数学史融入中学数学教学的实践与案PPT课件.pptx
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1、汪汪晓勤勤华东师范大学教范大学教师教育学院教育学院数学史融入中学数学教学的数学史融入中学数学教学的实践与案例践与案例杭州杭州2017-04-27数学史融入中学数学教学的数学史融入中学数学教学的实践与案例践与案例背景背景概念与思想概念与思想公式与定理公式与定理问题与求解问题与求解结语结语如如何何在在数数学学教教学学中中体体现“立立德德树人人”的的根根本本任任务,如如何何实施数学学科德育,日益受到人施数学学科德育,日益受到人们的关注。的关注。国国际上上,数数学学核核心心素素养养的的内内涵涵涉涉及及知知识、能能力力、思思维、情情感,而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情感。感,而国内目前的数学
2、核心素养框架中并未涉及数学情感。数数学学史史与与数数学学教教育育之之间的的关关系系(HPM)是是今今日日数数学学教教育育领域的域的热门课题。数数学学史史融融入入数数学学教教学学的的成成效效在在实践践中中得得到到了了检验,越越来来越多的中学一越多的中学一线教教师对HPM产生生浓厚厚兴趣。趣。如如何何设计、实施施、评价价HPM课例例?HPM视角角下下的的数数学学教教学学实践是否可以促践是否可以促进教教师的的专业发展?展?背背景景 为什么要将数学史融入数学教学?融入什么?如何融入?什么要将数学史融入数学教学?融入什么?如何融入?背背景景人物事件人物事件概念术语概念术语数学问题数学问题公式定理公式定理
3、学科思想学科思想工具符号工具符号数学史数学史料料趣味性趣味性可学性可学性科学性科学性有效性有效性新颖性新颖性选材原选材原则则附加式附加式复制式复制式顺应式顺应式重构式重构式运用方运用方式式知识之谐知识之谐方法之美方法之美探究之乐探究之乐能力之助能力之助文化之魅文化之魅德育之效德育之效效果评效果评价价背背景景教师专业发展教师专业发展信念信念知识知识能力能力教学取向的数学知教学取向的数学知识(MKT)的构成)的构成背背景景HPM课例的例的设计、实施和施和评价价数学史融入中学数学教学的数学史融入中学数学教学的实践与案例践与案例背景背景概念与思想概念与思想公式与定理公式与定理问题与求解问题与求解结语结
4、语u教学教学设计引入古埃及一元一次方程问题古埃及一元一次方程问题探究古希腊丢番图问题的求解古希腊丢番图问题的求解形成形成用字母表示任意数或一类数用字母表示任意数或一类数巩固字母表示数的应用字母表示数的应用小结小结字母表示数的意义字母表示数的意义案例1 用字母表示数案例案例案例案例1 1 用字母表示数用字母表示数用字母表示数用字母表示数案例1 用字母表示数问题1:一个量,加上它的2/3,它的1/2和它的1/7,等于33。求该量。案例1 用字母表示数问题2:已知两数的和与差,你能求出这两个数吗?公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比古巴比伦人人修辞代数:修辞代数:用用文文字字来来表表达达一个方程
5、一个方程丢番番图缩略代数:略代数:用用字字母母表表示示未未知数知数符号代数符号代数用用字字母母表表示示任任意数意数韦 达达案例1 用字母表示数案例1 用字母表示数问题3:搭5个正方形,需要几根火柴棍?搭任意多个正方形呢?44+134+234+33生:任意多个正方形所需火柴棍数:生:任意多个正方形所需火柴棍数:4+(正方形个数正方形个数-1)3案例1 用字母表示数 知知识之之谐经历从字母表示未知数到字母从字母表示未知数到字母表示任意数的自然表示任意数的自然过程程 探究之探究之乐积累数学活累数学活动经验 文化之魅文化之魅字母表示数的字母表示数的历史史 德育之效德育之效数学思想数学思想发展的曲折与展
6、的曲折与艰辛辛学学生生教教师 内容与内容与课程知程知识(KCC)字母表示数的字母表示数的历史史 内容与学生知内容与学生知识(KCS)从字母表示未知数到字母表从字母表示未知数到字母表示任意数的困示任意数的困难 内容与教学知内容与教学知识(KCT)借借鉴代数学的代数学的历史来史来设计教教学学太太上上感感应篇篇“入入重重出出轻”的的故事故事。案例2 反比例函数 引入引入案例案例案例案例2 2 反比例函数反比例函数反比例函数反比例函数案例2 反比例函数数据a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和和n不不变,b和和m之之间的正比例关系的
