高考数学一轮复习教书用书 第六章 平面向量、复数.pdf
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1、主题三 4二 几何与代数第六章平面向量、复数(必修第二册)第1节 平面向量的概念及线性运算西课程标准要求1.向量概念通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;理解平面向量的几何表示和基本要素.2.向量运算借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义;通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义;了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.:必备知识,课前回顾 归成材办实四基 一 ft知识梳理1.向量的有关概念向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的运度(
2、或模).(2)零向量:长度为。的向量,其方向是任意的.单位向量:长度等于1个单位长度的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.共线向量定理向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算a三角形法则X a平行四边形法则交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求两个向量差的运算a三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数人与向量a的积的运算|入 a|二|人|a|;当人0时,入a的方向与a的 方向相同;当入0时,入a的
3、方 向与a的方向相反;当人二0时,入a=0入(U a)=(A p)a;(入+u)a=A a+P a;入(a+b)=X a+A b向量a(aWO)与b共线,当且仅当有唯一一个实数入,使得b=入a.提醒:当aWO时,定理中的实数人才唯一,否则不唯一.阕重要结论 f 1 f f1.P为线段AB的中点,0为平面内任意一点QP.(4B)2.若G为4AB C的重心,则有f f f Gj4+G B+G C=q.AG=3(AB+AC).3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量的和为零向量.4.对于起点相同、终点共线的三个向量P,P 尸2(
4、0与PR不共线),f f f总有P=UPVP2,u+v=l,即总可以用其中两个向量的线性组合表 示第三个向量,且系数和为L5.对于任意两个向量a,b,都有:(1)I|a|-|b|ab|a|+|b|;la+b RIa-b=2(|a+|b).6.设a,b是两个不共线的向量,则Xia+yib与x2a+y2b共线的充要条件 是 Xiy2-x2yi=0.对者自测1.(必修第二册P2 3习题6.2 T9改编)如图,D,E,F分别是4AB C各边 的中点,则下列结论错误的是(D)f fA EF=CDAB,.与DE共线C.D与CD是相反向量D.延金14c解析:初二5A。故D错误.故选d.2.(必修第二册P2
5、2习题6.2 T4改编)已知下列各式:AB+BC+CA.f f f f(2)AB+MB+B0+0Mf f f f。4。3+叫 AB_AC+BD_CD其中结果为零向量的个数为(B)A.1 B.2 C.3 D.4解析:中加+比+以二;中AB+MB+BO+OM-AB+q-AB.中0A+03+。+。二。4。二以;中4B_AC+BZ)_CD=C3+8C=0 故正确.故选B.f f f f f3.如图所示,已知AC=3 B C,力二%0B=b,则下列等式成立的是A比coA.c=2b-2aB.c=2 b-aC.c=2 a-b3 1D.c=2a-2b解析:因为4c二3,0A=a,0B=b,所以f f f-3f
6、 f 3 f f 3 1 3 1OCOA+AC=OA+iAB=OA+i(0瓦04)与。匕。aQa.故选 A.4.设a与b是两个不共线的向量,且向量a+Xb与-(b-2 a)共线,则 入=.解析:法一 依题意知向量a+入b与2 a-b共线,设a+入b=k(2 a-b),则 f 12Jt=0,i i有(1-2 k)a+(k+入)b=0,所以&+入=0,解得 k=2,入=-2.法二 由题意a+ab与2 a-b共线,a,b不共线,所以2人-1义(-1)=0,1X 二一2.1答案:与5.已知|a|二2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是.解析:当a与b方向相同时,|a+b|=7;当a与b方向相反时,|
