2011年广东高考(理科)数学试题及答案.pdf
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1、2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第 1 页(共页(共 11 页)页)试卷类型:A 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)数学(理科)本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡
2、上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。参考公式:柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高 线性回归方程ybxa中系数计算公式 其中,x y表示样本均值。N 是正
3、整数,则nnabab12(nnaab21nnabb)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 8 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,满分分,满分 4040 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。合题目要求的。1.设复数z满足12i z,其中i为虚数单位,则z=A1 i B.1 i C.22i 22i 2已知集合,Ax y,x y为实数,且221xy,,Bx y,x y为实数,且yx,则AB的元素个数为 0123 3.若向量,满足且,则(2)cab4320 4.设函数 f x和 g x分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的
4、是 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数 5.在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定。若(,)M x y为D上的动点,点A的坐标为(2,1),则zOM ON 的最大值为 A4 2 B3 2C4 D3 6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A12 B35C23 D34 7.如图 13,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A.B.C.D.6 39 312 318 3
5、8.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果,a bS有abS,则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,,TUZ且,a b cT有有xyzV,则下列结论恒成立;,abcTx y zV的是 A.,T V中至少有一个关于乘法是封闭的 B.,T V中至多有一个关于乘法是封闭的 C.,T V中有且只有一个关于乘法是封闭的 2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第 2 页(共页(共 11 页)页)D.,T V中每一个关于乘法都是封闭的 16.16.填空题:本大题共填空题:本大题共 7 7 小题,考生作答小题,考
6、生作答 6 6 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,满分分,满分 3030 分。分。(一)必做题(一)必做题(9-139-13 题)题)9.不等式130 xx的解集是 .10.72x xx的展开式中,4x的系数是 (用数字作答)11.等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和.若141,0kaaa,则 k=_.na12.函数2()31f xxx在 x=_处取得极小值。13.某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.(二)(二)选做题(选做题(1414 -1
7、515 题,考生只能从中选做一题)题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为 和5cos(0)sinxy25()4xttRyt,它们的交点坐标为_.15.(几何证明选讲选做题)如图 4,过圆O外一点p分别作圆的切线 和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,BAC=APB,则AB=。三三解答题。本大题共解答题。本大题共 6 6 小题,满分小题,满分 8080 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。(1)(本小题满分 12 分)已知函数 1()2sin(),.36f xxxR(1)求的值;5
8、()4f(2)设求的值.106,0,(3),(32),22135faf cos()17.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据:编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量;(2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x175,且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;(3)从乙厂抽出的上述 5 件产品
9、中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。18.(本小题满分 13 分)如图 5.在椎体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的棱形,且DAB=60,2PAPD,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点.(1)证明:AD 平面 DEF;(2)求二面角 P-AD-B 的余弦值.19.(本小题满分 14 分)设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切,另一个外切。(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;(2)已知点 M3 5 4 5(,),(5,0)55F,且 P 为 L 上动点,求MPFP的最大值及此时点 P 的坐标.20.