7、正比例关系 新新课探究探究案例2 反比例函数a和和m不不变,b和和n之之间的反比例关系的反比例关系数据a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200总结:当n增加时,b却减少,b随n的增加而减小。且满足bn=am=非零常数,b与n成反比例。案例2 反比例函数定义:设b=y,n=x,则y=k/x。形如y=k/x(k为常数,且k 0)的函数成为反比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数。概念形成概念形成辨析:(1)对“形如”怎样理解?(2)怎样理解“k为常数,且k 0”?(3)反比例函数与前面所学的什么知识有联系?(4)为什么成为
8、反比例函数?u教学教学设计引入笛卡儿的故事笛卡儿的故事探究如何表示天花板上的苍蝇的位置?如何表示天花板上的苍蝇的位置?形成形成直角坐标的概念直角坐标的概念巩固在直角坐标系中求点的坐标在直角坐标系中求点的坐标小结小结直角坐标系的意义直角坐标系的意义案例3 直角坐标系案例案例案例案例3 3 直角坐直角坐直角坐直角坐标标系系系系从那天起,当它从那天起,当它们臆臆测又一个真理揭开了面容又一个真理揭开了面容在地在地狱般的圈般的圈栏暴暴发出一出一阵阵哀哀鸣案例3 直角坐标系缪斯女神把斯女神把这光芒光芒馈赠毕达哥拉斯要把祭礼行达哥拉斯要把祭礼行百牛烤熟又切片百牛烤熟又切片难表心中感激之情表心中感激之情难阻真
9、理阻真理发现者的暴行者的暴行毕氏氏让它它们永不得安宁永不得安宁它它们瑟瑟瑟瑟颤抖着抖着绝望地望地闭上了眼睛上了眼睛 复复习旧知:数旧知:数轴的三要素的三要素;笛卡儿的故事;笛卡儿的故事;问题1:苍蝇向右爬向右爬5cm,如何,如何表示它的位置?表示它的位置?问题2:苍蝇向左爬向左爬5cm,如何,如何表示它的位置?表示它的位置?案例3 直角坐标系 问题3:苍蝇向上爬向上爬5cm,如何表示它的位置?如何表示它的位置?问题4:苍蝇向右爬向右爬3cm,再向上再向上5cm,如何表示它的,如何表示它的位置?位置?S:用:用+3表示。表示。T:那如果:那如果苍蝇向上爬了向上爬了6cm,7cm,又如何表示它的位
10、,又如何表示它的位置呢?置呢?S:还是是+3。T:可是,:可是,苍蝇的位置明明不的位置明明不同啊?同啊?案例3 直角坐标系 问题4:苍蝇向右爬向右爬3cm,再向上,再向上5cm,如何表示它的位置,如何表示它的位置?案例3 直角坐标系S:用:用8来表示。来表示。T:那么如果:那么如果苍蝇先向右爬先向右爬4cm,再向上爬,再向上爬4cm,那你怎么表示,那你怎么表示?S:还是是8。T:不同的位置,但是你却用:不同的位置,但是你却用同同一一个个数来表示,同学数来表示,同学们觉得得这样可行可行吗?S:不可行。:不可行。问题4:苍蝇向右爬向右爬3cm,再向上,再向上5cm,如何表示它的位置?,如何表示它的
11、位置?案例3 直角坐标系S:用:用“5垂直于垂直于3”表示。表示。T:那如果:那如果苍蝇向左爬了向左爬了3cm,再向上爬了,再向上爬了5cm呢?呢?S:“5垂直于垂直于-3”。T:这位同学很棒,用两个数来表示点的位置,那么位同学很棒,用两个数来表示点的位置,那么能不能再能不能再简练一点呢?一点呢?S:5 3。S:5.3。S:5/3。问题4:苍蝇向右爬向右爬3cm,再向上,再向上5cm,如何表示它的位置?,如何表示它的位置?T:还有其他表示方法有其他表示方法吗?有两有两组学生开始用量角器与直尺学生开始用量角器与直尺S7:北偏北偏东50。T:T:我:我们将将5垂直于垂直于3表示表示为(3,5)。)
12、。案例3 直角坐标系案例3 直角坐标系 知知识之之谐经历坐坐标概念的自然概念的自然发生生过程程 探究之探究之乐体体验成功的快成功的快乐、积累数学活累数学活动经验 文化之魅文化之魅数学与数学与现实生活之生活之间的的联系系 德育之效德育之效兴趣、自信心、趣、自信心、亲近数学近数学学学生生教教师 内容与内容与课程知程知识(KCC)直角坐直角坐标系的系的历史史 内容与学生知内容与学生知识(KCS)从一从一维到二到二维的困境的困境 内容与教学知内容与教学知识(KCT)借借鉴坐坐标概念的概念的历史来史来设计教学教学 水平内容知水平内容知识(HCK)直角坐直角坐标系与数系与数轴的的联系系案例4 函数的概念函
