2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 17 页)2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1(5 分)已知集合 A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x,则 AB 中元素的个数为()A3 B2 C1 D0 2(5 分)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=()A B C D2 3(5 分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整
2、理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图 根据该折线图,下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 4(5 分)(x+y)(2xy)5的展开式中的 x3y3系数为()A80 B40 C40 D80 5(5 分)已知双曲线 C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=x,且与椭圆+=1 有公共焦点,则 C 的方程为()A=1 B=1 C=1 D=1 6(5 分)设函数
3、 f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2 By=f(x)的图象关于直线 x=对称 Cf(x+)的一个零点为 x=Df(x)在(,)单调递减 7(5 分)执行如图的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为()A5 B4 C3 D2 8(5 分)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A B C D 9(5 分)等差数列an的首项为 1,公差不为 0若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6 项的和为()A24 B3 C3 D8 第 2 页(共 17 页)10(5 分)已知椭圆 C
4、:=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为()A B C D 11(5 分)已知函数 f(x)=x22x+a(ex1+ex+1)有唯一零点,则 a=()A B C D1 12(5 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若=+,则+的最大值为()A3 B2 C D2 二、填空题二、填空题:本题共本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。13(5 分)若 x,y 满足约束条件,则 z=3x4y 的最小值为 14(5 分)设等比
5、数列an满足 a1+a2=1,a1a3=3,则 a4=15(5 分)设 函 数 f(x)=,则 满 足 f(x)+f(x)1 的 x 的 取 值 范 围是 16(5 分)a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论:当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角;当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 60角;直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45;直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60;其中正确的是 (填写所有正确结论的编号)三、解答题:共三、解答题
6、:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每题为必考题,每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60 分。分。17(12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinA+cosA=0,a=2,b=2(1)求 c;(2)设 D 为 BC 边上一点,且 ADAC,求ABD 的面积 18(12 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6元,
7、未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这
8、种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?第 3 页(共 17 页)19(12 分)如图,四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,ACD 是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD(1)证明:平面 ACD平面 ABC;(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角DAEC 的余弦值 20(12 分)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB为直径的圆(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;(2)设圆 M
9、过点 P(4,2),求直线 l 与圆 M 的方程 21(12 分)已知函数 f(x)=x1alnx(1)若 f(x)0,求 a 的值;(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1+)(1+)(1+)m,求 m 的最小值 第 4 页(共 17 页)(二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为,(t 为参数),直线 l2的参数方程为,(m 为
10、参数)设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C(1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:(cos+sin)=0,M 为 l3与 C 的交点,求 M 的极径 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)=|x+1|x2|(1)求不等式 f(x)1 的解集;(2)若不等式 f(x)x2x+m 的解集非空,求 m 的取值范围 第 5 页(共 17 页)2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题
11、:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1(5 分)已知集合 A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x,则 AB 中元素的个数为()A3 B2 C1 D0 【考点】1E:交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J:集合【分析】解不等式组求出元素的个数即可【解答】解:由,解得:或,AB 的元素的个数是 2 个,故选:B【点评】本题考查了集合的运算,是一道基础题 2(5 分)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=()A B C D2 【考点】A
12、8:复数的模菁优网版权所有【专题】35:转化思想;5N:数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解:(1+i)z=2i,(1i)(1+i)z=2i(1i),z=i+1 则|z|=故选:C【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 3(5 分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图 根据该折线图,下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在
13、7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 【考点】2K:命题的真假判断与应用;B9:频率分布折线图、密度曲线菁优网版权所有【专题】27:图表型;2A:探究型;5I:概率与统计【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,逐一分析给定四个结论的正误,可得答案【解答】解:由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:月接待游客量逐月有增有减,故 A 错误;年接待游客量逐年增加,故 B 正确;各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8
