数学模型之差分方程模型.pdf
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1、第七章差分方程模型7市场经济中的蛛网模型72减肥计划节食与运动73差分形式的阻滞增长模型 74按年龄分组的种群增长福州大学 一,一back7.1市场经济中的蛛网模型现 象供大于求价格下降|口 减少产量t 数量与价格在振荡。增加产量=价格上涨 U 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律问题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定蛛网模型/第左时段商品数量;y厂第k时段商品价格消费者的需求关系二需求函数以=/(%)减函数生产者的供应关於 供应函数乙+1=做九)增函数%=g(4+l)g/与g的交点尸0(/,见)平衡点凡一,一旦/=/,则y产将0)-A 4+”
2、4+2,一%0,4+1,必包 二Vo胆.back next 以exit)蛛网模型然=/()设“1偏离0西%2 2-)Xk T/,%一%与 A/,然 2 JoR T P2T p3 T R P、T P2T p3T 袋 P。尸0是稳定平衡点 尸0是不稳定平衡点方程模型 在七点附近用直线近似曲线”=/(/)=一%二 一一/)。)Xk+i=h(yQ=4+i%二伙%-%)(/)Z+i%。=一明(Z-4)Z+1 一。=(一羽)兀4)ap 1 9l P)=XkT Xo 尸0 稳定 Kf (。1/0 0p0不稳定 Kf Kg方程模型与蛛网模型的一致 a=Kf 1/夕=/_福 州/一短一一一,品、结果解释考察a,
3、夕的含义第4时段商品数量;y厂第4时段商品价格y 左一丁。二一。(不左一1。)a商品数量减少1单位,价格上涨幅度4+1-%=(%)夕价格上涨1单位,(下时段)供应的增量消费者对需求的敏感程度M、,有利于经济稳定夕生产者对价格的敏感程度/小,有利于经济稳定 口明 1经济稳定 1_福 州/_短,金、结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使a尽量小,如a=00需求曲线变为水平 r以行政手段控制价格不变2.使/尽量小,如夕=00供应曲线变为竖直1靠经济实力控制数量不变痣.福州大学ft7_ 4模型的推广 生产者管理水平提高 4+=加以)生产者根据当前时段和前一时 _ U+ykl段的价格决定下一时段的产量
4、。%设供应函数为 4+1%0=(%+1)/2 一九需求函数不变匕一儿二。(演一儿)2xk+2+a/3xk+i+a/3xk=2(1+羽)/,左二1,2,二阶线性常系数差分方程与为平衡点 研究平衡点稳定,即4一8,右7%0的条件一学_1模型的推广 2xk+2+a/3xM+apxk=2(1+响方程通解工人;cj+c2M(%。2由初始条件确定)42特征根,即方程2元+破+明=0的根平衡点稳定,即左一8,4一%0的条件:4 2 14 _ 羽J(明)2 8明 B 1=怛平衡点稳定条件明 2比原来的条件邱 1放宽了强端缶.福 州 大 学 i 9 一&-一红7.2减肥计划一节食与运动背 景体重指数BMbMkg
5、VHn P).1 8.5 BMI25超重;BMI30肥胖.多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持 通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体 的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标 分 析体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食(吸收热量)引起体重增加 代谢和运动(消耗热量)引起体重减少痣.福州大学;10模型假设1)体重增加正比于吸收的热量一每8000千卡增加体重1千克;2)代谢引起的体重减少正比于体重一一 每周每公斤体重消耗200千卡320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡3200千卡;3)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动 形式有关;4)为了安全与健康,每周体重减少不宜超
6、过1.5 千克,每周吸收热量不要小于10000千卡。减肥计划某甲体重100千克,目前每周吸收20000千卡热量,体重维持不变。现欲减肥至75千克。1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段:每周减肥1千克,每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限(10000千卡);第二阶段:每周吸收热量保持下限,减肥达到目标 2)若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划。3)给出达到目标后维持体重的方案。Mats._.3 网上美_基本模型 W优)第k周(末)体重 c(k)第左周吸收热量w(左+1)=w(左)+ac(k+1)-圳(k)a=1/8000(千克/千卡)代谢消耗系数(因人而异)1)不运动情况的两阶段
