注意添加平行线证题.pdf
《注意添加平行线证题.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《注意添加平行线证题.pdf(39页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、注意添加平行线证题第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重 要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证 明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用 这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1设P、Q为 线段BC上两点,且BP=CQ,ADA为BC外一动点(如图D.当点A运动到使ZBAP=ZCAQ时,AABC是什么三角形?试证明你的结论.BP答:当点A运动到使
2、N BAP=N CAQ时,4ABC为等腰三角形.图1证明:如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在DBP=N AQ C中,显然N DBP=N AQ C,N DPB=N C.由BP=CQ,可知DBPAAQ C.有 DP=AC,ZBDP=ZQ AC.于是,DABP,N BAP=ZBDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB=DP.所以AB=AC.这里,通过作平行线,将N Q AC“平推”到N BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明 很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形,EPN BAF=N BCE.求证:N EBA=/ADE.证明:
3、如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE.BF由AB CD,易知4PBA之4ECD.有=图2PA=ED,PB=EC.显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有N BCE=N BPE,N APE=N ADE.由 N BAF=N BCE,可知ZBAF=ZBPE.有P、B、A、E四点共圆.于是,N EBA=N APE.所以,ZEBA=ZADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起 来.ZAPE成为N EBA与N ADE相等的媒介,证法很巧妙.2欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可
4、通过添加平 行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3在4ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂 线,M、N、Q为垂足.求证:PM+PN=PQ.A证明:如图3,过点P作AB的平行线交BDN M于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC E于K、G,连PG.由BD平行N ABC,可知点F 到AB、BC CBQ两边距离相等.有KQ=PN.图3显然,EPEF CG=,可知 PG/EC.PDF DGD由CE平分N BCA,知GP平分N F GA.有PK=PM.于是,PM+PN=PK+KQ=PQ.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM=PK,
5、就有PM+PN=PQ.证法非常简捷.3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以 通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4 设M l、M 2是AABC的BC边上的点,且BM 1=CM 2.任作一直线分别交AB、AC、AM I、AM 2于 P、Q、N l、N 2.试证:AM lAM 2ACAB+=+.AN 1AN 2APAQ证明:如图4,若PQ BC,易证结论成立.若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E.由 BM 1=CM 2,可知 BE+CE=M 1E+M 2E,
6、易知 APQ 2M 1M 2D 图 4EBABBEACCE=,=,APDEAQ DEAM 1M EAM 2M E=1,=2.AN 1DEAN 2DE则 AM 1AM 2ABACBE CEM 1E M 2E+=+.AN 1AN 2DEAPAQ DE所以,AM lAM 2ABAC+=+.AN 1AN 2APAQ这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题 迎刃而解.例5 AD是4ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证:N F DA=Q M PAN ZEDA.证明:如图5,过点A作BC的平行线,分F别交直线DE、DF、BE、CF于Q
7、、P、N、M.BDKDDC 显然,=.AN KAAM由 BD 图 5c 有 BD AM=DC AN.(1)APAF AM=,有 BDF BBCBD AM AP=.(2)BCAEAN AQ 由=,有 ECBCDCDC AN AQ=.(3)BC对比、(2)、(3)有AP=AQ.显然AD为PQ的中垂线,故AD平分N PDQ.所以,/F DA=/EDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比 例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.4为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等 的关系传递开去.例6在AA
8、BC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且/M DN=90 .如果 BM 2+CN 2=DM 2+DN 2,求证:AD2=1(AB2+AC2).4证明:如图6,过点B作AC的平行线交N D A延长线于E.连M E.M 由 BD=DC,可知 ED=DN.有 NBEDACN D.CB 于是,BE=N C.E显然,M D为EN的中垂线.有图6 EM=M N.由 BM 2+BE2=BM 2+N C2=M D2+DN 2=M N 2=EM 2,可知4BEM 为直角三角形,ZM BE=90 .有ZABC+ZACB=ZABC+ZEBC=90 .于是,N BAC=90 .1 1所以,A
9、D2=BC=(AB2+AC2).4 2这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.C例7如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,F E分别在半圆上取点E、F,使EA=DA,F B=DB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证:CD平A 分 EF.BGDOH证明:如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连图7F A、EB.易知DB2=F B2=AB HB,AD2=AE2=AG AB.二式相减,得DB2AD2=AB(HB-AG),或(DB-AD)AB=AB(HB-AG).于是,DB-AD=HB-AG,或 DB-HB=AD-AG.就是 DH=GD.显然,EGCD
10、F H.故CD平分EF.这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、F H,从而得 到G、H两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如 图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有2DM AM=BN ANM EN CBN M EDM DM即=或=.BN M EN CN C 此式表明,DM=M E的充要条件是BN=N C.利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8如图9,ABCD为四边形,两组对边延长A后得交点E、F,对角线B
11、DEF,AC的延长 线交EF于G.求证:EG=GF.证明:如图9,过C作EF的平行线分别交AE、EAF 于 M、N.由 BDEF,可知 M N BD.易知 G图 9 SABEF=SADEF.有 SzM 3EC=SzM I KG*5IIDF C.可得 M C=CN.DN图8CEDN F所以,EG=GF.例9如图10,。0是4ABC的边BC外的旁 切圆,D、E、F分别为。与BC、CA、AB的切点.若0 D与EF相交于K,求证:AK平分BC.证明:如图10,过点K作BC的行平线分 别交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、OOE、OF.图 10 由 0 DLBC,可知 OK_ LPQ.
