线性代数的一些证明题.doc

线性代数一些证明题
1
题目
设n阶可逆矩阵A满足A=A，求A的特征值。
知识点
特征值与特征向量
矩阵的行列式
解题过程
解：因为A=A
所以A－A=0
所以det(A－A)=det[A(A－E)]=det(A)det(A－E)=0
A为可逆矩阵，所以det(A)≠0
所以det(A－E)=0
所以A的特征值为1.
常见错误
设存在λ，使Ax=λx成立
则 det(Ax)=det(A)det(x)
=det(x)
=det(x) (错误在于向量取行列式)
所以 有成立.
又因为A=A
det(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.
由于A为可逆矩阵，det(A)≠0.
所以 det(A)=1

当n为奇数时，λ=1.
当n为偶数时，λ=1.
相关例题
设A为n阶矩阵,若A=E，试证A的特征值是1或-1.
2题目
设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0.
知识点
①正交矩阵的定义：AA=E
②单位矩阵的性质：EA=AE=A E=E
③矩阵运算规律
④转置矩阵的性质：(A+B)=A+B
⑤det(A)=det(A)
⑥det(AB)=det(A)det(B)
⑦det(-A)=(-1)det(A)

解题过程
∵A是正交矩阵
∴E－A= AA－A= AA－EA=( A－E)A
∵det(A)=1
∴det(E－A)=det((A－E)A)=det(A－E)det(A)=det(A－E)
∵det(E－A)=det(E－A)=det(E－A)
∴det(A－E)= det(E－A)= det(－(A－E))= (－1) det(A－E)
∵n为奇数
∴(－1)= －1
∴det(A－E)=0
∴det(E－A)=0

常见错误
①误以为det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0
②∵det(A)=1
∴··…·=1(其中,,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).
∴det(E－A)=（1-）（1-）…（1-）.
∵det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)
且det(A-E)= （-1）（-1）…（-1）.
∴（1-）（1-）…（1-）=（-1）（-1）…（-1）
= (-1)（1-）（1-）…（1-）
∵n为奇数
∴(－1)= －1
∴（1－）（1－）…（1－）=0
∴det(E－A)=0

以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。

相关例题
证明：若A为正交矩阵，则det(A)=±1.

3
题目
试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。
（1）

知识点 线性方程组解的结构

解题过程

解：B=

(1)当a—b0,且a0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为：

(2)当a-b=0，且a0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。
其解可由，解得，代入第一个方程得到；
一般解为：
（3）当a=0，b 为任意数，
此时增广矩阵可化为：

可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解，

常见错误
在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。
如，当ab时，就说原方程有唯一解，没有指出a0，当a=b时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b0，等等。

相关例题
确定a,b的值，使下列方程组

（1） 有唯一解；
（2） 无解；
有无穷多解，并求出通解。
4
题目
若线性无关，，其中全不为0. 证明线性无关.
知识点 向量线性相关

解题过程
证法一：（从定义出发）
设存在常数，使得
已知，代入上式，得

化为：
由题意知：线性无关

由定义，知线性无关
证毕

证法二：（由初等列变换，秩相等）

由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由线性无关，知
的秩为3，所以秩也为3，推出线性无关

证法三：（反证法）
假设线性相关.
则存在不全为0的常数，使得
已知，代入上式，得

化为：

（否则，由得）
即 线性相关, 与题目已知条件矛盾.
所以假设不成立, 即 线性无关.
5
题目
设是的解且线性无关，，试证的任一解可表示为
，
其中
知识点 基础解系 方程组解的结构

解题过程
证明

由

因为 线性无关，所以
线性无关，
也线性无关，且

所以 是的基础解系
因为的任一解可以表示为：

的任一解可以表示为：
①
其中是的一个特解
扩展①式，取，得

化简得

令，
则的解可以表示为

且
命题得证

另外取时

化简得

此时令

则的解可以表示为

且

此时命题也成立
常见错误
不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解.
6
题目
设是矩阵A的两个不同的特征值，分别属于的特征向量，证明不是矩阵A的特征向量.

知识点
特征值 特征向量

解题过程
用反证法.
设 是A的对应的特征向量，则有
(1)
已知 ，
所以 (2)
由(1)(2)知
(3)
因为线性无关，所以，与已知矛盾.

常见错误
由(1)(2)直接推出，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这个性质才能推出 (3)的系数为0. 这在证明中不够严密.