概率 第三章 第一节二维随机变量.pdf
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1、概率论第一节二维随机变量二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量O二维连续型随机变量课堂练习O小结概率论从本讲起,我们开始第三章的学习.它是第二章内容的推广.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难,我们重点讨论二维随机变量.概率论到现在为止,我们只讨论了一维小及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而 需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是 由一对rv(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是 由三个r.v(三个坐标)来确定的等 等.概率论一般地,设E是一个随机试验,它的样本空间是 s=e,设 X=X(e),玛=*2(e),
2、,X”=七 是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个“维向 量(X,占,,X”)叫做维随机向量或“维随机变 量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.概率论、二维随机变量的分布函数定义1设(x,y)是二维 随机变量,如果对于任意实数%,M二元函数=p(Xx)n(y J)p(xx,y j)一维随机变量X的分布函数F(x)=P(X x)00 X 00称为二维随机变量(x,v)的分布函数,或者称为随机 变量x和y的联合分布函数.概率论分布函数的函数值的几何解释将二维随机变量(x,y)看成是平面上随机点的 坐标,那么,分布函数方(x,y)在点(占y)处的函数值 就是随机点(X*)落在下面左
3、图所示的,以点(与分 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.y(XQ)Yo(X、)A XXoX概率论随机点(X/)落在矩形域占x x2,yr yy2 内的概率为P(%1 X x1,y1Y o,=1,2,户概率论也可用表格来表示随机变量X和y的联合分布律.工2 X.1/%P11P2 1 Ai 乃 P12 P12 Pi2 匕 P1J Pl j Pij 概率论例1把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次 抛掷中正面出现的次数,而y为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值,求(x,y)的分布律.解(X,y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,y=3=(1/2)3=1/8、2
4、3、1(1 PX=1,Y=1=1=3/8k1/227PX=2,Y=l=3 aiY-=3/8 21 30 1/83/8 03/8 00 1/8PX=3,y=0=(l/2)=l/8.概率论三、二维连续型随机变量定义3对于二维随机变量(X,y)的分布函数尸(x,y),如果 存在非负的函数/(x,y),使对于 任意有网/7)=匚1:f(u,v)dudv则称(x,y)是连续型的二维随 机变量,函数/(工4)称为二维 随机变量(x,y)的概率密度,或 称为随机变量x和y的联合概 率密度.一维连续型 随机变量x的 分布函数-00 X 0poof(x)dx=lJ00概率论二维连续型随机变量(x,y)的概率密度
5、具有性质f(x,y)Qf.OO,00于(X,y)dxdy=100 J00/JJ f(x,y)dx dy=l0;(f(x,y)dxdy=l;f(x,y)dxdy=1;-0 0 R2)3.设G是孙平面上的区域,则有尸(X,y)eG=JJ fx,y)dx dy;G4.在的连续点,/(%,y)二一ba,30 dxdy概率论例2设(x,y)的概率密度是2一(2%+7)x 0,y 0,其它.(1)求分布函数方(x,y);(2)求概率py X.概率论解(1)小,加匚匚小#“源积分区域 D=(#)卜8 U%,-8 V o#o概率论X(尤,y)J0uy-A0 产 u|(x,y)概率论当 xO,y 0 时,方(%
6、,7)=J:匚 f(u,v)dudv=yX 2 e-dudv=J 0 J 0=(l-e2x)(l-eJ)当xVO或yKO时,方(x,y)=J:j:f(u,v)dudv故 F(x,j)=0 x 0,y 0,0,其它.概率论(2)PYX=JJ f(x,y)dxdy yx=2j;dx1e-3+,)dy=2j:e-2dx.eydy=21(0-2-3%1 3c e o概率论课堂练习设随机变量(X,Y)的概率密度是f(x,y)=k6-x-j),0 x 2,2 y 4,0,其它.(1)确定常数七(2)求概率PXl,y x2(2)PX1,Y3 3=凯4(67-,)6概率论五、小结在这一节中,我们与一维情形相对
