2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 17 页)2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的要求的.1(5 分)设集合 S=x|(x2)(x3)0,T=x|x0,则 ST=()A2,3 B(,23,+)C3,+)D(0,23,+)2(5 分)若 z=1+2i,则=()A1 B1 Ci Di 3(5 分)已知向量=(,),=(,),则ABC=()A30 B45 C60 D120 4(5 分)某旅游城
2、市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15,B 点表示四月的平均最低气温约为 5,下面叙述不正确的是()A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 5(5 分)若 tan=,则 cos2+2sin2=()A B C1 D 6(5 分)已知 a=,b=,c=,则()Abac Babc Cbca Dcab 7(5 分)执行如图程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=()A3 B4 C5 D6 8(
3、5 分)在ABC 中,B=,BC 边上的高等于BC,则 cosA 等于()A B C D 9(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()第 2 页(共 17 页)A18+36 B54+18 C90 D81 10(5 分)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球,若 ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是()A4 B C6 D 11(5 分)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:+=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点P 为 C 上一点,且 PFx 轴,过点 A 的直线 l 与线
4、段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点E若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为()A B C D 12(5 分)定义“规范 01 数列”an如下:an共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意k2m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数,若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有()A18 个 B16 个 C14 个 D12 个 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分.13(5 分)若 x,y 满足约束条件,则 z=x+y 的最大值为 14(5 分)函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=sinx+c
5、osx 的图象至少向右平移 个单位长度得到 15(5 分)已知 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)=ln(x)+3x,则曲线 y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是 16(5 分)已知直线 l:mx+y+3m=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若|AB|=2,则|CD|=三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn=1+an,其中 0(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若 S5=,求 第 3 页(
6、共 17 页)18(12 分)如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图 注:年份代码 17 分别对应年份 20082014()由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以证明;()建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注:参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,2.646 参考公式:相关系数 r=,回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=19(12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,ADBC,AB=AD
7、=AC=3,PA=BC=4,M为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点(1)证明:MN平面 PAB;(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 20(12 分)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点()若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 ARFQ;()若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程 第 4 页(共 17 页)21(12 分)设函数 f(x)=acos2x+(a1)(cosx+1),其中 a0,记|f(x)|的最大值为 A
8、()求 f(x);()求 A;()证明:|f(x)|2A 请考生在第请考生在第 22-24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修选修 4-1:几何证明选:几何证明选讲讲 22(10 分)如图,O 中的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点(1)若PFB=2PCD,求PCD 的大小;(2)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明:OGCD 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴
9、为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin(+)=2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;(2)设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 24已知函数 f(x)=|2xa|+a(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)6 的解集;(2)设函数 g(x)=|2x1|,当 xR 时,f(x)+g(x)3,求 a 的取值范围 第 5 页(共 17 页)2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题
10、:本大题共本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的要求的.1(5 分)设集合 S=x|(x2)(x3)0,T=x|x0,则 ST=()A2,3 B(,23,+)C3,+)D(0,23,+)【考点】1E:交集及其运算菁优网版权所有【专题】37:集合思想;4O:定义法;5J:集合【分析】求出 S 中不等式的解集确定出 S,找出 S 与 T 的交集即可【解答】解:由 S 中不等式解得:x2 或 x3,即 S=(,23,+),T=(0,+),ST=(0,23,+),故选:D 【点评】此题考查了交
11、集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2(5 分)若 z=1+2i,则=()A1 B1 Ci Di 【考点】A5:复数的运算菁优网版权所有【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;5N:数系的扩充和复数【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可【解答】解:z=1+2i,则=i 故选:C【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力 3(5 分)已知向量=(,),=(,),则ABC=()A30 B45 C60 D120 【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】11:计算题;41:向量法;49:综合法;5A:平面向量及应用【分析】根据向量的坐标便可求出
12、,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值,根据ABC 的范围便可得出ABC 的值【解答】解:,;又 0ABC180;ABC=30 故选:A【点评】考查向量数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量长度的方法,以及向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,已知三角函数值求角 4(5 分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15,B 点表示四月的平均最低气温约为 5,下面叙述不正确的是()第 6 页(共 17 页)A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一
