体力和面力-应力详细分析.pdf
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1、 2.1体力和面力OOOQOO体力定义:学习要点与思路体力 面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念一一体力和面力,体力瓦和面力Fs的概念均 不难理解。应该注意的问题是,在弹性力学中,虽然体力和面力都是矢量,但是它们均 为作用于一点的力,而且体力是指单位体积的力;面力为单位面积的作用力。体力矢量用凡表示,其沿三个坐标轴的分量用尸b,(41,2,3)或者居 Fby和居?表示,称为体力分量。面力矢量用B表示,其分量用力(E,2,3)或者心、Ay和4表示。体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正,反之为负。学习要点:1.体力;2.面力。作用于物体的外力可以分为两种类型:体力和面力。所谓体力就是
2、分布在物体整个体积内部各个质点上的力,又称为质量力。例 如物体的重力,惯性力,电磁力等等。面力是分布在物体表面上的力,例如风力,静水压力,物体之间的接触力等。为了表明物体在孙z坐标系内任意一点。所受体力的大小和方向,在尸点的邻域取一微小体积元素/匕如图所示合力为AF,则。点的体力定义为尸-凡R设/厂的体力令微小体积元素/P趋近于0,则可以定义一点尸的体力为京二!黑而一般来讲,物体内部各点处的体力是不相同的。物体内任一点的体力用凡表示,称为体力矢量,其方向由该点的体力合力 方向确定。体力沿三个坐标轴的分量用Fbz(z=l,2,3)或者Fbx,Fbv,居z表示,称为体力 分量。体力分量的方向规定与
3、坐标轴方向一致为正,反之为负。应该注意的是:在弹性力学中,体力是指单位体积的力。类似于体力,可以给出面力的定义。对于物体表面上的任一点P,在P点的邻域取一包含尸点的微小面积元素如图所不0设/S上作用的面力合力为AF,则尸点的面力定义为我=lnn面力矢量是单位面积上的作用力,面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下,面力边界条件是弹性力 学问题求解的主要条件。面力矢量用网表示,其分量用心(E,2,3)或者%、/和凡表示。面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正,反之为负。弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。2.2应力和应力状态OOO1DOO学习要点与思路应力矢量 应力沿坐标分解 正应力和切应力 应
4、力分量应力液态与应力关量P n的合解OOC应力矢量n沿截面的法线和切线方向分解应力分量学习思路:物体在外界因素作用下,物体内部各个部分之间将产生相互作用,物体内部 相互作用力称为内力。为讨论弹性体的强度,将单位面积的内力,就是内力集度 定义为应力。小为过任意点相,法线方向为的微分面上的应力矢量。应力矢量不仅随 点的位置改变而变化,而且即使在同一点,也由于截面的法线方向的方向改变 而变化。一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。讨论一点各个截面的 应力变化趋势称为应力状态分析。凡是应力均必须说明是物体内哪一点,并且通过该点哪一个微分面的应力。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然,
5、作为弹性体内部一个确定点 的各个截面的应力矢量,就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写 出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态,必须使用合理 的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势,确定可以描述应力状态的参数,通常将 应力矢量分解。学习要点:1.应力矢量;2.应力矢量的分解;3.应力分量。物体在外界因素作用下,例如外力,温度变化等,物体内部各个部分之间将产生 相互作用,这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。内力的计算可以采用截面法,即利用假想平面将物体截为两部分,将希望计 算内力的截面暴露出来,通过平衡关系计算截面内力方。内力的分布一般是不均匀的。为了描
6、述任意一点M的内力,在截面上选取 一个包含M/为微面积单元/S,如图所示则可认为微面积上的内力主矢/方的分布是均匀的。设/S的法线方向为,则定义:AF久二下上式中P n为微面积/S上的平均应力。如果令/S逐渐减小,并且趋近于零,取极限可得=lim3510AFAS上述分析可见:小是通过任意点,法线方向为的微分面上的应力矢量。应力P n是矢量,方向由内力主矢/方确定,又受/S方位变化的影响。应力矢量不仅随点的位置改变而变化,而且即使在同一点,也由于截面的法 线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明 是物体内哪一点,并且通过该点哪一个微分面的应力。一点所有截面的应力矢量
