）用正交变换法化二次型
f（ x1 ，x2 ，x3 ，x4 ）=
为标准形，并求出所用的正交变换．
四．证明题 （9分）
设A是3阶方阵，A有3个不同的特征值1，2，3，对应的特征向量依次为令.
证明：向量组线性无关。
模拟试题三参考答案
一、填空题
1. 2m – r 2. 3. 24a 4.
5. -1/16 6. 7. ≠-20/7 8.0 9. 144 10. k>2
二、单项选择题
1．② 2.③ 3.② 4.④ 5.③ 6.④ 7.③ 8.③ 9.③ 10.③

三、计算题
1．

因线性无关，只有系数全为0
所以对应的齐次线性方程组有非零解，
由其系数行列式=0
解得a=-3/2
2．（7分）
因A的秩为3,所以基解系含一个解。
2 X1-（X2 + X3）=（-4，1，1，1）T是解且不是零向量，故是基解系。
通解为 X1+c[2 X1-（X2 + X3）]
3. （7分）
A=()
秩为2，
为一个极大无关组

4. (15分)
解　考察非齐次线性方程组：
　（＊）即，
其增广矩阵：

由此可见，
（１） 当a=－1且时，，方程组无解，即不能由线性表示；
（２） 当a时，方程组有唯一解

即可由线性表示，且表示式唯一，其表示式为
　；

(3)当a=-1且b=0时，方程组有无穷多解

即可由线性表示，且表示式不唯一，全体表示式为：
其中为任意常数。

5.
四．证明题
证：

由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关，所以线性无关，于是

其系数行列式为

因此，方程组只有零解，即只有

故线性无关。）
模拟试题四

一、填空题 （每小题2分，共20分）
1．设f（x）= ，则f（x）的展开式中 的系数为 ，
2．当 l 满足条件 时线性方程组 只有零解．
3．设行列式D = = a ，则行列式D1 = = ．
4.设矩阵，当t = 时，R(A)=2。
5．设3阶方阵A 、B满足 = E ，其中E为3阶单位阵，若A = ，则 = ．
6．设, A2j (j = 1, 2, 3)为元素a2j的代数余子式,则 3A21 + 6A22 + A23 = .
7．设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=A3-5A2的特征值为
8. n阶方阵A 满足
9. 矩阵 的行向量组线性 .
10. A是三阶非零矩阵,A*是其伴随阵,A的所有二阶子式都等于零,则r(A*) = .

二、单项选择题 (每小题2分，共10分)
1．已知向量组线性无关，则向量组（ ）线性无关。

2. 下列结论正确的是( ).
（A） X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数
（B）若A与B相似，则A, B有相同的特征向量
（C） 若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值
（D）如果=0, 则A至少有一个特征值为零
3. 设 A是s×t 阶矩阵, B是m×n阶矩阵, 如果ACB 有意义, 则C 应是( )阶矩阵。
（A） s×n （B） s×m （C） t×m （D） m×t

5．n元线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是（ ）
（A） 导出组AX=0仅有零解
（B） A为方阵，且∣A∣≠0

（C） R(A)=n
（D） 系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数项向量B可由A的列向量组线性表示。

三、计算题 ( 1——7题每小题8分，第8题10分，共66分)
1．已知
2．求k的值，使下列实二次型为正定二次型：

3．设X1, X2, X3 是线性方程组AX = B的三个解, 其中 A是3×4矩阵,
A的秩为2, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 = ( 2,3,1,1 )T , X3 = ( 2,1,1,3 )T
求AX = B的通解。
4.已知 A为3阶方阵，且，求
5. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.

四、证明题（4分）
设A是n×n矩阵，且存在一个n×n非零矩阵B使AB = O，证明：
模拟试题四参考答案

一、填空题
1． -6 2．l≠1且l≠-3 3．24a 4. -4 5． 1/2
6．0 7． -4，-6，-12 8. A—3E 9. 相关 10. 0
二、单项选择题
1． B 2. D 3. C 5． D
三、计算题
1．

2．

3．因A的秩为2，故基解系含有2个解。
基解系为 X1-X2，X1-X3
通解为 X1+c1（X1-X2）+c2（X1-X3 ）

4. A的三个特征值分别为，
| A | =λ1λ2λ3 = 6，
的特征值为 ：2，–1，7，
故
5.
A=()
秩为2，
为一个极大无关组

6.

8.

四、证明题
证：因为A是n×n矩阵，且存在一个n×n非零矩阵B使AB = O，所以
R（A）+R（B）n
因B是非零矩阵，所以R（B）>0，于是R（A）<n,
所以