2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 17 页)2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 60 分在每个小题给出的四个选项中,只有一分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1(5 分)已知集合 M=x|(x1)24,xR,N=1,0,1,2,3,则 MN=()A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,3 2(5 分)设复数 z 满足(1i)z=2i,则 z=()A1+i B1i C1+i D1i 3(5 分)等比数列an的前 n
2、 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=()A B C D 4(5 分)已知 m,n 为异面直线,m平面,n平面 直线 l 满足 lm,ln,l,l,则()A 且 l B 且 l C 与 相交,且交线垂直于 l D 与 相交,且交线平行于 l 5(5 分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中 x2的系数为 5,则 a=()A4 B3 C2 D1 6(5 分)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=()A B C D 7(5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标 分 别 是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0
3、),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为()A B C D 8(5 分)设 a=log36,b=log510,c=log714,则()Acba Bbca Cacb Dabc 9(5 分)已知 a0,实数 x,y 满足:,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=()A2 B1 C D 10(5 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)=0 B函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(,x0)单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0 11
4、(5 分)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为()Ay2=4x 或 y2=8x By2=2x 或 y2=8x Cy2=4x 或 y2=16x Dy2=2x 或 y2=16x 12(5 分)已知点 A(1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是()A(0,1)B C D 第 2 页(共 17 页)二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分 13(5 分)已知正方形 ABCD 的边长为
5、2,E 为 CD 的中点,则=14(5 分)从 n 个正整数 1,2,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为,则 n=15(5 分)设 为第二象限角,若 tan(+)=,则 sin+cos=16(5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn的最小值为 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤:三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤:17(12 分)ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB()求 B;()若 b=2,求ABC 面积的最大值 18(12 分)如图,直棱柱
6、 ABCA1B1C1中,D,E 分别是 AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB()证明:BC1平面 A1CD()求二面角 DA1CE 的正弦值 19(12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品以 x(单位:t,100 x150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 ()将 T 表示为 x 的函数;()根据直方图估计利润 T 不少于 57000
7、 元的概率;()在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x100,110)则取 x=105,且 x=105的概率等于需求量落入100,110)的频率,求 T 的数学期望 第 3 页(共 17 页)20(12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:(ab0)右焦点的直线 x+y=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为()求 M 的方程()C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CDAB,求四边形 ACBD 面积的最大值 21(12 分)已知函数 f(x)=
8、exln(x+m)()设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性;()当 m2 时,证明 f(x)0 选考题:(第选考题:(第 22 题第题第 24 题为选考题,考生根据要求作答请考生在第题为选考题,考生根据要求作答请考生在第 22、23、24 题中任选题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分评分,作答时请写清题号)择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分评分,作答时请写清题号)22(10 分)【选修 41 几何证明选讲】如图,CD 为ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BCAE=DCAF,
9、B、E、F、C 四点共圆(1)证明:CA 是ABC 外接圆的直径;(2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值 23已知动点 P、Q 都在曲线(为参数)上,对应参数分别为=与=2(02),M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程;(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 第 4 页(共 17 页)24【选修 45;不等式选讲】设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明:()()第 5 页(共 17 页)2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标
10、)参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 60 分在每个小题给出的四个选项中,只有一分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1(5 分)已知集合 M=x|(x1)24,xR,N=1,0,1,2,3,则 MN=()A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,3 【考点】1E:交集及其运算;73:一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】求出集合 M 中不等式的解集,确定出 M,找出 M 与 N 的公共元素,即可确定出两集合的交集【解答】
11、解:由(x1)24,解得:1x3,即 M=x|1x3,N=1,0,1,2,3,MN=0,1,2 故选:A【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2(5 分)设复数 z 满足(1i)z=2i,则 z=()A1+i B1i C1+i D1i 【考点】A5:复数的运算菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】根据所给的等式两边同时除以 1i,得到 z 的表示式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果【解答】解:复数 z 满足 z(1i)=2i,z=1+i 故选:A【点评】本题考查代数形式的除法运算,是一个基础题,这种题目若出现一定是一个
12、送分题目,注意数字的运算 3(5 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=()A B C D 【考点】89:等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列【分 析】设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q,利 用 已 知 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式 即 可 得 到,解出即可【解答】解:设等比数列an的公比为 q,S3=a2+10a1,a5=9,解得 故选:C【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键 4(5 分)已知 m,n 为异面直线,m平面,n平面 直线 l 满足 lm,ln,l,l,则()A 且 l