12、由OF _ LAB,可知0、K、F、Q四点共圆,有ZF 0 Q=ZF KQ.由OE_ LAC,可知0、K、P、E四点共圆.有ZE0 P=ZEKP.显然,N F KQ=N EKP,可知ZF 0 Q=ZE0 P.由OF=OE,可知RtAOF Q RtAOEP.则 OQ=OP.于是,OK为PQ的中垂线,故Q K=KP.所以,AK平分BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1.四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为AD、BC的中点,延长BA交直线N M于E,延长CD交 直线N M于F.求证:N BEN=N
13、 CF N.(提示:设P为AC的中点,易证PM=PN.)2.设 P 为aABC 边 BC 上一点,且 PC=2PB.已知N ABC=45,N APC=60 .求N ACB.(提 示:过点C作PA的平行线交BA延长线于点D.易证ACDsaPBA.答:75)3.六边开 ABCDEF 的各角相等,F A=AB=BC,N EBD=60 ,S4EBD=60 cm2.求六边形 ABCDEF 的面积.(提示:设EF、DC分别交直线AB于P、Q,过点E作DC的平行线交AB于点M.所求面积与 EM Q D面积相等.答:120 cm2)4.AD为RtAABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连BP并延长交AC于E
14、.已知AC:AB=k.求 AE:EC.(提示:过点A作BC的平行线交BE延长线于点F.设BC=1,有AD=k,DC=k2.1)21 k5.AB为半圆直径,C为半圆上一点,CD1AB于D,E为DB上一点,过D作CE的垂线交CB于F.求证:ADCF=.DEF Blalb(提示:过点F作AB的平行线交CE于点H.H为4CDF的垂心.)6.在aABC中,N A:N B:N C=4:2:1,N A、ZB N C 的对边分别为 a、b、c.+=1.c(提示:在BC上取一点D,使AD=AB.分别过点B、C作AD的平行线交直线CA、BA于点E、F.)7.分别以AABC的边AC和BC为一边在4ABC外作正方形A
15、CDE和CBF G,点P是EF的中点.求证:P点到边AB的距离是AB的一半.8.4ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线 DA、DE 于点 H、G.求证:F H=HG.(提示:过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点M、N.)9.AD为。0的直径,PD为。的切线,PCB为。的割线,PO分别交AB、AC于点M、N.求 证:OM=ON.(提示:过点C作PM的平行线分别交AB、AD于点E、P.过。作BP的垂线,G为垂足.ABGF.)第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关 性质找到解题途径
16、.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅 助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆A例1如图1,在4ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且N BED=2N CED=EN A.求证:BD=2CD.分析:关键是寻求N BED=2N CED与结论的联系.B容易想到作N BED的平分线,但因BEWED,故不能F直接证出BD=2CD.若延长AD交4ABC 的外接圆图1于F,则可得EB=EF,从而获取.证明:如图1,延
17、长AD与AABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则N BF A=N BCA=N ABC=N AF C,即 N BF D=N CF D.故 BF:CF=BD:DC.又N BEF=ZBAC,N BF E=ZBCA,从而N F BE=N ABC=N ACB=ZBF E.故 EB=EF.作N BEF的平分线交BF于G,则BG=GF.因N GEF=1N BEF=N CEF,N GF E=N CF E,故F EGF EC.从而 GF=F C.2 于是,BF=2CF.故 BD=2CD.1.2 利用四点共圆CB例2凸四边形ABCD中,N ABC=60,/BAD=DN BCD=90 ,AB=2,CD=1,对
18、角线 AC、BD 交于点 0,如图 2.则 sinN A0 B=.分析:由N BAD=N BCD=90 可知A、B、C、D P四点共圆,欲求sinN AOB,联想到托勒密 定理,只须求出BC、AD图2即可.解:因 N BAD=N BCD=90 ,故 A、B、C、D 四点共圆.延长 BA、CD 交于 P,则N ADP=N ABC=60.设 AD=x,有 AP=x,DP=2x.由割线定理得(2+3x)3x=2x(l+2x).解得 AD=x=2-2,BC=1BP=4-.2由托勒密定理有BD CA=(43)(22)+2X1=10 12.又 SABCD=S4ABD+S4BCD=3.2故 sinN A0
19、B=15 6.26A 例 3 已知:如图 3,AB=BC=CA=AD,AH1CD 于 H,CP1BC,CP 交 AH 于 P.求证:ABC的面积S=APBD.4分析:因 S4ABC=BD 图 3H32BC=AC BC,只 44须证ACBC=APBD,转化为证APCsaBCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为BD与 AH交点).证明:记BD与AH交于点Q,则由AC=AD,AH1CD得N ACQ=ZADQ.又 AB=AD,故N ADQ=N ABQ.从而,N ABQ=N ACQ.可知A、B、C、Q四点共圆.N APC=90 +N PCH=ZBCD,N CBQ=ZCAQ,AAAPCABCD.AAC
