四川省眉山市彭山区2025-2026学年数学高二上期末综合测试试题含解析.doc

四川省眉山市彭山区2025-2026学年数学高二上期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的x∈R，均有，则（ ）
A.e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)<f(0) B.e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)<f(0)
C.e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) D.e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)>f(0)
2．第届全运会于年月在陕西西安顺利举办，其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元，设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时值为（ ）

A. B.
C. D.
3．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）
A. B.1
C. D.
4．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5．双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
6．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为( )
A. B.
C. D.
9．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）
A. B.
C. D.
11．已知，，，则下列判断正确的是（）
A. B.
C. D.
12．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：

①正方体在每个顶点的曲率均为；
②任意四棱锥总曲率均为；
③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确结论的序号是（）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面直角坐标系内动点M（）与定点F（4，0）的距离和M到定直线的距离之比是常数，则动点M的轨迹是___________
14．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________
15．若、是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
16．已知正方形的边长为分别是边的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，则两点间的距离为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，且存在两个极值点、，其中.
（1）求实数的取值范围；
（2）若恒成立，求最小值.
18．（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代码
1
2
3
4
人均年纯收入y/百元
25
28
32
35

（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）
参考公式：，
参考数据：，.
19．（12分）已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
20．（12分）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，

（1）求证：平面ADE；
（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值
21．（12分）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
22．（10分）已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列
（1）求的通项公式；
（2）设的前n项和为，且，求的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.
【详解】构造函数，
所以在上递增，
所以，
即.
故选：D
2、A
【解析】根据题意得到泳池维修费用的的解析式，再利用导数求出最值即可
【详解】解：设泳池维修的总费用为元，则由题意得
，
则，
令，解得，
当时，；
当时，，
故当时，有最小值
因此，当较短池壁为时，泳池的总维修费用最低
故选A
3、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为
故选：B

4、D
【解析】将方程化为标准式即可.
【详解】方程化为标准式得
，则.
故选：D.
5、B
【解析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得，所以，
且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.
故选：B.
6、A
【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可
【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，
，
∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，
∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：
，即.
故选：A
7、D
【解析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，
又圆锥的表面积为，则，解得，，
则圆锥的高，所以圆锥的体积，
故选：D.
8、B
【解析】根据向量和直线l的方向向量的关系即可求出点P到直线l的距离.
【详解】由题意，，，
，，
，
到直线的距离为.
故选：B.
9、C
【解析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.
【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
10、D
【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.
【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.
故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.
故选：D.
11、A
【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.
【详解】因为，即；又，故.
故选：A.
12、D
【解析】根据曲率的定义依次判断即可.
【详解】①根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故①正确；
②由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故②正确；
③设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故③正确.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据直接法，即可求轨迹.
【详解】解：动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，
根据题意得，点的轨迹就是集合，
由此得．将上式两边平方，并化简，得
所以，动点的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、的椭圆
故答案为：
14、
【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，
设长方体的长宽高为，由题意可得：
，据此可得：，
则球的表面积：，
结合解得：.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
15、
【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.
【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，
A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则，即，
∴
由，则，已知，
在△F1AF2中应用余弦定理得：，
得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝
故答案为：
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.
16、.
【解析】取BE的中点G，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最后通过勾股定理求得答案.
【详解】如图，取BE的中点G，连接AG,CG，由题意，则是二面角的平面角，则，又，则是正三角形，于是.

根据可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，则平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；
（2）适当构造函数，并注意与关系，转化为函数求最大值问题，即可求得的范围.
【小问1详解】
（），
，
函数存在两个极值点、，且，
关于的方程，即在内有两个不等实根，
令，
，即，
，
实数的取值范围是.
【小问2详解】
函数在上有两个极值点，由（1）可得，
由，得，则，，，，
，
，，
，
令，则且，
令，，
，
再设，
则，
，
，即在上是减函数，
（1），
，
在上是增函数，
（1），
，
恒成立，
恒成立，
，
的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查导函数，函数的单调性，最值，不等式证明，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将恒成立，转化为恒成立，化简，令，则化为，然后构造函数，利用导数求出其最大值即可，属于较难题
18、（1）散点图见解析；
（2），能够脱贫.
【解析】（1）直接画出点即可；
（2）利用公式求出与，即可求出，把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.
【小问1详解】
画出y关于x的散点图，如图所示：
【小问2详解】
根据表中数据，计算，
，
又因为，，
所以，
，
关于的线性回归方程，
当时，（百元），
估计年A贫困户人均年纯收入达到元，能够脱贫.
19、（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，
（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可
【小问1详解】
的定义域为

当时，，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
，，即证：
，即证：
当时，，，

当时，令，则

在上单调递增

在上单调递增

综上所述：，即
20、（1）见解析（2）
【解析】（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。
【详解】（1）∵四边形ABEF为矩形

又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE
又，
同理可得：平面ADE
又，BF，BC 平面BCF
∴平面平面ADE
又CF平面BCF
平面ADE
（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
，，
,,
设是平面CDF的一个法向量，则
即
令，解得

又是平面AEFB的一个法向量，

∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。
21、（1）
（2）当或时，有最大值.
【解析】（1）利用等比数列通项公式求解即可；
（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
由已知得，数列首项， ，
设数列的公比为，即 ∴
即，
【小问2详解】

，
即当或5时，有最大值.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件即求；
（2）利用条件可得，然后利用错位相减法即求.
【小问1详解】
设等差数列公差为d，由得，
即，化简得，
又，，成等比数列，则，
即，
将代入上式得，
化简得，解得或－2（舍去），
则，所以
【小问2详解】
∵，
当时，，
当时，，符合上式，
则，
所以，
令，则，
，
∴，
化简得
综上，的前n项和