线性代数模拟试题(4套).doc

模拟试题一
一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）
1、若为n阶方阵，则 . ……………………( )
2、可逆方阵的转置矩阵必可逆. ……………………………( )
3、元非齐次线性方程组有解的充分必要条件.…( )
4、为正交矩阵的充分必要条件.…………………………( )
5、设是阶方阵，且，则矩阵中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( )
二、填空题：(每空2分，共20分)
1、为 3 阶方阵，如果 ，那么 .
2、行列式中元素的余子式和代数余子式的关系是 .
3、在5阶行列式中，项所带的正负号是 .
4、已知则 .
5、若，则 .
6、设矩阵是4元非齐次线性方程组的增广矩阵,则的通解为 .
7、 .
8、若是的伴随矩阵，则 .
9、设，则当 时，的行向量组线性无关.
10、方阵的特征值为，方阵，则的特征值为 .
三、计算：(每小题8分，共16分)
1、已知4阶行列式，求.
2、设矩阵A和B满足，其中，求矩阵B.
四、(10分) 求齐次线性方程组 的基础解系和它的通解.
五、(10分) 设三元非齐次线性方程组的增广矩阵为
，
讨论当取何值时，无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.
六、(10分) 判断向量组的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量.
七、综合计算：（本题14分）
已知二次型
（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示；
（2）求A的特征值与全部特征向量；
（3）求正交变换化二次型为标准形, 并写出标准形；
（4）判断该二次型的正定性。
八、证明题：(每小题5分，共10分)
1、已知向量线性无关，证明 线性无关.
2、某矿产公司所属的三个采矿厂，在2011年所生产的四种矿石的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：
矿石产量
工厂

100
20
30
50
20

80
20
20
70
30

30
60
10
60
50
各矿石单价
2
3
6
5
4
（1）做矩阵表示2011年工厂产矿石的数量；
（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.

模拟试题二
一、 判断题（正确的打√，不正确的打）（每小题2分，共10分）
（ ） 1、设为阶方阵，则；
（ ） 2、可逆矩阵总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵；
（ ） 3、设矩阵的秩为，则中所有阶子式必不是零；
（ ） 4、 若是非齐次线性方程组的解，则 也是该方程组的解.
（ ） 5、阶对称矩阵一定有个线性无关的特征向量。
二、 填空题（每小题2分，共16分）
1、排列7623451的逆序数是 ；
2、设四阶行列式，则 ，
其中为元素的代数余子式；
3、设A、B均为5阶矩阵，，则 ；
4、，其中，
，则 ；
5、已知向量组，向量，当 时，可由线性表示，且表示法唯一；
6、设齐次线性方程组的系数矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ；
7、设向量，=正交，则 ；
8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。
三、计算题（每小题8分，共16分）
1、设矩阵，求矩阵和。
2、已知矩阵，，
求矩阵方程。
四、 计算题（每小题8分，共16分）
1、已知向量组，
（1）取何值时，该向量组线性相关；
（2） 取何值时，该向量组线性无关，
说明理由。
2、已知二次型，
(1) 写出此二次型对应的矩阵A;
(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。
五、 计算题（每小题10分，共20分）
1、设矩阵A=.
求：（1）矩阵A秩；（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。．
2、求非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
六、（12分）设矩阵
(1) 求矩阵的特征值和全部的特征向量；
(2) 求可逆矩阵，使得（其中是对角矩阵），并写出对角矩阵。
七、（5分）证明题
设方阵A满足，证明：可逆并求它的逆矩阵。
八、（5分）应用题
假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：

设第一个矩阵为A，第二个矩阵为B，而第 三个矩阵为C。
（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？
（2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？

