高二数学人教A版选修2-2:综合检测.pdf
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1、选修22综合检测时间120分钟,满分150分。一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013福建理,1)已知复数z的共辗复数3=l+2i(i为虚数单 位),则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析V?=l+2i,:.z=l-2i,对应点为(1,2)在第二象 限.点评复数z=a+历bR)-对应复平面内的点Z(a,b).2.(2012沾化一中期末)曲线y=4xd在点(一1,3)处的切线 方程是()A.y=7x+4 B.y=x4C.y=7x+2 D.y=x-2答案D解析yr
2、 x=-i=(4-3x2)x=_l=l,,切线方程为y+3=x+1,即=x2.点评求曲线在某点处的切线方程的一般步骤是:(1)求曲线在该点处的导数值(即切线的斜率);(2)由点斜式写出切线方程.3.若函数次x)=f+加的图象的顶点在第四象限,则函数/(%)的图象是()yoY NoA B答案Ayy分析利用/(x)=2x+b的单调性及火x)的顶点在第四象限讨论.解析/(x)=2x+6为增函数一.排除B、D;又火x)的顶点在第四象限,:.b09 排除 C,故选 A.4.(2013山东嘉祥一中高二期中)曲线y=Y 3x和y=x围成图形的面积为()A.4B.8C.10 D.9答案B 3x,x=0,解析由
3、 解得 nU=o,y=-2,)=2.W=2,y=x3 3x与y=x都是奇函数,J围成图形的面积为或=/+11皿,2(叶冬”一坐)则 V=2t-t=-7-,V?0,当 O v/v卡时,yf 0,二.函数)=及+11皿在(0,坐)上单调递减,在咨,+8)上单调递增,y取最小值,故选B.7.设x=3+4i,则复数2=x忖一(1一i)在复平面上的对应点在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析Vx=3+4z,?.|x|=132+42=5,.*.z=3+4i一5一(1 一i)=(3-5一 1)+(4+l)i=13+5i.复数z在复平面上的对应点在第二象限,故应选B.8.后棱柱有人上
4、)个对角面,则后+1棱柱的对角面个数次后+1)为()A.人上)+E1 B.次后)+左+1C.人上)+左 D.次后)+左一2答案A解析增加的一条侧棱与其不相邻的k2条侧棱形成k2个 对角面,而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面,现在也成了一 个对角面,故共增加了 k-1个对角面,火上+1)=次后)+左一1.故选 A.9.(2013浙江理,8)已知e为自然对数的底数,设函数加)=0 1)(1)=1,2),则()A.当左=1时,火工)在x=1处取到极小值B.当左=1时,於)在x=l处取到极大值C.当后=2时,於)在x=l处取到极小值D.当左=2时,加)在x=l处取到极大值答案C解析当 k=l 时,
5、=(ex-l)(x-l),此时/z(x)=ex(x-l)+(ex-l)=ex-x-l,:.A、B 项均错.当左=2 时,小)=0l)(x I)?此时 f (x)=ex(x1)2+(2x2)(exl)=ex,x22xex+2=ex(x+1)(x1)2(xl)=(xl)ex(x+1)2,显然 f f(1)=0,x 时/,(x)0,时,在 x=l 附近 xIO,ex(x+l)2,:.f (x)0 得,0 xWl,故选 A.点评利用导数判断函数单调性的一般步骤求导数/(X);在函数八)的定义域内解不等式/(x)0和/(x)V0;根据的结果确定函数段)的单调区间.二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分
6、,共16分.将正确 答案填在题中横线上)13.(2013山东嘉祥一中高二期中)在等比数列斯中,若前项 之积为则有人=(岛3.那么在等差数列出/中,若前项之和为 sn,用类比的方法得到的结论是.答案S3Ts2一Sn)解析由等比数列前项积,前2项的积,前3项的积类比 得到等差数列前项的和,前2项的和,前3项的和,由等比数列 中(景另类比得等差数列中3(32-S),故有S3=3(S2-S).14.已知函数 加)=丁+2%2 qx+i在区间(一1,1)上恰有一个极 值点,则实数。的取值范围是.答案-1,7)解析ff(x)=3x2+4x-67,其图象开口向上,由条件知/(一 1)/(1)0,(一14)(