7、a+b|=3;当a与b不共线时,3|a+b|o.故选D.2.如图所示,在4AB C中,点。是B C的中点,过点。的直线分别交AB,ACf f f f所在直线于不同的两点M,N,若二m四/Ln1,则m+n的值为()AcA.1 B.2 C.3 D.4解析:法一连接AO.由于。为B C的中点,f 1 T故=51+元)同理,丽=:&(5 二)0 由于向量麻产。共线,故存在实数入使得却=入*,即11一1二11-(2-m)AB+2j4C=2 AAB+A(2-)AC.-111 1 1 1由于做AC不共线,故得屋1工人且5二人(2-h),消去入,得(m-2)(n-2)=mn,化简即得m+n=2.故选B.法二当
8、MN与直线B C重合时,.二侬,AC=AN此时m=15 n=15所以m+n=2.故选 B.3.设向量a,b不平行,向量入a+b与a+2 b平行,则实数入=.解析:法一 因为向量a,b不平行,所以a+2 b W0,又向量入a+b与a+2 b 平行,则存在唯一的实数口,使入a+b=u(a+2 b)成立,即入a+b二口 a+2 b,则得11=2 H解得入二口二2.1 1 1法二由题意,匚5,所以人与.1答案:之备选例题CS D已知四边形AB CD是平行四边形,点E在CB的延长线上,B C=3,AE=AB=1,N C=30。,若形及.+丫.,则 x=,y=.解析:因为AB二AE二1,ZAB E=ZC=
9、3 0,由余弦定理得B E=,因为B O 3,所以B C=B E,所以盛=4此所以+盛=/-浮位=T遍二 代犯于松则X=l,y=-T.乌答案:1与例2设两个非零向量a与b不共线.若ka+b与a+kb共线,则 k=.解析:因为ka+b与a+kb共线,则存在实数入,使ka+b二人(a+kb),即(k-入)a=(入k-l)b.又a,b是两个不共线的非零向量,所以k-入二入k-l=0.消去入,得卜2-1=0,所以k=l.答案:1选题明细表灵活小强龙教偎就课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的概念1,613平面向量的线性运算2,3,4,8向量共线5,7,911综合问题10,12,1
10、415A级基础巩固练1.设a是非零向量,入是非零实数,则下列结论正确的是(B)A.a与入a的方向相反B.a与人2 a的方向相同C.|-Xa|a|D.|-入a|N|人|a解析:对于A,当人0时,a与人a的方向相同,当入0时,a与入a的方 向相反,A不正确,B正确;对于C,|-Xa|=|-X|a|,由于|-人|的大小 不确定,故I-入a|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D,|人|a是 向量,而I-aa|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.f f f2.矩形AB CD的对角线相交于点0,E为AO的中点,若腌=入型口加(入,口为实数),则入2+d=(A)A.8 B.i5C.1 D.W
11、1 1 I I 1 Q解析联/叱叫/弓叫彳(叫%1核加3所以入=4 口=4所以X 2+p 2=也故选A.3.在等腰梯形AB CD中,他二-2切,凶为B C的中点,则.二(B)B,演典A,W+Wc.皿皿D.皿解析:因为皿-2卬 f f所以AB=2 DC.又m是B C的中点,所以缜=5(丝+=2(AB+AD+DC)=iAB+iAO 故选 b.f f f f f4.设D为AAB C所在平面内一点产=3 CD,若皿入叫口 AC则入_u=(A)5 4 4 5A.-3 B.-3 C.3 D.3 f f解析:由30=3。,可知B,C,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意及图形,可得皿AC+CD=4C+3(
12、4C_6)=_洌+豺C,所以入=4 14 5口二3,所以人-口=-33二-3.故选 A.A5.(多选题)已知等边三角形AB C内接于O O,D为线段0A的中点,E为线段B C的中点,则口.(AC)2 1 4 IA.产+理B,产-产1 2 1C.即wD,网+出解析:如图所示,已知B C中点为E,BD=BA+AD=BAAE=BA+1 1 112fl3_BA_ 34M3cl叫部.故选AC.6.(多选题)在AAB C中,下列命题正确的是(B C)A AB ACJBCB AB_BC_CA_qC.若(AB+AC)(AB_4C)二0,则4abc为等腰三角形D.若4c 0,则4AB C为锐角三角形解析:由向量