13、B 且 l C 与 相交,且交线垂直于 l D 与 相交,且交线平行于 l 第 6 页(共 17 页)【考点】LJ:平面的基本性质及推论;LQ:平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离【分析】由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正确的结论【解答】解:由 m平面,直线 l 满足 lm,且 l,所以 l,又 n平面,ln,l,所以 l 由直线 m,n 为异面直线,且 m平面,n平面,则 与 相交,否则,若 则推出 mn,与 m,n 异面矛盾 故 与 相交,且交线平行于 l 故选:D【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面
14、的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题 5(5 分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中 x2的系数为 5,则 a=()A4 B3 C2 D1 【考点】DA:二项式定理菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中 x2的系数为+a=5,由此解得 a 的值【解答】解:已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+x+x2+x3+x4+x5)展开式中 x2的系数为+a=5,解得 a=1,故选:D【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题 6(
15、5 分)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=()A B C D 【考点】EF:程序框图菁优网版权所有【专题】27:图表型【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始,逐渐分析写出程序运行的每一步,便可得到程序框图表示的算法的功能【解答】解:框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值,S=0+1=1,k=1+1=2;判断 k10 不成立,执行 S=1+,k=2+1=3;判断 k10 不成立,执行 S=1+,k=3+1=4;判断 k10 不成立,执行 S=1+,k=4+1=5;第 7 页(共 17 页)判断 i10 不成立,执行 S=,k=10+1=11;判断 i10 成立,输出
16、 S=算法结束 故选:B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律 7(5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为()A B C D 【考点】L7:简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】11:计算题;13:作图题【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以 zOx 平面为投影面,则得到正视图即可【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0
17、),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以 zOx 平面为投影面,则得到正视图为:故选:A 【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力 8(5 分)设 a=log36,b=log510,c=log714,则()Acba Bbca Cacb Dabc 【考点】4M:对数值大小的比较菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】利用 loga(xy)=logax+logay(x、y0),化简 a,b,c 然后比较 log32,log52,log72 大小即可【解答】解:因为 a=log36=1+
18、log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,因为 y=log2x 是增函数,所以 log27log25log23,所以 log32log52log72,所以 abc,故选:D【点评】本题主要考查不等式与不等关系,对数函数的单调性的应用,不等式的基本性质的应第 8 页(共 17 页)用,属于基础题 9(5 分)已知 a0,实数 x,y 满足:,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=()A2 B1 C D 【考点】7C:简单线性规划菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定 z 的最优
19、解,然后确定 a 的值即可【解答】解:作出不等式对应的平面区域,(阴影部分)由 z=2x+y,得 y=2x+z,平移直线 y=2x+z,由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 C 时,直线 y=2x+z 的截距最小,此时 z 最小 即 2x+y=1,由,解得,即 C(1,1),点 C 也在直线 y=a(x3)上,1=2a,解得 a=故选:C 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 10(5 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)=0 B函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值
20、点,则 f(x)在区间(,x0)单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】53:导数的综合应用【分析】利用导数的运算法则得出 f(x),分0 与0 讨论,列出表格,即可得出【解答】解:f(x)=3x2+2ax+b(1)当=4a212b0 时,f(x)=0 有两解,不妨设为 x1x2,列表如下 x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0 0+f(x)单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知:x2是函数 f(x)的极小值点,但是 f(x)在区间(,x2)不具
21、有单调性,故 C 不正确+f(x)=+x3+ax2+bx+c=+2c,第 9 页(共 17 页)=,+f(x)=,点 P为对称中心,故 B 正确 由表格可知 x1,x2分别为极值点,则,故 D 正确 x时,f(x);x+,f(x)+,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即xR,f(x)=0,故 A 正确(2)当0 时,故 f(x)在 R 上单调递增,此时不存在极值点,故D 正确,C 不正确;B 同(1)中正确;x时,f(x);x+,f(x)+,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即x0R,f(x0)=0,故 A 正确 综上可知:错误的结论是 C 由于该题选择错误的,故选:C【点评】熟练掌握导数的运算法
22、则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法,考查了分类讨论的思想方法等基本方法 11(5 分)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为()Ay2=4x 或 y2=8x By2=2x 或 y2=8x Cy2=4x 或 y2=16x Dy2=2x 或 y2=16x 【考点】K7:抛物线的标准方程菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程算出|OF|=,设以 MF 为直径的圆过点 A(0,2),在 RtAOF 中利用勾股定理算出|A
23、F|=再由直线 AO 与以 MF 为直径的圆相切得到OAF=AMF,RtAMF 中利用AMF 的正弦建立关系式,从而得到关于 p 的方程,解之得到实数 p 的值,进而得到抛物线 C 的方程【解答】解:抛物线 C 方程为 y2=2px(p0),焦点 F 坐标为(,0),可得|OF|=,以 MF 为直径的圆过点(0,2),设 A(0,2),可得 AFAM,RtAOF 中,|AF|=,sinOAF=,根据抛物线的定义,得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于 A 点,OAF=AMF,可得 RtAMF 中,sinAMF=,|MF|=5,|AF|=,整理得 4+=,解之可得 p=2 或 p=8 因此,抛物
24、线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x 故选:C 方法二:抛物线 C 方程为 y2=2px(p0),焦点 F(,0),设 M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+=5,可得 x=5,第 10 页(共 17 页)因为圆心是 MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为=,由已知圆半径也为,据此可知该圆与 y 轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为 2,则 M 点纵坐标为 4,即 M(5,4),代入抛物线方程得 p210p+16=0,所以 p=2 或 p=8 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x 故选:C 【点评】本题给出抛物线一条长度为 5 的焦半径 MF,以 M
25、F 为直径的圆交抛物线于点(0,2),求抛物线的方程,着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识,属于中档题 12(5 分)已知点 A(1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是()A(0,1)B C D 【考点】%H:三角形的面积公式;I1:确定直线位置的几何要素;IT:点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】31:数形结合;35:转化思想;44:数形结合法;5B:直线与圆【分析】解法一:先求得直线 y=ax+b(a0)与 x 轴的交点为 M(,0),由0 可得点 M在射线 OA 上求出直线和
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