13、数概念的函数概念的历史史案例案例案例案例4 4 函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念总之有自之有自变量、因量、因变量且一量且一个个 x 有有且且仅有一个有一个 y 的的值与其与其对应的式子的式子案例4 函数的概念师:关于函数概念,同学们并不陌生。现在,请大家回忆一下,初中数学中的函数是怎么定义的?引入引入L.Euler(1707 1783)案例4 函数的概念 欧拉的函数定欧拉的函数定义(1748):一一个个变量量的的函函数数是是由由该变量量和和一一些些数数或或常常量量以以任任何何方方式式组成的解析式。成的解析式。无无穷分析引分析引论 德摩根代数学德摩根代数学的定的定义(1837):A.de
14、 Morgan(1806-1871)案例4 函数的概念Any expression which contains x in any way is called a function of x.李李善善兰的的译文文:“凡凡式式中中含含天天,为天天之之函函数数。”这便便是是中中文文“函数函数”名称的由来。名称的由来。案例4 函数的概念例例1(课本本):表表1列列出出了了男男子子一一百百米米栏项目目从从1900年年开开始始的的世世界界纪录创立的立的时间和成就,和成就,请思考:思考:(1)统计表中有表中有哪哪几个几个变量?是什么?量?是什么?(2)当当时间年年份份确确定定时,相相应的的世世界界纪录成成
15、绩是是否否确确定定?能能写写出出成成绩随随时间变化的关系式化的关系式吗?年份年份19001908192019361959197319932006成绩成绩15.41514.814.213.213.112.9112.88男子男子100米米栏世界世界纪录统计表表案例4 函数的概念概念生成概念生成从从“解析式解析式”到到“变量依量依赖关系关系”案例4 函数的概念问题:下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该图像体现了指数和时刻之间的关系,那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢?如如果果某某个个量量依依赖于于另另一一个个量量,当当后后面面这个个量量变化化时,前前面面这个个量量也也随随之之变
16、化化,则前前面面这个个量称量称为后面后面这个量的函数。个量的函数。微微分分学学基基础L.Euler(1707 1783)案例4 函数的概念 欧拉欧拉的新定的新定义(1755):):案例4 函数的概念例例2:y=0(x R)是不是一个函数?是不是一个函数?说明理由。明理由。师:初初中中阶段段我我们学学习了了具具体体的的一一次次、二二次次函函数数等等,在在这些些函函数数中中,变量量 y 与与 x 之之间就就有有明明确确的的依依赖关关系系。但但是是,利利用用“依依赖关关系系”来来刻刻画画函函数数,是是否否尽尽善善尽尽美美了呢?了呢?从从“变量依量依赖关系关系”到到“变量量对应关系关系”课前前的的问卷
17、卷调查表表明明:161人人中中有有65人人认为它它不不是是函函数数关关系系,占占比比40.37%。理由是:。理由是:y 不随不随 x 的的变化而化而变化;化;没有没有 y 与与 x 的关系式;的关系式;x 与与 y 之之间没有关系;没有关系;y没有依没有依赖 x 的的变化而改化而改变,是60%否40%案例4 函数的概念例例2:y=0(x R)是不是一个函数?是不是一个函数?说明理由。明理由。师:那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢?重新审视函数 y=0(x R),无论 怎样变化,的值都是以不变应万变,此处的关键词“应”即为“对应”之意,也就是对每一个 的值,都有 的值0与之对应。我们能否从这