模拟试题三
一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）
1、为n阶方阵则 （ ）
2、设为矩阵，则有无穷多解。 （ ）
3、向量组是向量组的一部分，向量组线性无关，则向量组一定线性相关； （ ）
4、设是方阵的特征值，则也是方阵的特征值。
（ ）
5、4个3维向量一定线性相关。 （ ）
二、填空题：(每空2分，共20分)
1、已知为阶方阵，且，则 ；
2、六阶行列式中某项带有的符号为 ；
3、设为阶方阵，满足，则 ；
4、设是元非齐次线性方程组的两个解，且的秩，则的通解 ；
5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为
B=，则 时方程组无解，
当 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基
础解系中有 个向量。
6、二次型的秩为 ，正定性为
（请选正定、负定、不定之一）。
7、方阵的特征值为，方阵，则的特征值为 。
三、计算：(每小题8分，共16分)
1、已知4阶行列式，求
2、已知，试判断A是否可逆。若可逆，求，若不可逆，求A的伴随矩阵A*
四、计算：(每小题10分，共20分)
1、求齐次线性方程组 的基础解系和它的通解。
2、已知线性方程组 有解，求，并求全部解；
五、 (10分)判断向量组
的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。
六、综合计算：（本题14分）
二次型
（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示
（2）求A的特征值与全部特征向量；
（3）求正交矩阵，使为对角形矩阵。
（4）求正交变换化二次型为标准形
（5）写出标准形
七、证明题：(每小题5分，共10分)
1、设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： 线性无关；
2、某石油公司所属的三个炼油厂，在2010年所生产的四种油品
的数量（单位：吨）及各种油品的单位价格（元/吨）如下表：

油品产量
工厂

5
2
3
4

7
3
1
5

6
2
1
3
各油品单价
100
150
130
110

（1）做矩阵表示2010年工厂产油品的数量
（2）计算三个工厂在2010年的生产总值。

模拟试题四
一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）
1、设均为阶方阵,则若或可逆,则必可逆. （ ）
2、已知是阶方阵，为整数，则. （ ）
3、已知向量组的秩为3，则中至少有三个向量线性无关. （ ）
4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价. （ ）
5、设是矩阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则与正交. （ ）
二、填空题：(每空2分，共20分)
1、4阶行列式中含的带正号的项为 .
2、为 3 阶方阵，如果，那么 .
3、m个n维向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是矩阵的秩 于向量个数.
4、若n元非齐次线性方程组有解且，则当 时，方程组有无穷多解.
5、行列式中元素的代数余子式 .
6、已知 则 .
7、已知4阶行列式，则的值为 ，其中Aij为D的第i行第j列元素的代数余子式.
8、矩阵对应的二次型是 .
9、矩阵的列向量组的秩为 .
10、已知是特征值，且可逆，则 是的特征值.
三、计算：(每小题8分，共16分)
1、已知矩阵，，求（1）A2； （2）.
2、设矩阵A和B满足关系式，其中，求矩阵B.
四、(10分) 求齐次线性方程组的一个基础解系和它的通解.
五、(10分)设有5个向量，，，，，求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量．
六、 (10分) 设非齐次线性方程组的增广矩阵为
B=，
讨论它的解的情况，何时无解，何时有无穷多个解，并说明理由；有无穷多个解时求出该方程组的通解.
七、（本题14分）设二次型
，
（1）求二次型的矩阵；
（2）求矩阵的特征值及全部特征向量；
（3）判断矩阵是否可以对角化；
（4）判断它是否为正定二次型.
八、综合题：(每小题5分，共10分)
1、证明题：设证明向量组线性相关.
2、应用题：已知某公司生产两种产品，对每美元价值的产品，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用，对每美元价值的产品，公司需耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设公司希望生产美元产品和美元产品，试给出描述两种产品的“单位美元产出成本”向量和该公司花费的各部分成本（材料，劳动，管理费用）的向量。

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线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 2 页

三、计算题（每小题7分，共35分）

1. 计算行列式

2. 已知,计算AB,BA.

3. 求矩阵满足

4. 求解线性方程组的通解.
5. 设是正定二次型,
则的取值区间为