数学模型 4.2 常微分方程组模型.pdf
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1、安徽大学剧等科学学院o 4.2 常微分方程组模型:由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程 组。本节建立传染病模型、男生追女生模型和种 群增长模型,并判断方程组的稳定性。4.2.1传染病模型我国目前的法定传染病有甲、乙、丙三类,共39种 0传染病的特点是有病原体,有传染性和流行性,感染后常有免疫性。有些传染病还有季节性或地方 性。传染病的分类尚未统一,有人按病原体分类,有人按传播途径分类。传染病的预防应采取以切断 主要传播环节为主导的综合措施。传染病的传播和0:流行必须具备3个环节,即传染源(能排出病原标的 人或动物)、传播途径(病原体传染他人的途径)及易感者(对该种传染病无免疫力者)。若能
2、完全切断其中的一个环节,即可防止该种传染 病的发生和流行。各种传染病的薄弱环节各不相同 o在预防中应充分利用。除主导环节外对其他环节 也应采取措施,只有这样才能更好地预防各种传染 病。不同类型的传染病,其传播过程有着各自不同的特点,了解这些具体的传染病的传播过程需要了解其病理知识,这里不可能从医学角度一一进行分析,而主要按照一般的传播机理建立几类一般的传 染病模型分析受感染人数的变化规律,讨论终止传 染病蔓延的方法和手段。模型L用表示!时刻的病人数量,假设病人一 旦与健康人群接触就会使健康人群患病,且单位时 间内每个病人能够使健康人患病的人数为2。初始 时刻的病人数为40)=/。利用微元法,考
3、虑依什旬 内病人数的变化,贝|有M%)=疝上式 两边同时除以4,并令4.0,得到dxj dt-x(0)=x0(4.2.1)式(4.2.1)的求解程序及结果如下:dsolveC D x-la mbda*x=0,x(0)=x0,t)a ns=xO exp(la mbda t)即式(4.2.1)的解为x)=(4.2.2)式(4.2.2)为指数形式,故称模型(4.2.1)为指 数增长模型。根据式(4.2.2),当/一长 时,8,即所有人都会患病。很显然,这与事实不符。模型2.(SI模型)考虑以下假设:(1)不考虑人口的出生、死亡和迁移等种群动力因 素,在疾病传染期所考察地区内总人数始终保持常 数不变;
4、(2)人群分健康人群(易感染者,Susc eptible)和病人(已感染者,Inf ec tive),t 时刻这两类人在总人数中所占比例分别为s。)和,即有s+近)=1,并设初始时刻患病人数比例为/(0)=i0.(3)病人一旦与健康人群接触,就必然具有一定的 传染性。假设方时刻单位时间内每个病人能传染的 易感染者数量与该地区易感染者比例5(。成正比,比例系数为即,时刻单位时间内每个病人可使 a s个易感染者患病,而病人总数为z()N,因而 t时刻单位时间内共有改N个易感染者患病。利用微元法,内患病人数的变化量为:Ni(t+Ar)-z(O =as(t)i(t)N kt上式两段同时除以,并令加一。
5、,有didt=hsi o结合假设(2),有di/dt=a z(l-z);z(0)=z0(4.2.3)先观察山/的图像,建M文件myf unl.m。命令如下:f unc tion y=myf unl(i);y=0.01*i*(l-i);再输入命令:f plot C rnyf unT,0,1);f plot函数的命令格式为f plot(f un,lims),表示绘制字符串f un制定的函数在lims=xmin,xma x或 lims=xmin,xma x,ymin,yma x上的图形。但是f un必 须是M文件的函数名或是独立变量为x的字符串。图形如下:图4.2.1 图像由图4.2.1可以看出,当
6、,=0.5时,成/应达到最大值,此时病人数增长得最快,意味着传染病高潮的到 来。模型(4.2.3)的求解程序如下:syms i a lph a t;dsolve(D i-a lph a*i*(l-i),i(0)=i0,t)结果为:a ns=1/(-exp(-a lph a*t)*(T+iO)/i0)这里syms是M a tla b中定义多个变量的。根据运彳亍结 果,有式(4.2.3)的解:止和-e)止阿私(4.2.4)由式(4.2.4),当 Z=0.5 时=1口(1儿 一 1)/。,这是传染病最高峰时刻,此时才与。成反比。因 为。反映了单位时间每个病人的传染数量,所以也 被称为单位时间接触率,
7、它直接反映了当地的卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。函数 的作图命令及图形如下(这里取。=O.5o=O.O l):f plot c l/(l-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)0,30);xla bel(t);yla bel(i);图4.2.2患病人数比例 的图像由图4.2.1可以看出,,单调递增,且在,0.5时下 凸,而在,0.5时上凸,且有渐近线,=1,即病人 数量一直递增,在病人比例不到时增长速度非常快,而在病人比例超过时增长速度放缓,最终病人的 比例将接近于100%。显然这与事实不符,究其原因,是因为模型(4.2.3)中没有考虑病人被治愈的情 况。模型3.(SIS模
