广东工业大学线性代数试卷A卷1(含答案).doc

广东工业大学考试试卷 ( )

课程名称: 线 性 代 数 试卷满分 100 分
考试时间: 2009年 6 月 15 日 (第 18 周 星期 一 )
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
评卷得分

评卷签名

复核得分

复核签名

一、 填空题（每小题4分，共20分）
1、若 则X = 。
2、设，其中的伴随矩阵，则 。
3、设向量组

秩=2，则=__________。
4、设4阶方阵A 的4个特征值为3，1，1，2，则 。
5、已知齐次线性方程组 有非零解，则满足_________。
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、排列671298435的逆序数为 .
（A）16 （B）17 （C）18 （D） 19

学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：

装 订 线

2、设行列式
，则2 .
（A）0 （B） 1 （C） －1 （D）－16
3、设A、B是阶方阵，下列等式正确的是 .
（A）AB=BA （B）
（C） （D）
4、设是非齐次方程组的一个解， 是 的基础解系，则
.
(A) 线性相关。
（B）线性无关。
（C）的线性组合是的解。
（D）的线性组合是的解。
5、阶方阵与对角阵相似的充要条件是 .
(A) 是实对称阵; (B) 有个互异特征值;
(C) 的特征向量两两正交. (D) 有个线性无关的特征向量;
三、（10分）设,.求.
四、（10分）设4阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中

五、（10分）讨论为何值时，方程组

(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解。
六、（10分）已知R3中的向量组 线性无关，向量组，
线性相关，求k值。
七、（11分）设，求一个正交矩阵，使为一个对角矩阵。
八、证明题(每小题7分，共14分)
1、设是阶方阵的3个特征向量，它们的特征值不相等，记，
证明不是的特征向量。
2、设为阶方阵，若，则rr。

广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( )

课程名称: 线性代数 。
考试时间: 2009年 6 月 15 日 (第 18 周 星期 一 )
二、 填空题（每小题4分，共20分）
1、
2、
3、 3
4、 6
5、
二、选择题（每小题3分，共15分）
1
2
3
4
5
C
A
C
B
D
三、（10分）计算行列式：
解：
……………5分

………………………………………………………………10分
注：本题方法不唯一，根据学生的做题步骤酌情给分。
四、（10分）解：由，
两边同时左乘C，得………………………………………………2分
而…………………………………………………………3分
两边再同时左乘，得到
或者对

…………………………………………7分
……………………………………………………8分

即……………………………………………………10分
五、（10分）解：
…………………………………………3分
当时，方程组有唯一解………………………………………………5分
当时，增广矩阵为
, 方程组无解…………………………………………………………7分
当时，增广矩阵为
，
方程组有无穷多解，
解为，（c为任意常数）…………………………10分
六、（10分）解： 设存在三个实数，使
，…………3分
由 线性无关，
得，
因为相关，所以有非零解，………………………………7分
故系数行列式=0，得。………………………………………………10分
七、（11分）解：
第一步 求A的特征值
=0
…………………………………………………………3分

解之得基础解系………………………………4分

解之得基础解系………………………………………5分

解之得基础解系……………………………………6分
第三步 将特征向量正交化

第四步 将特征向量单位化

……………………………………9分

……………………………………………………11分
八、证明题(每小题7分，共14分)
1、证明：反证法
假设，
又：
从而：，………………………………4分
由于特征值各不相等，所以
线性无关，
所以的，矛盾。………………7分
2、证明：因为线性方程组，当秩时，基础解系为个，由

则有，…………………………………………………3分
即B的列均为的解，这些列的极大线性无关组的向量个数≤
即秩(，
从而秩。……………………………………………………7分
注：本题方法不唯一，酌情给分。

广东工业大学试卷用纸，共10页，第10页