10、(本小题共 14 分)设 b0,数列 na满足 a1=b,11(2)22nnnnbaanan.(1)求数列 na的通项公式;(2)证明:对于一切正整数 n,111.2nnnba 2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第 3 页(共页(共 11 页)页)21.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L:214yx.实数 p,q 满足240pq,x1,x2是方程20 xpxq的两根,记12(,)max,p qxx。(1)过点20001(,)(0)4A ppp 作 L 的切线教 y 轴于点 B.证明:对线段 AB
11、上任一点 Q(p,q)有 0(,);2pp q (2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a2-4b0,a0.过 M(a,b)作 L 的两条切线12,l l,切点分别为22112211(,),(,)44E ppE pp,12,l l与 y 轴分别交与 F,F。线段 EF 上异于两端点的点集记为 X.证明:M(a,b)X12PP(,)a b12p;(3)设 D=(x,y)|yx-1,y14(x+1)2-54.当点(p,q)取遍 D 时,求(,)p q的最小值(记为min)和最大值(记为max).20112011 年广东高考理科数学参考答案年广东高考理科数学参考答案 一、选择题一、选择题
12、题题 号号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 答答 案案 B B C C D D A A C C D D B B A A 二、填空题二、填空题.;10.84;11.10;12.2;13.185;1,)14.;15.;2 5(1,)535三、解答题三、解答题 16解:(1);55()2sin()2sin241264f(2),又,10(3)2sin213f5sin130,212cos13,6(32)2sin()2cos25f3cos5又,0,24sin5.16cos()coscossinsin6517解:(1)乙厂生产的产品总数为;1453598(2)样品中优等品的频
13、率为,乙厂生产的优等品的数量为;25235145(3),的分布列为 0,1,222325()iiC CPiC(0,1,2)i 0 1 2 P 310 35 110均值.314()125105E 18.解:(1)取 AD 的中点 G,又 PA=PD,PGAD,由题意知 ABC 是等边三角形,BGAD又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线,ADPGB 平 平,/,/EFPB DEGB,DEFPGB平 平/平 平 ADDEF 平 平(2)由(1)知为二面角的平面角,PGBPADB在中,;在中,;Rt PGA222172()24PG Rt BGA222131()24BG 在中,.PGB2222
14、1cos27PGBGPBPGBPG BG 19解:(1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为、,1(5,0)F 2(5,0)F由题意得或,12|2|2RCFCF 21|2|2RCFCF,1212|42 5|CFCFFF可知圆心 C 的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则 12,F F22221xyab,所以轨迹 L 的方程为 22224,2,5,1,1aacbcab2214xy(),仅当时,取,|2MPFPMF(0)PMPF 由知 直 线,联 立并 整 理 得解 得或2MFk:2(5)MFlyx 2214xy21532 590 xx6 55x,此时 14 5(15x 舍去)6 5
15、2 5(,-)55P所以最大值等于 2,此时|MPFP3 54 5(,)55PPABCDFGPABCDFE2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第 4 页(共页(共 11 页)页)20解()法一:,得,112(1)nnnabanan1112(1)121nnnnannnababba设,则,nnnba121nnbbbb(2)n()当时,是以为首项,为公差的等差数列,2b nb1212即,111(1)222nbnn2na()当时,设,则,2b 12()nnbbb122(1)nnbbbb令,得,21(1)bb12b1121()22nnbbbb
16、b(2)n 知是等比数列,又,12nbb11112()()22nnbbbbb11bb,12112()222nnnnnbbbbbbb(2)2nnnnnbbab法二:()当时,是以为首项,为公差的等差数列,2b nb1212即,111(1)222nbnn2na()当时,2b 1ab2222222(2)22bb babb33223333(2)242bb babbb猜想,下面用数学归纳法证明:(2)2nnnnnbbab当时,猜想显然成立;1n 假设当时,则 nk(2)2kkkkkbbab,1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2kkkkkkkkkkkb akb kbbkbbaan
17、kbbkbb所以当时,猜想成立,1nk由知,*nN(2)2nnnnnbbab()()当时,故时,命题成立;2b 112212nnna2b()当时,2b 222212222nnnnnnbbb,212122122222nnnnnnbbbb,以上 n 个式子相加得 1111221,22222nnnnnnnnbbbb,2212nnbb111122nnnnbb2121222nnnnbnb 1221212112(2)(222)2(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbabb 2212121(222)(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnbbbbbbb 2121111(2)22