20、 BC=AP BD.于是,S=33AC BC=AP BD.442构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此 时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4如图4,四边形ABCD中,ABCD,AD=DC AB=DB=p,BC=q.求对角线AC的长.E分析:由“AD=DC=DB=p”可知A、B、C在CD半径为p的。D上.利用圆的性质即可找 到AC与P、q的关系.图4解:延长CD交半径为p的。D于E点,连结AE.显然A、B、C在。D上.VAB/7CD,=从而,BC=AE=q.在4
21、ACE 在 ZCAE=90 ,CE=2p,AE=q,故22 AC=CE AE=4p q.222.2 联想直径的性质构造辅助圆例5已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于B、C两点,点D平分BC.若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且N BAC为锐角,则AD的取值范围是.分析:由“N BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外,又点A在x轴上侧,从而 可确定动点A的范围,进而确定AD的取值范围.解:如图5,所给抛物线的顶点为AO(1,9),对称轴为x=l,与x轴交于两点B(2,0)、C(4,0).分别以BC、DA为直径作。D、OE,则两圆与抛物线均交于两点P(l 22,1)、Q(l+22,
22、1).图5可知,点A在不含端点的抛物线PA0 Q内时,N BACV90。.且有 3=DP=DQ VADWDA0=9,即AD的取值范围是3VADW9.2.3 联想圆嘉定理构造辅助圆例6 AD是RtAABC斜边BC上的高,ZB的平行线交AD于M,交AC于N.求证:AB2AN 2=BM BN.分析:因AB2AN 2=(AB+AN)(AB-AN)=BMBN,而由题设易知AM=AN,联想割线定理,构 造辅助圆即可证得结论.证明:如图6,EVZ2+Z3=Z4+Z5=90 ,又N 3=N 4,N 1=N 5,A,N l=N 2.从而,AM=AN.NF以AM长为半径作。A,交AB于F,交BA的延长线于E.则A
23、E=AF=AN.DB由割线定理有 图6BM BN=BF BE=(AB+AE)(AB-AF)=(AB+AN)(AB-AN)=AB2-AN 2,即 AB2-AN 2=BM BN.例7如图7,ABCD是。0的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延 长AD和BC相交于F,EP和F Q分另I J切。于P、Q.求证:EP2+F Q 2=EF 2.分析:因EP和F Q是。的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、F Q向EF转 化.证明:如图7,作4BCE的外接圆交EF于G,连 结CG.因N F DC=N ABC=N CGE,故F、D、C、G四点共圆.由切割线定理,有EF 2
24、=(EG+GF)EF=EG EF+GF EF=EC ED+F C F B=EC ED+F C F B=EP2+F Q 2,即 EP2+F Q 2=EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆A例8如图8,AABC与AA B AcbbC的三边分别为a、b、c与a、b、c,且N B=N B,N A+N A CB(1)=180 .试证:aa=bb+cc.(2)图 8 分析:因N B=N B,N A+N A=180 ,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明:作AABC的外接圆,过C作CDAB交圆于D,连结AD和BD,如图9所示.,.,N A+ZAZ=180=ZA+ZD,A N BCD=N
25、 B=N B,,c A ZAZ=N D,N B=N BCD.C.A B C CD,K,M 分别在 AD,BC,ZDAM=ZCBK.求证:ZDM A=ZCKB.CD(第二届祖冲之杯初中竞赛)KAM B分析:易知A,B,M,K四点共圆.连接KM,有N DAB=N CM K.YN DAB+N ADC=180,/.ZCM K+ZKDC=180 .故 C,D,K,M 四点共圆 ZCM D=ZDKC.但已证 N AM B=N BKA,N DM A=N CKB.A(2)证线垂直例4.。过AABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N(K与N不同).AABC外接圆和BKN外接圆相交于B和BM.求证:ZBM 0=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 注意 添加 平行线
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【曲****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【曲****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。