8、型)增加假设:假设被治愈的人不 具有免疫能力,将成为易感染者,且,时刻单位时 间内治愈者变化率与病人数量成正比,比例系数为4,利用微元法,印+加内患病人数的变化量为Ni+X)ig=as)iQ)NMX,故有dijdt-ods-pi-ai(l-z)-/3 i i=(4.2.5)显然,当尸=0,即没有病人治愈时,模型(4.2.5)变为模型(4.2.3)。令a/尸,则有di/dt(J)(4.2.6)因为。反映了单位时间每个病人的传染数量,而尸 反映了单位时间内每个病人的治愈率,贝1)1/夕可表示 为平均每个病人的治愈时间,/为传染期内平 均每个病人的有效传染数量。图4.2.3(a)时的图像图4.2.3
9、(b)时的图像由图4.2.3(a)和(b)可以看出,当。1时,山/力 随着,的增大呈现先增后减的趋势,且在1-1/。处为 0,即此时,)达到最高峰;而当时,力/力小 于0且随着1的增大一直递减,即海)单调递减且递 减的速度越来越快。模型(4.2.6)的程序为:dsolveCD i=-a lph a*i*(i-(l/sig ma),,i(0)=i0,,t);运行结果为:a ns=(sig ma-1)/(sig ma-exp(-a lph a*(sig ma-1)*t/sig ma)*(-sig ma+l+iO sig ma)/iO/(sig ma-1)*sig ma+exp(-a lph a*(
10、sig ma-1)*t/sig ma)*(-s i g ma+1+i 0 s i g ma)/iO/(sig ma-1)图4.2.4(b)时患病人数比例i的图图4.2.4(a Wwi时患病人数比例1的图像图4.2.4(c)a=Q5,。=2,i0=0.6时患病人数比例,的图形。图4.2.4(a)为 a=0.5,c r=0.2?=0.01 时的图形,图4.2.4(b)为a=0.5,。=2%=0.01 时的图 形,图 4.2.4(c)为 a=0.5,0=2,办=0.611/。时 的图形。可以看出,当。(1时,i从。点出发,单调递减趋于3即此时病人数会越来越小最终趋于0;当01时,近)的单调性取决于。
11、的大小,但是 不论初始值办21-1/。还是io 0,s(0)=s。,r(0)=0;(2)单位时间内每个病人的接触率为a,单位时间 内每个病人的治愈率为夕,(r=a/为传染期内平均 每个病人的有效传染数量;利用微元法,甲+的内移出者的变化量为r(t+A t)-r(t)N=/3 i(t)NA t)等式两边同除以,并令470,则有drjdt=/3 i(4.2.7)故有SIR模型:ds/dt=-ocsi,5(0)=s0;闻应=而_戊7(0)=%;如应=戊40)=石=0.(4.2.9)且S+9)+厂=1.因模型(4.2.9)无法得到解析解,因此考虑作数值分析,先建立M文件:f unc tion y=il
12、l(t,x);a lph a=l,beta=0.3;y=a lph a x(1)*x(2)-beta*x(1),-a lph a*x(l)*x(2);这里假设a=l,尸=。3,然后输入命令:ts=0:50;xO=O.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,xO);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),g rid,pa use;plot(x(:,2),x(:,1),g rid得到s)、i以及心)图形如下:0.350.30.250.20.150.10.0500 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 07 0.8 0.9 1图4.2.5(a)s)、,的图像图4.2.5(b
13、),(s)的图像下面分析模型(4.2.9)中的s、,和r的变化 情况:(1)由主/d%=-a si知恒有ds/d1(。,即s单调 递减,且对任意时刻有sWs0;(2)力/dt=ais-优可表K为di/dt=ai(s-U(J),(y-alp 若s0l/b,由sM s。知恒有山/a 0,t t。di/dt-ai(s-1/c r)=0,t=t。tG.(4.2.10)由式(4.2.10)知,在,。之前,患病人数在增加,而在之后患病人数在减少,即传染病传播基本得 到控制。(3)由(4.2.9)知,若存在匕使得,(%)=0,而/0,故有网力L=成/山曰二0,进 而有以/说曰=0,即传染病传播完全终止,此时
14、所 有的患病者全部被移出,故传染病传播的最终结果是ii)=O,s(%)+r(%)=l.(4)将(4.2.9)中的第一个方程和第三个方程相 除得到ds/dr=-(js;s(O)=sQ;r(0)=为=。.(4.2.11)求解得到s=“一,令t t,得到2soe-0,该式表明传染病终止后并非所有的人都要患病,然后治愈成为移出者,总有未曾患病的人存在。(5)由 s(G+“G=i得到厂(4)=1 5储)(4.2.12)式(4.2.12)反映了传染病传播终止后,被移出人 数占群体总人数的比率,可作为衡量传染病传染强 度的一种指标,该比值越大传染强度也越大。(6)将式(4.2.9)中的第二个方程和第一个力程
