高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题数列系列之数列的周期性(含解析)新人教A版.pdf
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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学五、周期(循环)数列(扩展)的运用对于数列An,如果存在一个常数T,对于任意整数nN,使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立,则称数列An 是从第n 项起的周期为T 的周期数列。典型例题:例 1.数列na满足nn 1na(1)a2n1,则na的前 60 项和为【】(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830【答案】D。【考点】分类归纳(数字的变化类),数列。【解析】求出na的通项:由nn 1na(1)a2n1 得,当n=1时,21a1a;当n=2时,321a3a=2a;当n=3时,431a5a=7a;当n=4时,5
2、41a7a=a;当n=5时,651a9a=9a;当n=6时,761a11a=2a;当n=7时,761a13a=15a;当n=8时,871a15a=a;当n=4m+1时,4m 21a8m 1 a;当n=4 m+2时,4m 21a2 a;当n=4 m+3时,4m 41a8m 7a;当n=4m+4时,4m 51aa(m=0,1,2,)。4m4m 51aaa,na 的 四 项 之 和 为4m 14m 24m 34m 41111aaaa=a8m 1 a2 a8m 7 a=16m 10(m=0,1,2,)。设m4m 14m24m34m4baaaa=16m10(m=0,1,2,)。则na 的前60项和等于m
3、b 的前 15 项和,而mb是首项为10,公差为16 的等差数列,na 的前60项和=mb的前 15 项和=101614101518302。故选 D。例2.对 于nN,将n表 示 为1101102222kkkknaaaa,当ik时1ia,当01ik时ia为 0 或 1,定义nb如下:在n的上述表示中,当01,aa,a2,ak中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.(1)b2+b4+b6+b8=.;小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)记cm为数列bn中第m个为 0 的项与第m+1 个为 0 的项之间的项数,则cm的最大值是.【答案】(1)3;(2)2。【考点
4、】数列问题。【解析】(1)观察知000112,1,1aab;1010221 202,1,0,1aab;依次类推10331 21 2,0b;210441 20202,1b;210551 2021 2,0b;21061 21 202,60b;781,1bb;b2+b4+b6+b8=。(2)由(1)知cm的最大值为。例 3.对于项数为m的有穷数列na,记12max,.,kkba aa(1,2,.,km),即kb为12,.,ka aa中的最大值,并称数列nb是na的控制数列,如1,3,2,5,5 的控制数列是1,3,3,5,5(1)若各项均为正整数的数列na的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的n
5、a(4 分)(2)设nb是na的控制数列,满足1km kabC(C为常数,1,2,.,km),求证:kkba(1,2,.,km)(6 分)(3)设100m,常 数1,12a,若+122(1)n nnaann,nb是na的 控 制 数 列,求1122()()baba1 0 01 0 0.()ba(8 分)【答案】解:(1)数列na为:2,3,4,5,1;2,3,4,5,2;2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;2,3,4,5,5。(2)证明:,max21kkaaab,,max1211kkkaaaab,kkbb1。Cbakmk1,Cbakmk1,011kmkmkkbbaa,即kkaa1。kkab
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