7、照,介绍了 二维随机变量的分布函数,离散型随机变量的分 布律以及连续型随机变量的概率密度函数.概率论第二节边缘分布 边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律一连续型随机变量的边缘概率密度 课堂练习0小结概率论二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有 什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题.概率论一、边缘分布函数二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函 数尸(工,),而x和y都是随机变量,也有各自的分 布函数,分别记为耳(x),4(y),依次称为二维随机 变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.F
8、x(x)=px x=px x,y +oo=F(x,+oo)Fy(j)=py j=px+oo,y/p,.,口 j=l j=l(i=l,2,)(。0 Ax=巧=|J x=巧,丫=yj j=l)_概率论(x,y)关于y的边缘分布律为00 00py=)J=Z px=u,y=匕=2。4砌 i=l i=l V(j=l,2,)概率论例1把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次 抛掷中正面出现的次数,而y为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值,求(x,y)的分布律.解(X,y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,y=3=(1/2)3=1/8、23、1(1 PX=1,Y=1=1=3/8P
9、X=2,Y=l=iY-=3/8 2PX=3,y=0=(1/2)3=l/8.03/83/8 0q、2723概率论Px=o)=px=o,y=i+Px=o,y=3)=i/8,PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,y=3=3/8,PX=2=PX=2,Y=1+PX=2,丫=3=3/8,PX=3=PX=3,Y=1+PX=3,y=3=l/8.3PY=1=PX=k,Y=l=3/8+3/8=6/8,k=03PY=3=px=卜丫=3l/8+l/8=2/8.k=0概率论我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上,由此得出边缘分布这个名词.i3PX=巧001/81/813/803/823/803/8301/81/
10、8pY=yj6/82/81概率论联合分布与边缘分布的关系13PX=xt001/81/813/803/823/803/8301/81/8pY=yj6/82/81由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.概率论三、连续型随机变量的边缘概率密度对连续型小(x,y),x和y的联合概率密度为y)则(X.Y)关于X的边缘概率密度为,8fxM=/(九)力(00 x 8)Joo 事实上,Fx(x)=F(x9+oo)=X dx+f(x,y)dy Jco Jcofx(x)=Fx(%)=J_8,(4)办概率论(x,y)关于y的边缘概率密度为poofY(y)=(-oo j y)=cy(2-x),Q
11、 xl,Q y x求C的值;解(1)10,(2)两个边缘密度。fx,y)dxdyR2其它yAy=x=f dx l cy(2-x)dy=x3dx优=524,故 c=2 4/5.o概率论例2设(x,y)的概率密度是心(2-初 0 xl,0y1或工0时,Vy(-叫+8),都有/(x,y)=o,故/x(x)=O,当04x41时,(”)=匚+Jo(xMdy+10/(x,y)dy概率论当04x41时,+Jo()dy+rrx 24=1y(2-*)012?=x2(2-x),综上,512(、x2(2-x 0 x(%)=5 I、0,,其它.概率论例2设(x,y)的概率密度是/(羽 y)=cy(2-x 0 xl,0
12、y 1或y:,0010,其它注意取值范围概率论在求连续型小的边缘密度时,往往要求联 合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分 片表示的时候,在计算积分时应特别注意积分限.F面我们介绍两个常见的二维分布.概率论设G是平面上的有界区域,其面积为4若二 维随机变量(x,v)具有概率密度1/(“)=i(x,”G0,其它则称(x,y)在g上服从均匀分布.例向平面上有界区域G上任投一质点,若质点落 在G内任一小区域b的概率与小区域的面积成正比,而与b的形状及位置无关.则质点的坐标(工)在6 上服从均匀分布.OOO概率论若二维随机变量(x,y)具有概率密度“1 一 1(%-41)2人”蔡痴彳叫乖功丁丁00