15、 相除得到成/所=1/(5)-1;6)=%;(j=a/3(4.2.13)对式(4.2.13)进行求解,得到即i=I+防 _s+ln(s/so)/b(4.2.14)z(Z)+5(Z)=z0+%+ln(s/so)/(r(4.2.15)令t T t、,且有ii)=O,则s(%)满足%+%一58)+111(汽)/防)/。=0.即:。二(1115(%)-111%)/(霏)_“_10)(4.2.16)而由式(4.2.13)知效i=10)-l(Xsl/b,易感人群此例 随着看的增加而减少,患病人数比例随1的增加而 增加,易感人数比例从l/b递减至患 病人数比例从,。增加至而在之后至传染病结 束时刻匕,易感人
16、数比例继续减少到S/),患病人 数比例也从最多的开始减少,直到传染病终止=。,患病人群完全痊愈。也就是说,设法提高模型的阀值1/。,使得,就可以控制传染病的蔓延。而提高1/。,就是降 低。=。/夕的值,即降低。值或者提高夕值,。反映 了该地区的卫生水平,而反映了该地区的医疗水 平,因此提高卫生水平和医疗水平就能降低提 高夕,就能降低。,从而控制传染病蔓延。SIR案例分析:某高校相对独立,总人口 1万人,某 年冬天该校最初有20人患流感,流行时间持续1个月,累计患病人数大约为3000人。考虑用上述SIR模型 来进行模拟。9980/10000=0.998,s&)=7000/10000=Q7,由式(
17、4.2.16)得至Ug(ns)lnM)/(sG)心幻=(lnQ7-ln0.998)/(Q7-Q998-0.002)=1.1822因为防l/b=0.8459,所以流感会蔓延,且患病人数最 高比例U=力+跖-l/b-ln5o/b=0.0142 o即患病人数从 初始时刻20人不断增加,当易感人群比例从初始时刻的0.998降低到0.8459时,患病人数最多时达到0.0142x10000=142人,之后患病人数开始减少,直至 流感终止。模型5.(SIRP模型)对于天花、乙肝、流感等传染 病来说,注射疫苗可以起到提高免疫力,防止患病 的效果,因此需要对模型4进行改进,增加因为注射 疫苗而具有免疫力的人群(
18、Preventive),即在模 型4的基础上增加假设:易感人群因防疫而减少的变 化率与易感人数比例成正比,比例系数为九/称为 预防系数。依据该假设,可将模型(4.2.9)修改为ds/dt=-asi-ys,s(。)=didt=ods/3 iO)=ia;drl出=阮丫=2.18)将式(4.2.18)中的第二个方程与第一个方程相除,得至Udlds=(l/(j+&/z)I(s+&/z)-1,yoc!0,8 y!a.而由0,sl/(y闻肩=0,s=l/(Jl/a可类似模型4中讨论,且当s=l/。时,患病人数比 例达到最大值,ma x。但是与模型4相比,当s1/(T时,+t Ct T乂。模型5中阀值1/。
19、提高,患病高峰期推迟,患病人数比例最大值会降低。其他定性讨论可类似模型4进行。4.2.2种群增长模型种群生态学的研究起源于人口统计学、渔业资源学 和应用动物学,它以人类、昆虫和动物为主要研究 对象,其理论和方法来源于M.O dum、M.B eg on M ortimer和Prec e,并成为生态学中最为活跃的一个 领域。微分方程是研究种群生态学最重要且最常用 的理论和工具,主要研究两个方面的问题:(1)种 群随时间的演变规律;(2)如何实施人工干扰对种 群进行保护、开发和利用。我们这里主要讨论第一 个问题,考虑随着时间的推移,种群是持续生存还 是走向灭绝?考虑种群的规模是否具有一个或者多 个平
20、衡状态?这种平衡态是静平衡还是动平衡?这 种平衡态是否稳定?在一定的生态环境下有多个物种的生物群体,每一 物种的群体中生物数量的变化既受到本群体自限规 律的制约,同时又受到其他群体的影响。有的群体之间为争夺赖以生存的同一资源和生活空间而相互 竞争,可能会导致竞争能力较弱的群体灭绝,竞争 力较强的群体达到环境容许的最大数量。有的群体 之间相互依存:或两个群体都不能独立生存,但共 处时可相互提供食物,或两个群体都能独立生存,共处时又能相互提供食物,或一个群体可以独立生 存另一个则不能独立生存,共处时可以相互提供食 物等等。还有的群体之间是弱肉强食:一个群体靠丰富的天然资源生长,另一个则靠捕食前一个
21、种群 为生,例如海洋中的食用鱼和鲨鱼等。本节讨论两 种群的相互竞争模型、相互依存模型和食饵一捕食 者模型。模型1.两种群相互竞争模型假设有甲乙两个种群,/时刻的数量分别为尤和加),固有增长率分别为。和 它们共同生存于同一 系统中,最大容量分别为2和M。对于种群甲而 言,它独自生存时,数量的变化应服从于Log istic 规律,即dx/dt=rxx(1-x!N)(4.2.19)式(4.2.19)中1-M N1反映了种群甲的增长对自身 的阻滞作用,X/V表示这种阻滞作用是线性的,即 相对于甲的最大容量而言,单位数量的种群甲消 耗掉的供养种群甲的食物量为x/N(总量设为1)。当种群乙与种群甲生存于同
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