经济数学微积分函数的极限.pdf
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1、第二节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结思考题经济数学微积分一、函数极限的定义在自变量的某个变化过程中,如果对应的函 数值无限接近于某个确定的常数,那么这个确定 的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。下面,我们将主要研究以下两种情形:(1)自变量 X任意接近于有限值 X。(X fX。),对应的函数值/(X)的变化情形;(2)自变量 x的绝对值 卜|无限增大(x f8),对应的函数值/(M)的变化情形;1.自变量趋于有限值时函数的极限问题:函数y=/(x)在x f X。的过程中,对应 函数值/(%)无限趋近于确定值4./(x)-A 表示/(x)-A任意小;0 x-x0 X
2、oI 定叉 Vg。打6 0、使当 0|x乙|3 时,I 恒有 f(x)-A s.经济数学一微积分、,g.d1 注意:1.函数极限与 f(x)t1 2.B与任意给定的正数1 几何解释:1)当在的去心 3邻 4 4卢三点*0是否有定义无关;1有关.1V=/(X)1_z 11 o域时,函数y=/(x)A广 1/1囹形兀生洛仕以旦 A-1 线y=4为中心线,7:3:1 宽为2的带形区域内.71显然,3并不唯一,也不需要、0-5%。x0+3%取到最大的 5.1经济数学微积分例2证明lim C=C,(C为常数).Xf Xo证任给8 05任取5 0,当0 卜-3时,/(x)-=C-C=0 0,取 3=e,当
3、 0 x-xQ b=g 时,/(X)-AX *0 Xo经济数学微积分%1例4 证明Um-=2.”-1 JC 1证 函数在点x=l处没有定义.X 2 _ /(x)a=-2=k _ 11 任给 8 0,X-1要使/(x)-A E,只要取 5=8,当0 x-Xo b时,就有V 2 X 1-2x-1 1 jc X经济数学微积分例5 证明:当人0时im a/T=X-Xo任给 s 0,要使/(x)-A e9只要 x-x0 0s 且不取负值.取 8=min x 0,),当 0 x-x0 3 时,就有 yx-8,Xo经济数学微积分3.单侧极 限(one-sided limit)Z例如,1-x,x 0设/(x)
4、=0证明 lim/(x)=1.x-0分工 0和x 0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近 x0,记作x f X。;X从右侧无限趋近 A:。,记作x f xQ+;经济数学微积分左极限 Ve0,m30,使当 0-5%X0 时,恒有|/(x)-a 0,3 0,使当 不。%。+5时,恒有/(x)-A s.(right-hand limit)记作 lim/(x)=A 或 f(x)=A.+U:x 0 x-X 5=x 0 x-x0 8Ux-8 x-x0 0X Xlim 一=lim 一=lim 1=1x-0+X Xf。+X 0+1左右极限存在但不相等Hm/(x)不存在x 0经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数
5、的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分问题:函数歹=/(X)在X f 00的过程中,对应I 函数值/(X)无限趋近于确定值A.I 通过上面演示实验的观察:sin x当x无限增大时,/(*)=-无限接近于 0.xI 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.I f(x)-A X表示x f oo的过程.经济数学一微积分2.另两种情形:1 .x +oc 情形:lim/(X)=4 o X-+00Vo,mxo,使当 xX时,恒有|/(x)a 053X 0,使当 x X时,恒有|/(x)a 00 X-+8 X-)8经济数学微积分3.几何解释:经济数学微积分二、函数极限的性质定理1
6、(函数极限的惟一性)如果lim/(x)存在,则这个极限唯一.X-Xo定理2(函数极限的局部有界性)如果lim/O)存在,那么存在常数 x-XoV 0和5 0,使得当0 k%o I 5时,有|/(x)|0(或)0,x-Xo使得当 0 k-、o|0(或 f(x).0 2推论 若 lim/(x)=Z,且 0,当 xe U(x0)时,Xo/(X)0(或/(、)V 0),贝Ijz 2 0(或 Z 0).经济数学一微积分,例7 证明lim sin 一不存在Xf X证取xn=1n 7i9lim9=,且乙工n T 8y取114 n+1712lim x:=0,且 x,w 0;n n 7oo经济数学微积分而 li
7、m sin n-oo*1而 lim sin 00 v二者不相等=lim sin n tc-0,M 004 n+1=lim sin-兀 oo 2=lim 1=1,001故lim sin 一不存在X f 0 V*经济数学微积分入小结思考题函数极限的统一定义lim f(n)=A;lim/(x)=A;Hm f(x)=A;lim f(x)=AXfOO Xf+8 Xf-oolim/(x)=A;lim/(x)=A;lim/(x)=A.K-X Q XfX。Xf X。lim/(x)=力=V 0,3时亥I,从此时刻以后,恒有/(x)-4 00X T+00X f-00时亥1N从此时刻以后n Nx Nx Nx -N/