7、减肥计划确定某甲的代谢消耗系数每周吸收20000千卡w=1 00千克不变_ q o ac 20000 八w w+etc pyv B =-=0.025w 8000 x1 00即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡若心八 一-福 州区 用1)不运动情况的两阶段减肥计划第一阶段:W(6每周减1千克,c(幻减至下限10000千卡 w(左)一 w(左+1)=1 w(左+1)=w(左)+比(左+1)-卜 1D ck+1)=一尸w(左)一1 w(k)=w(0)-k aa=1/8000/3=0.025二1 2000-200k Cm=1 0000 Q 左 4 1 第一阶段1 0周,每周减1千克,第1
8、0周末体重90千克吸收热量为 c(k+1)=12000-200 k,k=0,1,9d c(左+i)=2w(o),(1+俄)a a1)不运动情况的两阶段减肥计划第二阶段:每周c(灯保持g,w(灯减至75千克 基本模型 w(k+1)=w(攵)+ac(k+1)-/3w(k)0+1)=(1-+aCmF以女+似幻+吟1+(1 向+二(1万/W)*+等以2=0.025,a=18000Q=1 0000代入得w(k+n)=0.97 5 w(左)-50+50第二阶段:每周C%)保持5,W减至75千克 J w(k+)=0.97 5 nw(k)-50 +50 已知w(左)=90,要求w(左+n)=75,求孔75=0
9、.97 5”(90 50)+50 lg(25/40)n-二 191 g 0.97 5第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 皿)=40 x0.97 5n+50(=1,2,19)减少至75千克。2)第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量Y(千卡):一 跑步7.0跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)3.04.47.9基本 j w(k+l)=w(k)+ac(k+l)卜每周运动模由-时间(小时)取 0%=0.003,即 =24 伙=0.025)一夕二2+ajt(=0.028)w(k+)=(一夕)w(左)-等H+与75=0.97 27 90-44.6)+44.6
10、 二14 r运动*=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。_0一世上一美 1 _1 2_3)达到目标体重75千克后维持不变的方案 冒每周吸收热量。(依保持某常数C,使体重w不变w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-(/?+a)w(左)w=w+aC-(fi+ayt)w g.=(+即)a不运动 0=8000 x0.025x7 5=1 5000(千卡)运动(内容同前)C=8000 x0.028x7 5=16800(千卡)7.3 差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)忒。某种群,时刻的数量(人口)无)=(1-)78,xtN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关
11、)离散 形式若y产N,则以+”以+2,=n y*=N是平衡点讨论平衡点的稳定性,即478,%7 N?以某种群第4代的数量(人口)%+1-九=1”k=1,2,_.3 一jjL左美 1_12_,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性4%+i=与(1项)(2)匕+1一%=0(1 一七)(1)0 为M=+1)%1(先变量X=L 代换 k 0+1)NiBZ?=r+l 一阶(非线性)差分方程Jr 1(1)的平衡点y*=N 口(2)的平衡点二-=n r+1 b讨论x*的稳定性一福州大学 知补充知识一阶非线性差分方程xk+i=fM(1)的平衡点及稳定性的平衡点x一一代数方程”于U)的根(1)的近似线性方程 x
12、k+1=f(x)+fxXxk-x)(2)稳定性判断 X*也是的平衡点f(x)1%*是Q)和的不稳定平衡点_.3 则人美 l_2ixk+x=bxk(1-xJ的平衡点及其稳定性 平衡点 x=f(x)=bx(lx)广 为*=1-g 稳定性 广(x*)=Z?(l-2x*)=2 b/(X*)I 1 0 1 Z?l不稳定福州大学 为 22%+1=法左(1 一项)的平衡点及其稳定性(2)2 3演(振荡地)x*爱姐福一州2一学Z(不),X*2J_q 金01/.现一福 州 大 学 二24k办=1.7b=2.6b=3.3b=3.45b=3.5500.20000.20000.20000.20000.200010.2