13、的运算法则知加-4JCB,4B+8C+以二0,故A错,B对;因为(愈+4).=AB2_AC2=o所以介=止,即由二画,所以4AB C为等腰三角形,故C对;f f因为4c.AB)。,所以角A为锐角,但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选B C.7.已知向量eb e2是两个不共线的向量,若a=2 e巳与b=ex+入e?共线,则入=.解析:法一 因为a与b共线,所以a=xb,f x=2,所以h*=-L1故人=-2.1 1 1法二由已知不工,所以入=-2.1答案:-58.如图所示,已知N B=30,ZA0B=90,点C在AB上,O CLAB,若用通S来表示向量凡则.二f f f _1-f 3 1解析
14、:由题意易知。CQ+4CQ+*眼 见*(OBQ)4 OA+-OB答案利4彳03 f f f f f9,已知 a,b 不共线,4=a,O fl=b,0C=c,O fl=d,0=e,设 t R,如果3 a二c,2 b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.f f解:由题设知,c=2 b-3 a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条 f f直线上的充要条件是存在实数k,使得C旦kCD,即(t-3)a+b=-3 ka+2 kb,整理得(t-3+3 k)a=(2 k-t)b.ft-3+3k=0,因为a,b不共线,所
15、以有I t-2k=0,6解得t=S.6故存在实数使C,D,E三点在一条直线上.B级综合运用练10.(多选题)设点M是4AB C所在平面内一点,则下列说法正确的是(ACD)f 1 f 1 fA.若4M=54s+5A,则点M是边B C的中点 f f fB.若网2肛4Q则点M在边B C的延长线上 f f fC,若叫则点M是aabc的重心D.若4M=x+yAQ且x+y=2则AMB C的面积是AAB C的面积的万f 1 f 1 f解析:若4M=5 AB+5 A,则点M是边B C的中点,故A正确;f ff f f f f ff若Aig血AC AM ABAB AC 即隗CB则点M在边CB的延长线上,故B错误
16、;f f f f f fAM=_BM_CM gpAM+BM+CM=0则点M是AAB C的重心,故C正确;如图,M=x+y,C,且 x+y=2,f f f可得 2AM f f设侬=2.,则M为AN的中点,1则AMB C的面积是4AB C的面积的万,故D正确.故选ACD.fn.(多选题)设a,b是不共线的两个平面向量,已知PQ=a+s in a b,f其中a (0,2 n),QK=2 a-b.若P,Q,R三点共线,则角a的值可以为(CD)爪 5n 7门 11元A.万 B.V C.D.6 解析:由题意 1义(-l)-2 s in Q=0,s in a=2.又 a (0,2 五),故 Q 的 7w 1
17、1.天值可为彳或丁.故选CD.12.在直角梯形AB CD中,A=90。,B=3 0。,AB=2避,B C=2,点E在线段CD f f f上,若限回+口”则U的取值范围是.解析:由已知可得AD=1,CD=8,所以藁=20。f f因为点E在线段CD上,所以班=入DC g w入W1).因为 AE=AD+DE,又4f=AD+口 AB=AD+2 口 DC=ADDE学 9所以T二1,即1因为0W入1,所以0W u 解:在4AB C中,因为胆a,AC=b,所以3 C=4C_AB=b-a,f f f f 工 1 3 1AD=AB+D=AB+*B C=a+,b-a)=a+b,BE=BA+AEABAC=_a f
18、1 证明:因为BE二-a+b,2 bf.ba.af._abad2 3 1 1 1=-a+(*a+*b)=-2 a+b1 1=2(-a+b),所以BF笈E 3F与BE共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.14.经过AO AB的重心G的直线与O A,0B分别交于点P,Q,设=nA 位而,m,nR.(1)证明:m+n为定值;(2)求m+n的最小值.证明:设二a,叫反f 2 1f 1由题意知。GV*5(0AB)=3(a+b),PQ=Q-0P=nb-ma,PG=OG_OP_m)Jb 由P,G,Q三点共线得,存在实数入,使得PQd PRi i即 nb-ma=入(m)a+父入 b,=入(:),n=X,
19、从而I 3i i消去入得m+n=3.1 1解:由(1)知,二十口,111于是 m+n=3(m+n)(m+n)=1nmi 43(2+m+)3(2+2)=32 4当且仅当m=时,m+n取得最小值,最小值为C级应用创新练15.已知Ai,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足 公乂二叔公企+4备)(入是实数),且乂4+乂及+乂匈是单位向量,则这样的点乂有(C)A.0个B.1个C.2个D.无数个解析:法一 由题意得,=-入(+),=+所以M41+M42+M43=(i.3入江公企+公企),如图所示,设d为A2A3的 中点,所以(1-3入)(AiAz+AA是与AD共起点且共线的一个向量,显然直