13、 X 00,00 y 口 p 1.则称(XI)服从参数为1,2,百,。2,夕 的二维.记作(x,y)n(i,2,4w)OOO概率论例3试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解 fx(%)=J二/(工,)办因为(7-2)2 九(X-1)(了一2)i zp。2 2 _ 2 夕 _ 1 p2(X 一 4 1(。2)%所以/x(x)=(%-1)2概率论、2/x(x)=-I e 2d f e)2-/了了 J-2(1一月尸2 J。21(1 一一42J1-/(。2令t=、X U.ryP-,贝!I有al)2(X-i)t2fx=2 e 谒匚&2dtNTT%(x-i)=-e 2-V2tt2tt%(%-41)2(-0
14、0 x 00)概率论同理(尸/2)2,(y)=旧。e 2g(-00 J00)可见二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数P.也就是说,对于给定的不同的,对应 不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明由边缘分布一般不能确定联合分布.概率论I、课堂练习设(x,y)的概率密度是/(“)=O,y x、0,其它求(x,y)关于x和y的边缘概率密度./(%,)=I ex 0,y x,0,其它概率论解 fx(%)=J二/(工,)办当 x0 时,/X(x)=J0Jy=0当x 0时,fx(x)=e-ydyAyy=x-y x-xj=e+00故0 x-概率论43=1 二/(占机
15、当yo时,人()=1二公=当y o时,fY(y)=eydx=yey yf(ye-y _043=7”o.,概率论五、小结1.在这一讲中,我们与一维情形相对照,介 绍了二维随机变量的边缘分布.2.请注意联合分布和边缘分布的关系:由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.概率论第三节条件分布e离散型随机变量的条件分布 一连续型随机变量的条件分布 课堂练习0小结概率论在第一章中,我们介绍了条件概率的概念.在事件5发生的条件下事件4发生的条件概率P(A|B)=PV推广到随机变量设有两个r.vx,y,在给定y取某个或某些值 的条件下,求x的概率分布.这个分布就是条件分布.概率论例如,考
16、虑某大学的全体学生,从其中随机抽 取一个学生,分别以x和y表示其体重和身高.贝!x和y都是随机变量,它们都有一定的概率分布.身高y 的分布体重x 的分布概率论现在若限制L7vyvl.8(米),在这个条件下去求X 的条件分布,这就意味着要从该校的学生中把 在17米和1.8米之间的那些人都挑出来,然后在挑出 的学生中求其体重的分布.容易想象,这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样.例如,在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加.oeo概率论一、离散型随机变量的条件分布实际-类似定义在x=/条件下 含在另一种 形式下的 随机变量y的条件分布律.定义i设(x,y)是二维离散型随机变量,对 于固定的
17、人若Py=”o,则称PX=XiY=yj=px=巧,y=匕PijpY=yj p.j9 i=l,2,为在丫=”条件下随机变量x的条件分布律.作为条件的那个小,认为取值是给定断 此条件下求另一小的概率分布.,概率论条件分布是一种概率分布,它具有概率分布的 一切性质.正如条件概率是一种概率,具有概率的 一切性质.例如:p=xi y=j.o 1=1,2,.00px=xi r=j J=i i=l那么,我们先看课本例1概率论例2一射手进行射击,击中目标的概率P(OP pl),射击进行到击中目标两次为止.以X表示首 次击中目标所进行的射击次数,以y表示总共进行 的射击次数.试求x和y的联合分布及条件分布.解
18、依题意,丫=表示在第次射击时击中目 标,且在前小1次射击中有一次击中目标.X=m表 首次击中目标时射击了机次.概率论/Q L,.因厂;次射击击中 击中每次击中目标的概率为p不论加(加)是多少,PX=m,Y=n=?px=m,y=都应等于PX=m9Y=n=p2(l-2由此得x和y的联合分布律为PX=mY=p2(l-2(=2,3,;m=ly2y,h-1)概率论为求条件分布,先求边缘分布.X的边缘分布律是:+00PX=/n=PX=mY=n=m+l00 oo=22(1_0一2二尸2 E(l_p)“-2n=m+l n=m+ll-(l-p)八 P)(/n=l,2,)概率论y的边缘分布律是:n-1py=Zpx
