圆的方程点直线圆的位置关系高考数学考点回归总复习.pptx
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1、共共 54 54 页页1 1第三十九讲 圆的方程点直线圆的位置关系共共 54 54 页页2 2回归课本回归课本回归课本回归课本1.1.1.1.圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)2 2 2 2+(y-b)+(y-b)+(y-b)+(y-b)2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 2(r0),(r0),(r0),(r0),其中圆心为其中圆心为其中圆心为其中圆心为(a,b)(a,b)(a,b)(a,b),半径为半径为半径为半径为r r r r.2.2.2.2.圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程x x x x2 2 2 2+y+y+
2、y+y2 2 2 2+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D2 2 2 2+E+E+E+E2 2 2 2-4F0),-4F0),-4F0),-4F0),其中圆心为其中圆心为其中圆心为其中圆心为 半径半径半径半径若若若若D D D D2 2 2 2+E+E+E+E2 2 2 2-4F=0,-4F=0,-4F=0,-4F=0,则表示点则表示点则表示点则表示点若若若若D D D D2 2 2 2+E+E+E+E2 2 2 2-4F0,-4F0,-4F0,-4Frdrdrdr;点点点点P P P P在圆上在圆上在圆上在圆上d=rd=rd=rd=r
3、;点点点点P P P P在圆内在圆内在圆内在圆内drdrdrd r r r r2 2 2 2时时时时,点点点点P P P P在圆外在圆外在圆外在圆外;当当当当(x(x(x(x0 0 0 0-a)-a)-a)-a)2 2 2 2+(y+(y+(y+(y0 0 0 0-b)b)b)b)2 2 2 2=r r r r2 2 2 2时时时时,点点点点P P P P在圆上在圆上在圆上在圆上;当当当当(x(x(x(x0 0 0 0-a)-a)-a)-a)2 2 2 2+(y+(y+(y+(y0 0 0 0-b)-b)-b)-b)2 2 2 2 0;+F0;+F0;+F0;P P P P在圆上在圆上在圆上在
4、圆上x x x x2 2 2 20 0 0 0+y+y+y+y2 2 2 20 0 0 0+Dx+Dx+Dx+Dx0 0 0 0+Ey+Ey+Ey+Ey0 0 0 0+F=0;+F=0;+F=0;+F=0;P P P P在在在在圆内圆内圆内圆内x x x x2 2 2 20 0 0 0+y+y+y+y2 2 2 20 0 0 0+Dx+Dx+Dx+Dx0 0 0 0+Ey+Ey+Ey+Ey0 0 0 0+F0.+F0.+F0.+F0)(r0)(r0)(r0)的位置关系的的位置关系的的位置关系的的位置关系的判断方法有判断方法有判断方法有判断方法有:(1)(1)(1)(1)几何方法几何方法几何方法
5、几何方法圆心圆心圆心圆心(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)到直线到直线到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离的距离的距离的距离drdrdrdrdrdrdr直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相离.共共 54 54 页页7 7(2)(2)(2)(2)代数方法代数方法代数方法代数方法由由由由 消元消元消元消元,得到一元二次方程得到一元二次方程得到一元二次方程得到一元二次方程其判别式为其判别式为其判别式为其判别式为,则则则则0000直线与圆相交直线与圆相交直线与圆相交直线与圆相交;=0=0=0=0直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相切直
6、线与圆相切;0000)0)0)0)与与与与(x-a(x-a(x-a(x-a2 2 2 2)2 2 2 2+(y-b+(y-b+(y-b+(y-b2 2 2 2)2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 22 2 2 2(r(r(r(r2 2 2 20)0)0)0)的圆心距为的圆心距为的圆心距为的圆心距为d,d,d,d,则则则则drdrdrdr1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2两圆两圆两圆两圆相离相离相离相离;d=rd=rd=rd=r1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2两圆两圆两圆两圆外切外切外切外切;|r|r|r|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|dr|dr|d
7、r|dr1 1 1 1+r+r+r+r2 2 2 2两圆两圆两圆两圆相交相交相交相交;d=|rd=|rd=|rd=|r1 1 1 1-r-r-r-r2 2 2 2|两圆两圆两圆两圆内切内切内切内切;0d|r0d|r0d|r0db0ab0ab0ab0且且且且a=2c,a=2c,a=2c,a=2c,方程方程方程方程axaxaxax2 2 2 2+bx-c=0+bx-c=0+bx-c=0+bx-c=0的两个实根分别为的两个实根分别为的两个实根分别为的两个实根分别为x x x x1 1 1 1和和和和x x x x2 2 2 2,则点则点则点则点P(xP(xP(xP(x1 1 1 1,x,x,x,x2