7、的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物 体的强度是十分重要的。显然,作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢 量,就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应 力。为了准确、明了地描述一点的应力状态,必须使用合理的应力参数。讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应力的 变化趋势,确定可以描述应力状态的参数,通常将应力矢量分解。应力矢量的一种分解方法是将应力矢量P n在给定的坐标系下沿三个坐标轴方 向分解,如用小,Py,“表示其分量,则Pn=Pxi+Pyj+Pzk这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用 于推导弹性
8、力学基本方程。另一种分解方法,如图所示,是将应力矢量pn沿微分面/S的法线和切线方向分解。与微分面/S法线方向的投影称为正 应力,用bn表示;平行于微分面NS的投影称为切应力或剪应力,切应力作用 于截面内,用7n表示。弹性体的强度与正应力和切应力息息相关,因此这是工程结构分析中经常使 用的应力分解形式。由于微分面法线的方向只有一个,因此说明截面方位就确定了正应力心 的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多,因此切应力7n不仅需要确定截面 方位,还必须指明方向。为了表达弹性体内部任意一点的应力状态,利用三个与坐标轴方向一致的微 分面,通过M点截取一个平行六面体单元,如图所示将六面体单元各个截面上的
9、应力矢量分别向3个坐标轴投影,可以得到应力 分量切。应力分量的第一脚标i表示该应力所在微分面的方向,即微分面外法线的 方向;第二脚标j表示应力的方向。如果应力分量与j坐标轴方向一致为正,反 之为负。如果两个脚标相同,i=j,则应力分量方向与作用平面法线方向一致,这是 正应力,可以并写为一个脚标,例如bx。如果两脚标不同,度/,则应力分量方向与作用平面法线方向不同,这是切应 力,例如如。六面体单元的3对截面共有九个应力分量田。应该注意:1.可以证明5尸卬(声学基础。杜功焕517页)2.在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量应力分量是应力 矢量在坐标轴上的投影,因此是标量,而不是矢量。表示。使用应
10、力张量可以完整地描述一点的应力状态。2.3 应力矢量与应力分量OO(DOC学习思路:应力矢量不仅随点的位置改变而变化,而且也由于截面的法线方向的方向改变而变化,研究这一变 化规律称为应力状态分析。如果应力分量能够描述一点的应力状态,那么应力分量与其它应力参数必然有 内在联系。本节分析应力矢量与应力分量之间的关系,为深入讨论应力状态作准备。利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元,通过四面体单元探讨坐标平面的应力分量 和斜截面上的应力矢量的关系。根据平衡关系,推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力分量之间的关系。分析表明:一点的应力分量确定后,任意斜截面的应力矢量是确定的。学
11、习要点:1.微分四面体单元;2.应力矢量与应力分量。一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态,则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的 应力矢量。为了说明这一问题,在。点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元,斜截面的法线方向矢量为,它的三个方向余弦分别为/,阳和。设斜截面上的应力为小,i,j和k分别为三个坐标轴方向的单位矢量,P n在坐标轴上的投影分别为P x,0,P z。则应力矢 量可以表示为Pn=Pxi+Pyj+Pzk同样,把单位体积的质量所受的体积力几沿坐标轴分解,有Fb=%i+Fbj+Fbzk设S为AA8C的面积,则AOBC=IS,AOCA=mS,AOAB=nSAB
12、C的法线方向的单位矢量可表示为n=li+lj+m k微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件,设力为0点至斜面 43。的高,由1方向的平衡,可得阳二0 pxS-G-xBC-TAOAC-TxsAOAB+-hSF.)x=03将公式。BC二,S,AOCA-4Q4B二与S代入上式,则对于微分四面体单元,力与单元体棱边相关,因此与1相比为小量,趋近于 零,因此Px=bj+t m+TnPy=J+b产+工尸Pz=tJ+t2y 那+仃产如果采用张量记号,则上述公式可以表示为Pi=。叼上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明,只要有了应力分量,就能够确