20、线A山与以4为圆心的单位圆有两个交点,故人有两个值,即符合题意 的点M有两个.故选C.法二 以&为原点建立平面直角坐标系(图略),设 A2(a,b),A3(m,n),则公企+公企=(a+叫b+n),所以 M(入(a+m),人(b+n),所以M4i二(入(a+m),-入(b+n),“4=(a-X(a+m),b-入(b+n),(m-入(a+m),n-a(b+n),所以融4+乂4+乂小二(3入)g+m),(i-3入)(b+n).因为M41+M42+M43是单位向量,所以(3人宣包+皿产+饼子口,因为Ab A2,A3是平面上三个不共线的定点,所以(a+m)2+(b+n)20,所以关于人的方程有两解,故
21、满足条件的M有 两个.故选C.第2节 平面向量基本定理及坐标表示 63课程标准要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.必备知识课前回顾回归教材夯实四基帙.知识梳理1.平面向量基本定理(1)定理:如果eb e,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数人,入2,使a=入言1+入盘.(2)基底:不共线的向量eb e2叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a=(xi,yi),b=(x2,y2),则a
22、+b=(X1+X2,yf),a-b=(x-x2 f y-y2),入 a=(入 Xi,入 yj,|a|=.向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.一设 A(xb yj,B(x2,y2),则初二3-Xi,wb,AB =V(x2xi)2+(y2i)23 平面向量共线的坐标表示设 a=(xb yj,b=(x2,y2),其中 a WO,b WO,a,b 共线=型二迎3.阕重要结论1若a与b不共线,且入a+口 b=0,则入=口=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(X1,y)B(X2,y则P点坐标为*l+*2 F 1+72(三,).3.已知 AB C 的重心为 G,若 A(xi,y
23、j,B(x2,y2),C(x3,y3),则 xi+xz+xr F l+Fz+FmG(33对点自测L(必修第二册P3 3练习T1改编)已知平面向量a=(l,l),b=(l-1),1 3则向量5a6b=(D)A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析:因为 a=(l,1),b=(l,-1),1 113 3 3所以至二 2),2 b=(2-2),1 3 13 13所以至与b二(2-2 2+2)=(-1,2),故选 D.2.(必修第二册P3 3练习T5改编)若P必1,3),P2(4,0)且P是线段PR 的一个三等分点,则点P的坐标为(D)A.(2,2)B.(3,-1)C(2
24、,2)或-1)C(2,2)或 1)解析:由题意可知后外二一3).若始3 则P点坐标为(2,2);T 2 T若叱卢尸2,则P点坐标为(3,1).故选D3.已知向量 a=(2,3),b=(-l,2).若 ma+nb(m,nR)与 a-2 b 共线,则 m n解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2 m-n,3 m+2 n).a-2 b=3)-2 X(-1,2)=(4,-1).因为(ma+nb)/(a-2 b),所 以-(2 m-n)-4(3 m+2 n)=0,所以 2 m+n=0,m 1所以w.答案:-24.已知口 AB CD的顶点A(-2),B(3-1),C(5,6),则顶点D的坐标
25、为(4=5x,11=6-叭解得解析:设D(x,y),则由初二口。,得1)二(5.x,6-y),即3=L ly=5.答案:(1,5)关键能力课堂突破类分考点这实四算反靛T平面向量的坐标运算1.已知0为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(l,1),C(2,3),平1=214C,则向量的坐标是BCOB解析:由点C是线段AB上一点,|B C|=2|Aq,设点 B 的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),(2-x=-2,(x=4即13=Y,解得ly=7 所以向量B的坐标是(4,7).答案:(4,7)2.如图所示,以eb e2为基底,则a=.解析:以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为
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