13、7200.4 1600.52800.55200.568020.33660.63170.82240.85320.871130.37960.604 90.4 8200.4 3220.3987 910.4 1180.61540.4 7940.4 3270.354 8920.4 1180.61540.82360.84 690.8127930.4 1180.61540.4 7940.4 4 740.54 05940.4 1180.61540.82360.85300.8817950.4 1180.61540.4 7940.4 3270.3703960.4 1180.61540.82360.84 690.8
14、278970.4 1180.61540.4 7940.4 4 740.5060980.4 1180.61540.82360.85300.8874990.4 1180.61540.4 7940.4 3270.354 81000.4 1180.61540.82360.84 690.8127数值计算结果Xk+1=bxk(l-xk)初值x0=0.21 b v3,%T x*=1-b0=3.3,x7两个 极限点6=3.45,%4 个 极限点6=3.55,%78 个 极限点倍周期收敛一X*不稳定情况的进一步讨论)=3.3%(不)%*子序列%左K,9左+i X单周期不收敛 2倍周期收敛5+1=/(/)+2=/
15、(与+1)=/(/(*)=/(与)(*)X/(/(%)=/?-bx(l-%)1-bx(l-x)/(x)=Ml%)(*)的平衡点*1X=1-b*尤1,2Z?+1+a/Z?2-2Z?-32b*c/*c/*r=/(%2),X2=/(%1)J Xx X X2 0)i=lxi+1(左+1)=sixi(),i 1,2,,一1仄 b2 bn_x bJ 0 0 0L=.52 0:0s 1 0n-lx(左)=%x(k),x2(左),z(左)r 按年龄组的分布向量x(k+1)=Lx(k)x(k)=Lk x(0)预测任意时段种群Le slie矩阵(L矩阵)按年龄组的分布3。*稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特
16、征根儿,儿,k=2,3,几特征向量三二1三工二兀 X无 Q若L矩阵存在瓦,d+10,则网/O,%i-4 3 37 5 51 1/2 1/32 1 13 1 1选择旅游地、-层次分析法的基本步骤嚼;慧 元素之间两两对比,对比采用相对尺度设要比较各准则C”C2,.,却对目标O的重要性 C:C na.A i j ij-1 1/22 1A=1/4 1/71/3 1/5_ 1/3 1/5要由A确定Ci,。对0的权向量 区 丫储成.福 州 大 学 B 39,4成对比较阵4是正互反阵成对比较阵和权向量 r 1 1/2 4.成对比较的不一致情况A=2 1 7、允许不一致,但要确定不一致的允许范围4=1/2(。
17、工)一致比较4=4(6;工)1 43=8(C:G)考察完全一致的情况一明叫 Wnw(=1)=%,明,明叫忆-2令 a.=皿/w.一IJ 1 J wnw=O,*,wJ权向量nw _n_叫一一理一型反些_1 40,成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足%,。及二/,i,j,k=2,n 的正互反阵A称一致阵,如叫叫二1W1W 2坡nW2-2-2W1坟2 Wn_n_n_W1川2喇址A的秩为1,A的唯一非零特征根为致阵性质 A的任一列向量是对应于打的特征向量4的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵4,建议用对应于最大特征根4 Aw=Aw 的特征向量作为权向量w,即
18、成对比较阵和权向量saaty等人提出19尺度取值 比较尺度均 1,2,,9及其互反数1,1/2,.,1/9便于定性到定量的转化:尺度 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9_G:G的重要性相同 稍强 强 明显强绝对强I J%=1,1/2,1/9G e的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用 l3,l5,l1 7,lP 9(p=2,3,4,5),d+0.ld+0.93=1,234)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵,算出权向量,与实际对比发现,19尺度较优。齿0福州一达一学一_一致性检验对A确定不一致的允许范围已知:阶一致阵的唯一非零特征根为可证:n阶正互反阵最大特征根
19、以前,且2=时为一致阵 定义一致性指标:CI=4-C7越大,不一致越严重 72 1为衡量C/的大小,引入随机一致性指标尺/-随机模 拟得到%,形成4,计算C/即得R/。Saaty的结果如下“12345 6 78 9 iu|0 0 0.58 0.90 1.1 2 1.24 1.32 1.41 L45 1.49 1.51定义一致性比率CR=CI/RI 当CRV0.1时,通过一致性检验“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根加5.07 311/243321755A 二1/41/711/21/31/31/52111/31/5311权向量(特征向量)w=(0
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