8、 2 2 2)()()()()A.A.A.A.必在圆必在圆必在圆必在圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=2=2=2=2内内内内B.B.B.B.必在圆必在圆必在圆必在圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=2=2=2=2上上上上C.C.C.C.必在圆必在圆必在圆必在圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=2=2=2=2外外外外D.D.D.D.以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能共共 54 54 页页1515答案答案:A:A评析评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系本题综合考
9、查了韦达定理以及点与圆的位置关系.共共 54 54 页页1616类型一类型一类型一类型一 求圆的方程求圆的方程求圆的方程求圆的方程解题准备解题准备解题准备解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程无论是圆的标准方程还是圆的一般方程无论是圆的标准方程还是圆的一般方程无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个都有三个都有三个都有三个待定系数待定系数待定系数待定系数,因此求圆的方程因此求圆的方程因此求圆的方程因此求圆的方程,应用三个条件来求应用三个条件来求应用三个条件来求应用三个条件来求.一般地一般地一般地一般地,已已已已知圆心或半径的条件知圆心或半径的条件知圆心或半径的条件知圆心或半径的条件,
10、选用圆的标准式选用圆的标准式选用圆的标准式选用圆的标准式,否则选用一般式否则选用一般式否则选用一般式否则选用一般式.另外另外另外另外,还有几何法可以用来求圆的方程还有几何法可以用来求圆的方程还有几何法可以用来求圆的方程还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有要充分利用圆的有要充分利用圆的有要充分利用圆的有关几何性质关几何性质关几何性质关几何性质,如如如如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“”“”“”“半径半径半径半径,弦心距弦心距弦心距弦心距,弦长的一半构成直角三角形弦长的一半构成直角三角形
11、弦长的一半构成直角三角形弦长的一半构成直角三角形”等等等等.共共 54 54 页页1717【典例典例典例典例1 1 1 1】求过两点求过两点求过两点求过两点A(1,4)A(1,4)A(1,4)A(1,4)B(3,2)B(3,2)B(3,2)B(3,2)且圆心在直线且圆心在直线且圆心在直线且圆心在直线y=0y=0y=0y=0上的圆上的圆上的圆上的圆的标准方程并判断点的标准方程并判断点的标准方程并判断点的标准方程并判断点P(2,4)P(2,4)P(2,4)P(2,4)与圆的关系与圆的关系与圆的关系与圆的关系.分析分析分析分析 欲求圆的标准方程欲求圆的标准方程欲求圆的标准方程欲求圆的标准方程,需求出
12、圆心坐标和圆的半径的大需求出圆心坐标和圆的半径的大需求出圆心坐标和圆的半径的大需求出圆心坐标和圆的半径的大小小小小,而要判断点而要判断点而要判断点而要判断点P P P P与圆的位置关系与圆的位置关系与圆的位置关系与圆的位置关系,只需看点只需看点只需看点只需看点P P P P与圆心的距离与圆心的距离与圆心的距离与圆心的距离和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系;若距离大于半径若距离大于半径若距离大于半径若距离大于半径,则点在圆外则点在圆外则点在圆外则点在圆外;若若若若距离等于半径距离等于半径距离等于半径距离等于半径,则点在圆上则点在圆上则点在圆上则点在圆
13、上;若距离小于半径若距离小于半径若距离小于半径若距离小于半径,则点在圆内则点在圆内则点在圆内则点在圆内.共共 54 54 页页1818 解解解解 解法一解法一解法一解法一:设圆的标准方程为设圆的标准方程为设圆的标准方程为设圆的标准方程为(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)2 2 2 2+(y-b)+(y-b)+(y-b)+(y-b)2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 2.圆心在圆心在圆心在圆心在y=0y=0y=0y=0上上上上,故故故故b=0.b=0.b=0.b=0.圆的方程为圆的方程为圆的方程为圆的方程为(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)2 2 2 2+y+y+y+y2 2
14、2 2=r=r=r=r2 2 2 2.又又又又该圆过该圆过该圆过该圆过A(1,4)A(1,4)A(1,4)A(1,4)、B(3,2)B(3,2)B(3,2)B(3,2)两点两点两点两点.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=20.=20.=20.=20.共共 54 54 页页1919共共 54 54 页页2020共共 54 54 页页2121共共 54 54 页页2222 反思感悟反思感悟反思感悟反思感悟(1)(1)(1)(1)本题解法一与解法二都使用了待定系数法本题解法一与
15、解法二都使用了待定系数法本题解法一与解法二都使用了待定系数法本题解法一与解法二都使用了待定系数法,其中解法一设了圆的标准方程其中解法一设了圆的标准方程其中解法一设了圆的标准方程其中解法一设了圆的标准方程,解法二设了圆的一般方程解法二设了圆的一般方程解法二设了圆的一般方程解法二设了圆的一般方程,都是结合条件来求所设方程中的待定系数都是结合条件来求所设方程中的待定系数都是结合条件来求所设方程中的待定系数都是结合条件来求所设方程中的待定系数;解法三则应用解法三则应用解法三则应用解法三则应用了平面几何知识了平面几何知识了平面几何知识了平面几何知识:圆心与弦的中点的连线与弦垂直圆心与弦的中点的连线与弦垂