14、 月,故 C 正确;各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳,故 D 正确;第 6 页(共 17 页)故选:A【点评】本题考查的知识点是数据的分析,命题的真假判断与应用,难度不大,属于基础题 4(5 分)(x+y)(2xy)5的展开式中的 x3y3系数为()A80 B40 C40 D80 【考点】DA:二项式定理菁优网版权所有【专题】34:方程思想;5P:二项式定理【分析】(2xy)5的展开式的通项公式:Tr+1=(2x)5r(y)r=25r(1)rx5ryr令 5r=2,r=3,解得 r=3令 5r=3,r=2,解得 r=2即可得出【解答】解:
15、(2xy)5的展开式的通项公式:Tr+1=(2x)5r(y)r=25r(1)rx5ryr 令 5r=2,r=3,解得 r=3 令 5r=3,r=2,解得 r=2(x+y)(2xy)5的展开式中的 x3y3系数=22(1)3+23=40 故选:C【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 5(5 分)已知双曲线 C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=x,且与椭圆+=1 有公共焦点,则 C 的方程为()A=1 B=1 C=1 D=1 【考点】KC:双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分
16、析】求出椭圆的焦点坐标,得到双曲线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程,求出双曲线实半轴与虚半轴的长,即可得到双曲线方程【解答】解:椭圆+=1 的焦点坐标(3,0),则双曲线的焦点坐标为(3,0),可得 c=3,双曲线 C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=x,可得,即,可得=,解得 a=2,b=,所求的双曲线方程为:=1 故选:B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力 6(5 分)设函数 f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2 By=f(x)的图象关于直线 x=对称 Cf(x+)的一个零点为 x=Df(x)在(,)
17、单调递减 【考点】H7:余弦函数的图象菁优网版权所有【专题】33:函数思想;4O:定义法;57:三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可【解答】解:A函数的周期为 2k,当 k=1 时,周期 T=2,故 A 正确,B当 x=时,cos(x+)=cos(+)=cos=cos3=1 为最小值,此时 y=f(x)的图象关于直线 x=对称,故 B 正确,第 7 页(共 17 页)C 当 x=时,f(+)=cos(+)=cos=0,则 f(x+)的一个零点为 x=,故 C 正确,D当x 时,x+,此时函数 f(x)不是单调函数,故 D 错误,故选:D【点评】本题主要考查与三角
18、函数有关的命题的真假判断,根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键 7(5 分)执行如图的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为()A5 B4 C3 D2 【考点】EF:程序框图菁优网版权所有【专题】11:计算题;39:运动思想;49:综合法;5K:算法和程序框图【分析】通过模拟程序,可得到 S 的取值情况,进而可得结论【解答】解:由题可知初始值 t=1,M=100,S=0,要使输出 S 的值小于 91,应满足“tN”,则进入循环体,从而 S=100,M=10,t=2,要使输出 S 的值小于 91,应接着满足“tN”,则进入循环体,从而 S=90,M=1,t=3
19、,要使输出 S 的值小于 91,应不满足“tN”,跳出循环体,此时 N 的最小值为 2,故选:D【点评】本题考查程序框图,判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题 8(5 分)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A B C D 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LR:球内接多面体菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5Q:立体几何【分析】推导出该圆柱底面圆周半径 r=,由此能求出该圆柱的体积【解答】解:圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,该圆柱
20、底面圆周半径 r=,该圆柱的体积:V=Sh=故选:B 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法,考查圆柱、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想,是中档题 9(5 分)等差数列an的首项为 1,公差不为 0若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6 项的和第 8 页(共 17 页)为()A24 B3 C3 D8 【考点】85:等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;54:等差数列与等比数列【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程,求出公差,由此能求出an前 6 项的和【解答】解:等差数列an的首项为
21、1,公差不为 0a2,a3,a6成等比数列,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且 a1=1,d0,解得 d=2,an前 6 项的和为=24 故选:A【点评】本题考查等差数列前 n 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用 10(5 分)已知椭圆 C:=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为()A B C D 【考点】K4:椭圆的性质菁优网版权所有【专题】34:方程思想;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】以线段 A1A2为直径的圆与直线
22、bxay+2ab=0 相切,可得原点到直线的距离=a,化简即可得出【解答】解:以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切,原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2 椭圆 C 的离心率 e=故选:A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 11(5 分)已知函数 f(x)=x22x+a(ex1+ex+1)有唯一零点,则 a=()A B C D1 【考点】52:函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用【分析】通过转化可知问题等价于函数 y
23、=1(x1)2的图象与 y=a(ex1+)的图象只有一个交点求 a 的值分 a=0、a0、a0 三种情况,结合函数的单调性分析可得结论【解答】解:因为 f(x)=x22x+a(ex1+ex+1)=1+(x1)2+a(ex1+)=0,所以函数 f(x)有唯一零点等价于方程 1(x1)2=a(ex1+)有唯一解,等价于函数 y=1(x1)2的图象与 y=a(ex1+)的图象只有一个交点 当 a=0 时,f(x)=x22x1,此时有两个零点,矛盾;当 a0 时,由于 y=1(x1)2在(,1)上递增、在(1,+)上递减,且 y=a(ex1+)在(,1)上递增、在(1,+)上递减,所以函数 y=1(x
24、1)2的图象的最高点为 A(1,1),y=a(ex1+)的图象的最高点为 B(1,2a),由于 2a01,此时函数 y=1(x1)2的图象与 y=a(ex1+)的图象有两个交点,矛盾;当 a0 时,由于 y=1(x1)2在(,1)上递增、在(1,+)上递减,第 9 页(共 17 页)且 y=a(ex1+)在(,1)上递减、在(1,+)上递增,所以函数 y=1(x1)2的图象的最高点为 A(1,1),y=a(ex1+)的图象的最低点为 B(1,2a),由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件,即 2a=1,即 a=,符合条件;综上所述,a=,故选:C【点评】本题考查函数零点的判定定理,考查函数的
25、单调性,考查运算求解能力,考查数形结合能力,考查转化与化归思想,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难题 12(5 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若=+,则+的最大值为()A3 B2 C D2 【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;4R:转化法;57:三角函数的图像与性质;5A:平面向量及应用;5B:直线与圆【分析】如图:以 A 为原点,以 AB,AD 所在的直线为 x,y 轴建立如图所示的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点 P 的坐标为(cos+1,sin+2),根据
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