平面几何问题的证明课件.pdf
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1、第五章 平面几何问题的证明第一节 证题的一般思路证题的一般思路:试误式思路与顿误式思路试误式思路:认真审题,分清条件和结论,挖掘 所涉及的一些概念的内涵,利用丰富的联想和化归的 思想,把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类 型。如果用困难,就尝试对问题的条件或结论作某些 变更,转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍,缺乏某些因素,就尝试引入辅助量或作出辅助线、图 来进行沟通,纠正尝试中的错误,最后获得原问题的 证明。2020/4/12试误式思路又常分为直接式和间接式。直接式:由命题的题设出发,根据定义、公理、定理 进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明。又有“综合法”和“分析法”之分
2、.间接式:有些命题,往往不易甚至不能直接证明。这时,不妨证明它的等效命题,间接地达到目的。这 种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典 型的间接式思路证题方法。反证法又分归谬法和穷举法;同一法。2020/4/12顿误式思路就是证题时,一下子不能马上行找到他的证明思 路,但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分 析他,通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信 息,辨认和联想题目中的各种因素时,则可以在经过 一系列的“脑风暴”之后,在某一其他因素或者其他 问题的激发下,或运用直觉想象,突然在脑子中形成 一个念头或闪现出对证题的提示,从而顿时获得简捷 而优美的证题思路。见P75例1.2020
3、/4/12第二节 面积法与面积坐标1,面积与面积法证题张景中院士指出,抓住面积,不但能把平面几何课 程变得更容易学,而且使得几何问题求解变得更有趣 味。在求解平面几何问题的时候,根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系,用面积或者面 积比表示有关几何量或其比,从而把要论证的几何量 之间的关系转化为有关面积之间的关系,并通过图形 面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法,称之 为面积法。常用公式见P84-85页.证明P85例1和例2.2020/4/122.消点思想与消点法证题(见第十章)3.面积坐标如果引入带正负号的面积(规定图形的边界走向是 逆时针方向则面积为正,走向是顺时针方向则面积
4、为 负)就可以引入面积坐标了。在平面上任意取一个定向三角形乙AiA2A3,称为“坐 标三角形。Ai,A2,A3称为基点。对平面上任意一点M,就有了三个三角形的带号面积:Sl=SMA2A3,S2=SmA3A1,3=ZJVIA1 A2-2020/4/12把三元数组(S1,S2,S3)称为(以HAiA2A3为坐标 三角形时)点M的“面积坐标”,记为M=(S1,S2,S3)S1,S2,S3称为点M的三个“坐标分量”,且满足Sl+S2+S3=SAA1 A2A3。如果给出三者之比6263=1:风,且Mi=Sj/(Si+S2+S3)(i=1 j2,3),则称(山:p2:阳)为M=(Si,S2$3)的齐次面积
5、坐标。通常(pi:p2:P3)称为M的重心坐标。当S1+S2+S3=S=1时,面积坐标也就是规范重心坐标。2020/4/12由于知道了 M(S1 52,S3)的两个坐标分量(S1,S2),就 可以确定M,从而可以用(Si$2)来表示点M,或用(S1/SS2/S)称为在坐标系(A3,A3A15 AA2)乏卞M的仿射坐标,而A3称为这个仿射坐标的原点。如果|A3Ali=I A3A2 I=1,且NA1A3A2=90,则这个仿射坐标系(A3,启1,启2)叫做笛卡儿 坐标系,也就是指常用的直角坐标系。2020/4/12第三节 向量法与复数法1,向量法与向量法证题把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方
6、 法称之为向量方法。向量法的特点是形数结合、运算有法可循,因此 向量法既有综合法的灵巧,又有坐标法的方便,能把 综合法与坐标法有机地结合在一起。2020/4/12用向量法证明第一节中的例1是很简捷的.见P902020/4/122,复数法与复数法证题请讲解P94例42020/4/12第四节几类问题的证明方法1,关于线段,角的相等(常见方法10种,P96)2,关于平行与垂直(常见方法7+7种,P97-98)3,关于点共线与线共点(常见方法7+60种,P99)4,关于点共圆与圆共点(常见方法7+3种,P100)2020/4/12第五节几何轨迹与尺规作图1,几何轨迹具有某种性质的点的集合称为具有这种性
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