19、=%丫=nm=l一 1空P?”产m=l=(n-l)p2(l-py-2(n=2,3,)概率论于是可求得:当=2,3,时,Px=mY=n 联合分布PX=m,Y=*-.-PY=n-jP2(i-Py-2(n-i)P2(i-Py-21=-,”1概率论当初=1,2,时,px=y=_ px=m,y=一-X=m/I“-2P P产=p(l p)n m ln=m+l m+2.概率论二、连续型随机变量的条件分布设(x,y)是二维连续型匚y,由于对任意x,j,p*=x=o,Py=j=o,所以不能直接用条件概 率公式得到条件分布,下面我们直接给出条件 概率密度的定义.概率论定义2设X和Y的 概率密度为7(%,y),(x
20、,y)关于y的 概率密度为人3),若对于固定 的y则称/(”)为在丫=丁的条件下X的表件概率密度.记为fxY(x I y)=/y(j)同时,称 L,x|y(x|y)dx=L1dx 为 Y=y的条件下,X的条件分布函数.记为PX 或方x|y(x|y)OOO概率论即px x Y=y=4|丫(巾)=r(X,y)00人3dx类似地,可以定义4ix(yl%)=(出)=J_:fx(x)z/x(x)概率论我们来解释一下定义的含义:/(x9 J)以 fxY(%I y)=/y(J)为例PX xY=y=lim PX x y Y y+s0+Px xy Y y+s=PXx,yY y+sPyY y+e(广4:fy+dd
21、xI,fy(y)dy /丫6+。2)%J y xfx,y+edx f f(x,y)dx3-(-0+)fY(y+O2e)/yW概率论XV(巾)口 px xY=ufxY(xy)=概率论例3设(x,r)的概率密度是ex/yey-,0 xoo,0j l Y=y.解 pxiW=y=f/xiF3y)dx 为此,需求出/X|y(x|J)概率论由于/y(j)=r f(x,y)dxJcoy Apoo=Joe-x/ye-y e-y.-dx=-ye-x/y=ey y0 J 0./y(j)y故对y0,PXl Y=y=-e-x/yf=e-1,y y1概率论例4设(X,F)服从单位圆上的均匀分布,概率 密度为x2+j2
22、1其它一,710,概率论fx(x)=f(x,y)dy=1-X 7 0,|x|1当|x|vl时,有人ix(yl%)=/x(x)-Jl -2 V y V Jl-,概率论即当|x|l时,有.fyX(/I%)=2,1-炉X已知的条件下Y的条件密度Vl-x2 y Vl-x2y取其它值概率论例5设数X在区间(0,1)均匀分布,当观察到X=x(oavi)时,数傩区间(%,i)上随机地取值.求y的概率 密度.解依题意,X具有概率密度 fl,0 xl其它对于任意给定的值x(0 xl),在X=x的条件下,Y 的条件概率密度为fyx(J I e)11-X 0,X J 1其它概率论x和y的联合密度为已知边缘密度、J条
23、件密度,求/(占 J)=fx Mfyx(y I%尸二二 联合密度1 八 1-,0 x j1 I-X0,其它于是得y的概率密度为 一/y(j)=J/(x,y)dx Jco占二一颂1以4o jO,yx 10,其它求/X|y(x|)概率论i.对于二维正态分布,在已知x=条件下,求y 的条件分布.解 设(x,v)1,2足冠,),则其概率密度为f(x,y)=-/9 exp2。2-1-X的边缘密度为(小fx(x)=re 2 可7 2 O概率论在x=条件下,y的条件概率密度为4国(小)=/(x,y)/x(x)pXx-fi22(1-/)L/概率论2.设(x,y)的概率密度是/(%,)=求 fx|y(R|y)e
24、y,xQ,yx:0,其它解(x,y)关于y的边缘概率密度为人3=0,0,J0 时,若o X0时,yy=x加(巾)=ey 90 x y9l,I0,其它.概率论、小结这一节,我们介绍了条件分布的概念和计 算,并举例说明对离散型和连续型随机变量如 何计算条件分布.请课下通过练习进一步掌握.概率论第四节 相互独立的随机变量等随机变量相互独立的定义O课堂练习e小结概率论一、随机变量相互独立的定义设x,y是两个小,若对任意的xj,有P(X x,Yy)=P(X x)P(Y 0,j 00,其它问x和y是否独立?解 fx M=f xex+ydy=xex,x0JOpoo/fY(j)=xex+ydx=e-yy 0概
25、率论即 A3=1,Xx 0,其它f,J0 八,一 0,其它可见对一切x,y,均有:故x,y独立.概率论若(x,y)的概率密度为2,0 x y,0 y 1=5 其它情况又怎样?解 fx(x)=C2 dy=2(1-x),0 xlJxfY(T)=2 dx=2 y,0j1由于存在面积不为0的区域,f(x,j)/x(x)/y(j)故x和y不独立.一一 一概率论例2甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如 果甲来到的时间在12:15至!)12:45之间是均匀分布.乙 独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀 分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5 分钟的概率.又甲先到的概率是多
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