8、(X)/(x)-A 过程X f*0+x X。X f*0时亥If5从此时刻以后0 x-x0 50 x-x0 8-8x-x00,(x)/(x)-A 0X=0在x=0处25+x,x 0 x 0.1 lim/(x)=lim x sin 一=A+A+x-0 x-0 xlim/(x)w lim/(x)+xf 0 x 05,左极限存在,0,右极限存在,lim/(x)不存在x f 0经济数学微积分练习题一、填空题:1.当x-2时,y=x-4,问当 b取 时,只要 0 卜2 3,必有 y-4 QO 时,V=;-1,问当 N 取2 c-x+3时,只要 x z,必有 j-1 00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量
9、趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变
10、化趋势经济数学微积分2.自变量趋向无穷大时函数的极限sin x观察函数-当xX-00时的变化趋势经济数学微积分将(*)减去(*)得科伊克变换模型:Yt-=(I 2)。+Bx,+5 一整理得科伊克模型的一般形式:Y=a+bX f+cY t +v,t t r-1 t其中:(1 一 7)a,6 二夕0,c 二;I,匕=(一 一经济数学微积分科伊克模型的特点:(1)以一个滞后因变量Y自代替了大量的滞后 解释变量X国最大限度地节省了自由度,解决 了滞后期长度s难以确定的问题;(2)由于滞后一期的因变量丫自与Xf的线性相关 程度可以肯定小于X的各期滞后值之间的相关程 度,从而缓解了多重共线性。但科伊克变换
11、也同时产生了两个新问题:(1)模型存在随机项和Vt的一阶自相关性;(2)滞后被解释变量Yt-1与随机项vt不独立。这些新问题需要进一步解决。经济数学微积分三、自回归模型的参数估计1.自回归模型的构造 一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变换 转化为自回归模型。事实上,许多滞后变量模型都可以转化为自回 归模型,自回归模型是经济生活中更常见的模 型。以适应预期模型以及局部调整模型为例进行说 明。经济数学微积分(1)自适应预期(Adaptive expectation)模型在某些实际问题中,因变量Yt并不取决于 解释变量的当前实际值Xt,而取决于Xt的“预 期水平”或“长期均衡水平”Xt%例如,家庭
12、本期消费水平,取决于本期收 入的预期值;市场上某种商品供求量,决定于本期该商 品价格的均衡值。经济数学一微积分因此,自适应预期模型最初表现形式是:匕=2。+BX:+(由于预期变量是不可实际观测的,往往作如 下自适应预期假定:其中:r 为预期系数(coefficient of expectation),0r 1 o经济数学微积分该式的经济含义为:“经济行为者将根据过 去的经验修改他们的预期”,即本期预期值的形成 是一个逐步调整过程,本期预期值的增量是本期实 际值与前一期预期值之差的一部分,其比例为r。这个假定还可写成:将X,Xe=rX+(1-r)X e,t t v 7 t-1=吟+(1 r)X.
13、代入I /I-1工得:匕=。+/,+(*)将(*)式滞后一期并乘以(1-r),得:(1-r)h=。(1-+)+凡(1-r)X+(1-r)一()以(*)减去(*),整理得:%=B。B、rX,+(1-r)Yt_+匕其中 匕=,_(1 一尸)一可见自适应预期模型转化为自回归模型。经济数学微积分(2)局部调整(Partial Adjustment)模型 局部调整模型主要是用来研究物资储备问题的。例如,企业为了保证生产和销售,必须保持一 定的原材料储备。对应于一定的产量或销售量 Xt,存在着预期的最佳库存Y/。局部调整模型的最初形式为:匕=。+3+不可观测。由于生产条件的波动,生产管理 方面的原因,库存
14、储备Yt的实际变化量只是预 期变化的一部分。储备按预定水平逐步进行调整,故有如下局 部调整假设:z-1=W*)或:blYt SY;+SyYt_1*)其中,b为调整系数,0V 8 1将(*)式代入Y”那 0+印/+(1)丫一+加,可见,局部调整模型转化为自回归模型丫:f L经济数学微积分2.自回归模型的参数估计对于自回归模型:Yqa.+a X+o 1 t/j i t-1 r ti=1估计时的主要问题:滞后被解释变量的存 在可能导致它与随机扰动项相关,以及随机扰 动项出现序列相关性。考伊克模型:1(1 _ A)a+B0Xt+一+匕自适应预期模型:匕=B/+Arx,+()*+匕匕=一(1 一经济数学
15、微积分显然存在:cov(y,T,v,)#COV(匕,匕 t)LO局部调整模型:Y t=X t+(1-S)Y-+私,存在:滞后被解释变量丫向与随机扰动项3人的 异期相关性。因此,对自回归模型的估计主要需视滞后被 解释变量与随机扰动项的不同关系进行估计。以一阶自回归模型为例说明:经济数学微积分(1)工具变量法对于一阶自回归模型:匕=0+。1/+02匕-1+tI 若丫口与民同期相关,则OLS估计是有偏的,I并且不是一致估计。I 因此,对上述模型,通常采用工具变量法,I即寻找一个新的经济变量4,用来代替Y-。I 参数估计量具有一致性。经济数学一微积分、。d在实际估计中,一般用X的若干滞后的线性 组合作
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