13、定一点任意截面的应力矢量,或者正应力和 切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。2.4 平衡微分方程000(学习要点与思路平衡微分方程 切应力互等定理 微分六面体单元学习思路:物体在外力作用下产生变形,最后达到平衡位置。平衡不仅是指整个物体,而且弹性体的任何部分也 是平衡的。本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。应该注意:在讨论微分单元体平衡时,考虑到坐标的微小变化将导致应力分量的相应改变。即坐标有 增量时,应力分量也有对应的增量。这个增量作为高阶小量,如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑 的。微分平衡方程描述了弹性体内部任意一点的平衡,确定了应力分量与体力之间的关系。
14、又称为纳维(Navier)方程。平衡微分方程描述弹性体内部应力分量与体力之间的微分关系,是弹性力学的第一个基本方程。切应力互等定理是弹性体力矩平衡的结果。学习要点:1.微分单元体及平衡关系;2.平衡微分方程与切应力互等定理。物体在外力作用下产生变形,最后达到平衡位置。不仅整个物体是平衡的,而且 弹性体的任何部分也都是平衡的。为了考察弹性体内部的平衡,通过微分平行六面体单元讨论任意一点M的 平衡。在物体内,通过任意点用三组与坐标轴平行的平面截取一正六面体单 元,单元的棱边分别与,外2轴平行,棱边分别长dx,dy,dzo如图所示,讨论微分平行六面体单元的平衡。在面上有应力分量6,7书,和txz;在
15、x+dx面上,应力分量相对截面有一个增量,取一阶增量,则b+空工 dx T+空竺 dx T+二 dx班 dx 对 Z方向的应力分量作同样处理。根据微分单元体方向平衡,则(o-x+-dx)dydz-o-;(dydz+(r+-dy)dxdz-r dxdz ox oya汇+(4+=0oz简化并且略去高阶小量,可得dx dy3T+_L+R=0 dz”同理考虑y,z方向,有3%dx dy dzdx dy+等十=二。oz上述公式给出了应力和体力之间的平衡关系,称为平衡微分方程,又叫纳维(Navier)方程。用张量形式表示,可以写作二如果考虑微分单元体的力矩平衡,则可以得到xy yx Zyz-zy,由此可见
16、,切应力是成对出现的,9个应力分量中仅有6个是独立的。上述关系式又称作切应力互等定理。用张量形式表示,则5j二勺2.5面力边界条件学习要点与思路面力边界条件 边界四面体单元学习思路:在弹性体内部,应力分量必须与体力满足平衡微分方程;在弹性体的表面,应力分量必须与表面力满 足面力边界条件,以维持弹性体表面的平衡。面力边界条件的推导时,参考了应力矢量与应力分量关系表达式。只要注意到物体边界任意一点的微 分四面体单元表面作用应力分量和面力之间的关系就可以得到。面力边界条件描述弹性体表面的平衡,而平衡微分方程描述物体内部的平衡。当然,对于弹性体,这 仅是静力学可能的平衡,还不是弹性体实际存在的平衡。面
17、力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。学习要点:1.面力边界条件。物体在外力作用下处于平衡状态,不仅整体,而且任意部分都是平衡的。在弹性体内部,应力分量必须与体 力满足平衡微分方程;在弹性体的表面,应力分量须与表面力满足面力边界条件,以满足弹性体表面的平衡。考虑物体表面任一微分四面体的平衡,如图所示。由于物体表面受到表面力,如压力和 接触力等的作用,设单位面积上的面力分 量为Ar、Ry和,物体外表面法线 的方向余弦/,m,参考应力矢量与应力分量的关系,可得其x=bj+%,川+二力%=%,+b产+%汽.二tJ+工声刑+b产用张量符号可以表示为%二。洛上述公式是弹
18、性体表面微分单元体保持平衡的必要条件,公式左边表示物体表面的外力,右边是弹性体 内部趋近于边界的应力分量。公式给出了应力分量与面力之间的关系,称为静力边界条件或面力边界条件。平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式,前者表示物体内部的平衡,后者表示物体边界 部分的平衡。显然,若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件,则物体平衡;反之,如物体平衡,则应力分 量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。2.6坐标变换的应力分量和应力张量QOQQOQ学习要点与思路坐标变换 斜截面应力 转轴公式 平面问题转轴公式学习思路:一点的应力不仅随着点的位置改变而变化,而且由于截面的法线方向不同,截面上的
19、应力也不同。因 此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态,因此确定不同截面应 力分量的变化规律,就可以确定应力状态。本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析,首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向 相同,建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系,将应力矢量投影于各个 坐标轴得到应力分量表达式。应力分量的转轴公式说明:应力分量满足张量变换条件。根据切应力互等定理,应力张量是二阶对称张量。转轴公式说明了一点的应力状态,尽管截面方位的变化导致应力分量改变,但是一点的应力状态是不变的。学习要点:1.坐标系的变换;2.坐标平面的应力矢量;3
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