13、月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 【考点】F4:进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】31:数形结合;4A:数学模型法;5M:推理和证明【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可【解答】解:A由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上,正确 B七月的平均温差大约在 10左右,一月的平均温差在 5左右,故七月的平均温差比一月的平均温差大,正确 C三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为 10,正确 D平均最高气温高于 20的月份有 7,8 两个月,故 D 错误,故选:D【点评】本题主要考查推理和证明的应用,根据平均最高气温和平均最低气温的雷达
14、图,利用图象法进行判断是解决本题的关键 5(5 分)若 tan=,则 cos2+2sin2=()A B C1 D 【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;56:三角函数的求值【分析】将所求的关系式的分母“1”化为(cos2+sin2),再将“弦”化“切”即可得到答案【解答】解:tan=,cos2+2sin2=故选:A【点评】本题考查三角函数的化简求值,“弦”化“切”是关键,是基础题 6(5 分)已知 a=,b=,c=,则()Abac Babc Cbca Dcab 【考点】4Y:幂函数的单调性、奇偶性及其应用菁优网版权所有【专题
15、】35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用【分析】b=,c=,结合幂函数的单调性,可比较 a,b,c,进而得到答案【解答】解:a=,b=,c=,综上可得:bac,故选:A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性,幂函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档 第 7 页(共 17 页)7(5 分)执行如图程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=()A3 B4 C5 D6 【考点】EF:程序框图菁优网版权所有【专题】11:计算题;27:图表型;4B:试验法;5K:算法和程序框图【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a,b,s,n 的值,
16、当 s=20时满足条件 s16,退出循环,输出 n 的值为 4【解答】解:模拟执行程序,可得 a=4,b=6,n=0,s=0 执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1 不满足条件 s16,执行循环体,a=2,b=6,a=4,s=10,n=2 不满足条件 s16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3 不满足条件 s16,执行循环体,a=2,b=6,a=4,s=20,n=4 满足条件 s16,退出循环,输出 n 的值为 4 故选:B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的 a,b,s 的值是解题的关键,属于基础题 8(5 分)在ABC 中
17、,B=,BC 边上的高等于BC,则 cosA 等于()A B C D 【考点】HT:三角形中的几何计算菁优网版权所有【专题】35:转化思想;44:数形结合法;58:解三角形【分析】作出图形,令DAC=,依题意,可求得 cos=,sin=,利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解:设ABC 中角 A、B、C、对应的边分别为 a、b、c,ADBC 于 D,令DAC=,在ABC 中,B=,BC 边上的高 AD=h=BC=a,BD=AD=a,CD=a,在 RtADC 中,cos=,故 sin=,cosA=cos(+)=coscossinsin=故选:C【点评】本题考查解三角形中,作出图形,令DAC=,利
18、用两角和的余弦求 cosA 是关键,也是亮点,属于中档题 第 8 页(共 17 页)9(5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A18+36 B54+18 C90 D81 【考点】L!:由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离;5Q:立体几何【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱,进而得到答案【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱,其底面面积为:36=18,侧面的面积为:(33+3)2=18+18,故棱柱的表面积为:182+18+1
19、8=54+18 故选:B【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键 10(5 分)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球,若 ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是()A4 B C6 D 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离;5Q:立体几何【分析】根据已知可得直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为,代入球的体积公式,可得答案【解答】解:ABBC,AB=6,BC=8,AC=10 故三角形 ABC 的内切圆半径 r=2,又由 AA1=3
20、,故直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为,此时 V 的最大值=,故选:B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征,根据已知求出球的半径,是解答的关键 11(5 分)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:+=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点P 为 C 上一点,且 PFx 轴,过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点E若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为()A B C D 【考点】K4:椭圆的性质菁优网版权所有【专题】34:方程思想;48:分析法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得 F,A,B 的坐标,设出直线 A
21、E 的方程为 y=k(x+a),分别令 x=c,x=0,可得 M,E 的坐标,再由中点坐标公式可得 H 的坐标,运用三点共线的条件:斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值【解答】解:由题意可设 F(c,0),A(a,0),B(a,0),第 9 页(共 17 页)设直线 AE 的方程为 y=k(x+a),令 x=c,可得 M(c,k(ac),令 x=0,可得 E(0,ka),设 OE 的中点为 H,可得 H(0,),由 B,H,M 三点共线,可得 kBH=kBM,即为=,化简可得=,即为 a=3c,可得 e=另解:由AMFAEO,可得=,由BOHBFM,可得=,即有=即 a=3c,可得 e=故
22、选:A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的方程和性质,以及直线方程的运用和三点共线的条件:斜率相等,考查化简整理的运算能力,属于中档题 12(5 分)定义“规范 01 数列”an如下:an共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意k2m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数,若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有()A18 个 B16 个 C14 个 D12 个 【考点】8B:数列的应用菁优网版权所有【专题】16:压轴题;23:新定义;38:对应思想;4B:试验法【分析】由新定义可得,“规范 01 数列”有偶数项 2m 项,且所含 0 与 1 的
23、个数相等,首项为 0,末项为 1,当 m=4 时,数列中有四个 0 和四个 1,然后一一列举得答案【解答】解:由题意可知,“规范 01 数列”有偶数项 2m 项,且所含 0 与 1 的个数相等,首项为0,末项为 1,若 m=4,说明数列有 8 项,满足条件的数列有:0,0,0,0,1,1,1,1;0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;0,0,1,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,1,0,0,0,1,1,1;0,1,0,0
24、,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1共 14 个 故选:C【点评】本题是新定义题,考查数列的应用,关键是对题意的理解,枚举时做到不重不漏,是压轴题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分.13(5 分)若 x,y 满足约束条件,则 z=x+y 的最大值为 【考点】7C:简单线性规划菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在 y 轴的截距最大值【解答】解:不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过 D 点时,
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