16、直圆心与弦的中点的连线与弦垂直圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而一般而一般而一般而言言言言,在解析几何问题中在解析几何问题中在解析几何问题中在解析几何问题中,能用上平面几何知识能用上平面几何知识能用上平面几何知识能用上平面几何知识,会使解题变会使解题变会使解题变会使解题变得相对简单得相对简单得相对简单得相对简单.(2)(2)(2)(2)无论哪种解法无论哪种解法无论哪种解法无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量量量量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来然后根据圆
17、心与定点之间的距离和半径的大小关系来然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系判定点与圆的位置关系判定点与圆的位置关系判定点与圆的位置关系.共共 54 54 页页2323类型二类型二类型二类型二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系解题准备解题准备解题准备解题准备:1.:1.:1.:1.直线与圆位置关系的判定方法直线与圆位置关系的判定方法直线与圆位置关系的判定方法直线与圆位置关系的判定方法:(1)(1)(1)(1)几何法几何法几何法几何法:由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离由圆心到直线的距
18、离由圆心到直线的距离d d d d与半径与半径与半径与半径r r r r的大小判断的大小判断的大小判断的大小判断.当当当当drdrdrdrdrdrdr时时时时,直直直直线与圆相离线与圆相离线与圆相离线与圆相离.共共 54 54 页页2424(2)(2)(2)(2)代数法代数法代数法代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组通过直线方程与圆的方程所组成的方程组通过直线方程与圆的方程所组成的方程组通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据根据根据根据解的个数来研究解的个数来研究解的个数来研究解的个数来研究.若有两组不同的实数解若有两组不同的实数解若有两组不同的实数解若有两组不同的实数解,即即即即
19、0,0,0,0,则直线与圆相交则直线与圆相交则直线与圆相交则直线与圆相交;若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解,即即即即=0,=0,=0,=0,则直线与圆相切则直线与圆相切则直线与圆相切则直线与圆相切;若无实数解若无实数解若无实数解若无实数解,即即即即0,0,0,0,则直线与圆相离则直线与圆相离则直线与圆相离则直线与圆相离.共共 54 54 页页25252.2.2.2.若直线与圆相交若直线与圆相交若直线与圆相交若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长则直线被圆截得的弦长则直线被圆截得的弦长则直线被圆截得的弦长3.3.3.3.以圆以圆以圆以圆x x x x
20、2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=r=r=r=r2 2 2 2上一点上一点上一点上一点P(xP(xP(xP(x0 0 0 0,y,y,y,y0 0 0 0)为切点的切线方程为为切点的切线方程为为切点的切线方程为为切点的切线方程为x x x x0 0 0 0 x+yx+yx+yx+y0 0 0 0y=ry=ry=ry=r2 2 2 2.共共 54 54 页页2626【典例典例典例典例2 2 2 2】已知圆已知圆已知圆已知圆C:(x-1)C:(x-1)C:(x-1)C:(x-1)2 2 2 2+(y-2)+(y-2)+(y-2)+(y-2)2 2 2 2=25=25=25=25及直线及
21、直线及直线及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)(1)(1)(1)证明证明证明证明:不论不论不论不论m m m m取什么实数取什么实数取什么实数取什么实数,直线直线直线直线l l l l与圆与圆与圆与圆C C C C恒相交恒相交恒相交恒相交;(2)(2)(2)(2)求直线求直线求直线求直线l l l l被圆被圆被圆被圆C C C C截得弦长最短长度及此时截得弦长最短长度及此时截得弦长最短长度及此时截得弦长最短长度及
22、此时l l l l的直线方程的直线方程的直线方程的直线方程.共共 54 54 页页2727 解析解析解析解析(1)(1)(1)(1)直线直线直线直线l l l l可化为可化为可化为可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,x+y-4+m(2x+y-7)=0,x+y-4+m(2x+y-7)=0,x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论即不论即不论即不论m m m m为任为任为任为任何实数何实数何实数何实数,它恒过两直线它恒过两直线它恒过两直线它恒过两直线x+y-4=0 x+y-4=0 x+y-4=0 x+y-4=0与与与与2x+y-7=02x+y-7=02x+y-7=02x+y-7=0的交点的
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