7、7。)0,:.la79 当 4=1 时,(X)=3x2+4x+1=0,在(一1,1)上恰有一根 x=;,当 4=7 时,广(%)=0在(一1,1)上无实根,.一1W”7.15.若xy0 且盯一(x2=2 5i,贝!J x=?y=.答案一2-1解析由复数相等的条件知 二X 十y=5,x=-2,316.(2013玉溪一中高三月考)已知不等式1=0的解集为(一A/I Ct/3I则甲一-.答案2-31n33解析由条件知方程1=0的根为一1或2,.4=1.J/I vZ3 3于1-3心=/(1-足心J o J o=x31n(x+l)|o=2 31n3.三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)设复数(l+i)2+3(l-i)z 2+i若 z2-az-b=1+i,求实数。、6的值.解析(1+3+3(1i)2i+3(li)3 i=2+1=2+1=2+i(3 i)(2i)(2+i)(2-i)将 z=1-i 代入 z1 azb=1+i,得(1 i)2+z(l i)+6=l+i,(a+6)-(a+2)i=1+i,a+6=l,ci 3,0时,(x用广(x)+x+l0,求左 的最大值.分析(1)先确定函数的定义域,然后求导函数(x),因不确 定a的正负,故应讨论,结合a的正负分别得出在每一种情况下(x)的正负,从而确立单调区间;(2)分离参数左,
9、将不含有参数的式子看 作一个新函数g(x),将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题.解析的定义域为(一8,十8),(x)=e、-a.若aWO,则/(x)0,所以火x)在(一8,+8)单调递增.若。0,则当 x(8,Ina)时,尸(x)。,所以,益)在(一8,in。)单调递减,在(Ino,+8)单调递增.(2)由于 a=l,所以(xk)f(x)+x+1=(xk)(e”l)+x+1.故当 x0 时,(x)+x+l0 等价于x+1ky-+x(x0).e 1令g(x尸器+x,则g a尸尚v 1 1J(C 1)由知,函数/z(x)=ex2在(0,+8)上单调递增.而口0,(2)0,所以力(x)在(0,
10、+8)上存在唯一的零点.故g,(X)在(0,十 8)上存在唯一的零点.设此零点为q,则a(l,2).当 x(0,Q)时,g,(x)0;当 x(Q,+8)时,g,(x)0.所以 g(x)在(0,+8)的最小值为g(Q).又由g/(Q)=o,可得e0=a+2,所以 g(Q)=a+1 (2,3).由于式等价于左g(a),故整数左的最大值为2.点评本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法.利用导 数求参数的取值范围时,经常需将参数分离出来,转化为恒成立问题,最终转化为利用函数的最值求得参数的取值范围.19.(本题满分12分)先观察不等式(居+向(优+选)三(4/1+2人2)2(41、从、Z?2R)的证
11、明过程:设平面向量以=(。1,b)2)则I以尸+b,网=潟+1也2.|a/Wa|网,血+台/2乓弋肃+沅y谒+比,342+-也)2 W(6Z1+质),再类比证明:(肃+沅+。力(涓+)三(的0+6也+Cl/)2.分析把平面向量类比推广到空间向量可以证明.解析设空间向量以=(。1,bl,Cl),0=(。2,2,。2),则10=肃+而+,网=涓+证+西,“力=。1。2+6/2+01。2,马如,,色+6也+cg|或、肃+府+0/+质+道,.二(。血+b也+eg)2 W(谓+居+ci)(al+:+C2).20.(本题满分 12 分)设函数“x)=sinxcosx+x+l,0vx2兀,求 函数小)的单调
12、区间与极值.解析f(x)=cosx+sinx+1=/2sin(x+)+1(0 x0),出是线段442的中点,4是线段4243 的中点,4是线段424-1的中点,.(1)写出X与1、2之间的关系式(三3);(2)设恁=居+1-X”,计算.,色,的,由此推测数列的通项公 式,并加以证明.解析由题意,当三3时,X尸;(xl+x2)1 a 1 3a(2)%i=0,12=,X3=5(、2+修)=5,工4=5(13+12)=J.,一旦 目.=12 一修=,72=13 冷=2,的=14、3=不推测an=(_2)i方法一证明:对于任意N;an=xn+xn.4+l X+2 X+l2。,1又.ai=Q0,,恁是以
13、。为首项,以一;为公比的等比数歹L方法二下面用数学归纳法证明:当=1 时,CL=CL=d 一弓)1 I 结论 61rl=7 1 成立.2(2)假设当=后(左三1,左金N)时,a=;1成立,即ak=a)k_ _X左+X左+1 _Xk X左+1q上+1=%左+2-x左+1=5-x左+1=5则当n=k+时,=67-(-1f+1)-所以n=k+时,(2)t 成立.由可知,数列的通项公式为恁=(一g)T,金N*.22.(本题满分14分)设函数。市耳T+x+a,%e(O5l,aeR+.(1)若小)在(0刀上是增函数,求。的取值范围;(2)求处0在(0,1上的最大值.分析(1)由於)在(0,1上为增函数,知
14、/(x)NO在(0刀上恒成 立,即在(0,1上恒成立,故a只需小于或等于1+J在(0,1上的最小值啦.(2)求处0在(0刀上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论,分 诲及心理两种情况,当OaW表时,由知小)在(0,1上为增 函数,可求最大值,当心地时,可由导数求小)在(0刀上的极大值点.X解析av(、)=一。丁才7+1.因为火x)在(0,1上是增函数,所以/(x)=一招9+1三0在(0J上恒成立,AJX+1由知:当0aW也时,益)在(0,1上是增函数,所以#X)max=AD=(lf)a+l;当 时,令/(x)=0,得 x=JW(O J,因为当 0 x0,当时,/(x)!2时,Xx)max=a
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