18、2(2)nnnnnnnnnbbbb故当时,命题成立;2111211(2)(22)2(2)nnnnnnnnnbbbb1112nnb2b 综上()()知命题成立 21解:(),00011|()|22ABx px pkyxp直线 AB 的方程为,即,200011()42yppxp2001124yp xp,方程的判别式,2001124qp pp20 xpxq2204()pqpp 两根或,001,2|22ppppx02pp,又,00p p00|22pppp00|pp,得,000|222pppp000|222ppppp 0(,)|2pp q()由知点在抛物线 L 的下方,240ab(,)M a b当时,作
19、图可知,若,则,得;0,0ab(,)M a bX120pp12|pp若,显然有点;12|pp(,)M a bX(,)M a bX12|pp当时,点在第二象限,0,0ab(,)M a b作图可知,若,则,且;(,)M a bX120pp12|pp若,显然有点;12|pp(,)M a bX(,)M a bX12|pp根据曲线的对称性可知,当时,0a(,)M a bX12|pp综上所述,(*);(,)M a bX12|pp由()知点 M 在直线 EF 上,方程的两根或,20 xaxb11,22px12pa 同理点 M 在直线上,方程的两根或,E F20 xaxb21,22px22pa 2011 年全
20、国高考【广东卷】(理科数学)试题 第2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第 5 页(共页(共 11 页)页)xyO22A若,则不比、小,1(,)|2pa b1|2p1|2pa 2|2p2|2pa,又,12|pp12|pp(,)M a bX;又由()知,;1(,)|2pa b(,)M a bX(,)M a bX1(,)|2pa b,综合(*)式,得证 1(,)|2pa b(,)M a bX()联立,得交点,可知,1yx215(1)44yx(0,1),(2,1)02p过点作抛物线 L 的切线,设切点为,则,(,)p q2001(,)4xx20001142xqxxp得,解得,200240
21、 xpxq204xppq又,即,215(1)44qp2442pqp,设,042xpp42pt20122xtt 215(1)22t,又,;0maxmax|2x052x max54,1qp2044|2|2xppppp 0minmin|12x 2011 年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】(理科数学)本试卷分第第卷卷(选择题)和第第卷卷(非选择题)两部分,第卷第 1 至第 2 页,第卷第 3 页至第 4 页全卷满分 150分,考试时间 120 分钟 第卷第卷(选择题 共 60 分)一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)【2011广东理,1】1设复数z满足(1)2i z,其中i为虚数单位,则
22、z ()A1 i B1 i C22i D22i 【答案】B 【解析】依题意得211zii,故选B【2011广东理,2】2已知集合(,)|Ax y,x y为实数,且221xy,(,)|Bx y,x y为实数,且yx,则AB的元素个数为()A0 B1 C2 D3 【答案】C【解析】题意等价于求直线yx与圆221xy的交点个数,画大致图像可得答案【2011广东理,3】3若向量a,b,c满足ab且ac,则(2)=ca+b()A4 B3 C2 D1 【答案】D【解析】因为ab且ac,所以bc,从而(2)=20ca+bc a+c b=【2011广东理,4】4设函数()f x和()g x分别是实数集R上的偶
23、函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()A f xg x是偶函数 B f xg x是奇函数 C f xg x是偶函数 D f xg x是奇函数【答案】A【解析】依题意()(),()()fxf x gxg x,故()|()|()|()|fxgxf xg x,从而()|()|f xg x 是偶函数,故选 A【2011广东理,5】5已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定若(,)M x y为D上的动点,点A的坐标为(2,1),则zOM OA 的最大值为()A4 2 B3 2 C4 D3 【答案】C【解析】目标函数即2zxy,画出可行域如图所示,2011 年全国高考【广东卷】(理
24、科数学)试题 第2011 年全国高考【广东卷】(理科数学)试题 第 6 页(共页(共 11 页)页)代入端点比较之,易得当2,2xy时z取得最大值4,故选 C【2011广东理,6】6甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A12 B35 C23 D34 【答案】D【解析】设甲队获得冠军为事件A,则A包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A,从而选 D【2011广东理,7】7如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是
25、矩形,则该几何体的体积为()A6 3 B9 3 C12 3 D18 3 【答案】B【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面,高为3的四棱柱,又平行四边形的底边长为3,高为3,所以面积3 3S,从而所求几何体的体积9 3VSh,故选 B 【2011广东理,8】8设S是整数集Z的非空子集,如果,a bS,有abS,则称S关于数的乘法是封闭的若,T V是Z的两个不相交的非空子集,YVZ,且,a b cT,有abcT;,x y zV,有xyzV,则下列结论恒成立的是()A,T V中至少有一个关于乘法是封闭的 B,T V中至多有一个关于乘法是封闭的 C,T V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D,
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