18、样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢?生生:男子100米栏世界纪录表中,对于每一个出现的年份,都能找到一个世界纪录与之对应;而在沪深指数图像中,每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对应。案例4 函数的概念师:理解得很到位,那么对于我们熟悉的函数y=2x2 呢?生生:对每一个x的值,都有y的值与之对应。师:我们还发现,对于变量x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,说明我们同样可以从对应的角度来理解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析,同学们能否提炼并概括一下这些关系的共同特征?生生:以上函数关系中,对变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一确定的值与之对应。案例4 函数的概念师:那么,能不能用集
19、合的语言和对应关系来描述初中所学的函数概念呢?生生:如果在某个变化的过程中有两个变量 x 和 y,对于某个实数集合 D 内的每一个确定的 x,y 都有唯一确定的值和它对应,那么 y 就是 x 的函数,x 叫做自变量,x 的取值范围叫做函数的定义域,和 x 对应的 y 的值叫做函数值。师:非常好!这正是德国数学家狄利克雷于1837年提出的函数定义。案例4 函数的概念 狄利克雷的狄利克雷的现代定代定义(1837):):设 a、b 是是两两个个确确定定的的值,x 是是可可取取 a、b 之之间一一切切值的的变量量。如如果果对于于每每一一个个 x,有有唯唯一一有有限限的的 y 值与与它它对应,当当x连续
20、变化化时,y 也也随随之之变化那么化那么 y 叫做叫做 x 的函数。的函数。L.Dirichlet(1805-1859)案例4 函数的概念案例4 函数的概念师:反观刚才分析过的这些函数,其对应关系可以用一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现,我们把它统称为“对应法则”。例如表1中,14.2与1936对应,1973有唯一的13.1与之对应,这个表表格格就是一个对应法则。那么同学们能否从这个角度来分析其他例子的对应关系呢?生生:图2的沪指变化图像像就是一种对应法则。生生:函数 y=2x2,这个解析式解析式就是一种对应法则。案例4 函数的概念案例5 对数的概念计算:算:案例案例案例案例5 5 对对数
21、的概念数的概念数的概念数的概念案例5 对数的概念x123456789102481632641282565121024x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x192021222324524288104857620971524194304838860816777216x25262728293355443267108864134217728268435456536870912x303132331073741824214748364842949672968589934592mnm+nMN=MN案例5 对数的概念299792.45
22、831536000+光在真空中的速度光在真空中的速度(千米(千米/秒秒)一年的秒数一年的秒数=1光年光年一个天文一个天文单位位29979245831536179875474889937737414989622902997924588993773749454254955488案例案例5 对数的概念数的概念计算:算:案例5 对数的概念x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x2526272829335544326710886413421772826843545653687091231536299792458案例5 对数的概念x
23、1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.36414.9445931533.33114.9450031537.7031532768.000我我们需要需要创造新数造新数!31536.000几何原本几何原本卷卷11之棱柱定之棱柱定义一个棱柱是一个立体图形,它是有一些平面构成的,其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的,其他各面都是平行四边形。案例6 棱柱的概念案例案例案例案例6 6 棱柱的概念棱柱的概念棱柱的概念棱柱的概念Wentworth&Smith(1913)之棱之棱柱定柱定义:有两个面为平行平面上的全
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