[学习]概率论与数理统计浙大四版第三章3讲.ppt

第五节,随机变量函数的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论,:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形,.,当随机变量,X,1,X,2,X,n,的联合分布已知时，如何求出它们的函数,Y,i,=,g,i,(,X,1,X,2,X,n,),i,=1,2,m,的联合分布,?,一、离散型分布的情形,例,1,若,X,、,Y,独立，,P,(,X,=,k,)=,a,k,k,=0,1,2,P,(,Y,=,k,)=,b,k,k,=0,1,2,求,Z,=,X,+,Y,的概率函数.,解,:,=,a,0,b,r,+,a,1,b,r,-1,+,a,r,b,0,由独立性,此即离散,卷积公式,r,=0,1,2,解：,依题意,例,2,若,X,和,Y,相互独立,它们分别服从参数为,的泊松分布,证明,Z,=,X,+,Y,服从参数为,的泊松分布,.,由卷积公式,i,=0,1,2,j,=0,1,2,由卷积公式,即,Z,服从参数为 的泊松分布,.,r,=0,1，,例,3,设相互独立的两个随机变量,X,Y,具有同一,分布律,且,X,的分布律为,于是,例,4,设,X,和,Y,的联合密度为,f,(,x,y,),求,Z,=,X,+,Y,的密度,.,解,:,Z,=,X,+,Y,的分布函数是,:,F,Z,(,z,)=,P,(,Z,z)=,P,(,X,+,Y,z,),这里积分区域,D,=(,x,y,):,x+y,z,是直线,x+y,=,z,左下方的半平面,.,二、连续型分布的情形,化成累次积分,得,固定,z,和,y,对,方括号内的积分作变量代换,令,x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率,密度与分布函数的关系,即得,Z,=,X,+,Y,的概率密度为,:,由,X,和,Y,的对称性,f,Z,(,z,),又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式,.,特别，当,X,和,Y,独立，设,(,X,Y,),关于,X,Y,的边缘密度分别为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),则上述两式化为,:,这两个公式称为卷积公式,.,下面我们用,卷积公式来求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,例,5,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,解,:,由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,如图示,:,也即,于是,由公式,解,例,6,设两个独立的随机变量,X,与,Y,都服从标准正态分布,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,得,用类似的方法可以证明,:,若,X,和,Y,独立,结论又如何呢,?,此结论,可以推广到,n,个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若,X,和,Y,独立,具有相同的分布,N,(0,1),则,Z=X+Y,服从正态分布,N,(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地,可以证明:,从前面例,4,可以看出，在求随机向量,(,X,Y,),的函数,Z,=,g,(,X,Y,),的分布时，,关键是设法将其转化为,(,X,Y,),在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出,Z,=,g,(,X,Y,),的分布,.,休息片刻再继续,三、,M=,max(,X,Y),及,N=,min,(X,Y),的分布,设,X,，,Y,是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为,F,X,(,x,),和,F,Y,(,y,),我们来求,M=,max(,X,Y,),及,N,=min(,X,Y,),的分布函数,.,又由于,X,和,Y,相互独立,于是得到,M=,max(,X,Y,),的分布函数为,:,即有,F,M,(,z,)=,F,X,(,z,),F,Y,(,z,),F,M,(,z,)=,P,(,M,z,),=,P,(,X,z,),P,(,Y,z,),=,P,(,X,z,Y,z,),由于,M=,max(,X,Y,),不大于,z,等价于,X,和,Y,都不大于,z,，,故有,分析：,P,(,M,z,)=,P,(,X,z,Y,z,),类似地，可得,N=,min(,X,Y,),的分布函数是,下面进行推广,即有,F,N,(z)=1-1-,F,X,(,z,)1-,F,Y,(,z,),=1,-,P,(,X,z,Y,z,),F,N,(,z,)=,P,(,N,z,),=1,-,P,(,N,z,),=1,-,P,(,X,z,),P,(,Y,z,),设,X,1,X,n,是,n,个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求,M=,max(,X,1,X,n,),和,N=,min(,X,1,X,n,),的分布函数,.,(,i,=0,1，,n,),用与二维时完全类似的方法，可得,特别，当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,),时，有,N=,min(,X,1,X,n,),的分布函数是,M=,max(,X,1,X,n,),的分布函数为,:,F,M,(,z,)=,F,(,z,),n,F,N,(,z,)=1-1-,F,(,z,),n,若,X,1,X,n,是连续型随机变量，在求得,M=,max(,X,1,X,n,),和,N=,min(,X,1,X,n,),的分布函数后，不难求得,M,和,N,的密度函数,.,留作课下练习,.,当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,),时，有,F,M,(,z,)=,F,(,z,),n,F,N,(,z,)=1-1-,F,(,z,),n,需要指出的是，当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,),时,常,称,M=,max(,X,1,X,n,),，,N=,min(,X,1,X,n,),为极值,.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值,.,例,7,解,下面我们再举一例，说明当,X,1,X,2,为离散型,r.v,时，如何求,Y=,max(,X,1,X,2,),的分布,.,解一,:,P,(,Y,=,n,)=,P,(max(,X,1,X,2,)=,n,),=,P,(,X,1,=,n,X,2,n,)+,P,(,X,2,=,n,X,1,n,),记,1-,p,=,q,例,8,设随机变量,X,1,X,2,相互独立,并且有相同的几何分布,:,P,(,X,i,=,k,)=,p,(1-,p,),k,-1,k,=1,2,(,i,=1,2),求,Y=,max(,X,1,X,2,),的分布,.,n,=0,1,2,解二,:,P,(,Y,=,n,)=,P,(,Y,n,),-,P,(,Y,n,-1),=,P,(max(,X,1,X,2,),n,),-,P,(max(,X,1,X,2,),n,-1),=,P,(,X,1,n,X,2,n,),-,P,(,X,1,n,-1,X,2,n,-1),n,=0,1,2,那么要问，若我们需要求,Y=,min(,X,1,X,2,),的分布，应如何分析？,留作课下思考,这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：,请通过练习熟练掌握,.,1,、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布,；,2,、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布,哥尼斯堡七桥问题,18,世纪在哥尼斯堡城,(,今俄罗斯加里宁格勒,),的普莱,格尔河上有,7,座桥，将河中的两个岛和河岸连结，,如图,1,所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是,提出了一个问题：能否一次走遍,7,座桥，而每座桥,只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七,桥问题。,这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成,A,、,B,、,C,、,D4,个点，,7,座桥表示成,7,条连接这,4,个点的线，如图,2,所示。,于是“七桥问题”就等价于上图中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。上图的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍,7,座桥，而每座桥只许通过一次的走法。,欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。,练习：随机变量,X,与,Y,的联合概率密度为,分别求,的概率密度,.,