高考数学一轮复习 新课标版 文科 选修4系列.pdf
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1、选考部分选修4系列课内导航OOOO9999OOOO课前自助餐授人以渔选修4孑坐标系与参数方程 第1课时坐标系复习要求1.理解极坐标的概念,能进行极坐标和直角坐标的互化2能在 极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.课前自助餐【回归教材】1极坐标系在平面内取一个定点0,叫做 极点:自极点0引一条射线Ox,叫做极轴:再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向),就建立了极坐标系.点的极坐标设M是平面内一点,极点。与点M的距离10M叫做点M的极径,记为p;以极轴。尤为始边,射线为终边的角九0M叫做点M的极角,记为夕有序数 对S,。)叫做点”的极
2、坐标,记为MS,。)一般地,不作特殊说明时,我们 认为。可取任意实数.闻 极坐标与直角坐标的互化在平面直角坐标系九Oy中,以。为极点,九轴的正半轴为极轴,取相同的长 度单位,建立极坐标系.设点尸的直角坐标为(%,y),它的极坐标为。),则 X=OCOS-,p2=N+y2相互转化公式为L=1一 一 sin”_,_.常用简单曲线的极坐标方程曲线形状(特征)极坐标方程过极点且与极轴成。角的直线0=a(pR)过(,0)(0)且垂直于极轴的直线pc o s 9=4过,,2)且平行于极轴的直线psin。=b过So,册)且与极轴成。角的直线/?sin(a_0)=p()sin(x一优)圆心在极点,半径为r的圆
3、P=r圆心在(,0)(0),半径为的圆=2c o s/JI圆心在a,/(0),半径为的圆=2sin 8圆心在So,o),半径为r的圆p12/o 夕 c o s(9。0)+P qr20闻求曲线的极坐标方程的基本步骤第步.建立适当的极坐标系.第二步:在曲线上任取一点尸S,夕);第三步:根据曲线上的点所满足的条件写出等式:第四步:用极坐标2,e表示上述等式,并化简得极坐标方程第五步:验证所得的方程是曲线的极坐标方程.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“或X”).(1)点尸在曲线C上,则点尸的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.(2)t an 0=1与。=彳表不同一条曲线.3兀(3)点P的直角坐标
4、为(一地,a/2),那么它的极坐标为(2,丁).(4)过极点且倾斜角为a的直线的极坐标方程可表示为e=a(pR)或。=冗+a(pR)(5)圆心在极轴上的点(m 0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为=2sin W答案(1)X(2)X(3)V(4)V(5)X3 ji2.(课本习题改编)将极坐标2,亏化为直角坐标为(B)I 乙)A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)3兀 3兀解析 x=pc o s d=2c o s_=0,ypsin 9=2sin 2,故选 B.3.在极坐标系中,圆/、jiA.1,2JC.(1,0)2sin8的圆心的极坐标是(B)兀B.1,一7I 乙)D.(1,
5、兀)解析 方法一:由=-2sin,得/=2/sin。,化成直角坐标方程为f+y2=-2yf化成标准方程为2+(y+i)2=i,圆心坐标为(0,-1),其对应的极 坐标为1,I 2)、3T JT 方法一:由=-2sin 9=2c o s 0+,知圆心的极坐标为1,故 选B.JI4.在极坐标系中,过点2,才且与极轴平行的直线方程是(d)JTA.P=0 B.9C.夕 c o s。=2 D.夕 sin 9=2/、ji解析 极坐标为2,丁的点的直角坐标为(0,2),过该点且与极轴平行的直 乙)线的方程为y=2,其极坐标方程为sin 0=2,故选D.5.在极坐标系中,曲线G:=2与曲线Q:p=4sin 5
6、兀)极坐标是。6).3T。(了 0叮)交点的解析 由题意分析可得,曲线G是圆心为(0,0),半径为2的圆,曲线G的方程为d+,=4.对=4sin。变形得2=42sin所以曲线。2的方程为d+y 2=4y.联立两个方程,解得=或=JI L 1又。兀,交点为(一3,1),转化为极坐标夕=2,t an。=二,5 ji则夕=/,所以交点的极坐标为,授人以渔题型一 极坐标方程与直角坐标方程的互化例1直角坐标方程与极坐标方程互化.(l)/=4x;(2)/+?-2%-1=0;兀 9 9(3)。=丁S 金 2;(4)pc o s2y=1;9 1(5)c o s 2 9=4;(6)p=2_c o s g.【解析
7、】将九=c o s 9,y=psin夕代入,=4%,得(psin。y=42c o s夕.化简得 psin26=4c o s 9.(2)将九=/c o s 0,y=psin。代入2+工2一2%一1=0,得(/11)2+(pc o s)22pc o s 1=0,化简得2-2,c o s 1=0.(3)当尤W0时,由于t an夕=,故t anw=y,化简得、=小工(尤0);JC J JCL 兀,当尤=0时,y=0.显然(0,0)在丁=1%上,故9=7(pR)的直角坐标方程(4)因为Co s24=l,所以.1+c;-=1,即+COS。=2,所以小十打 乙 乙+尤=2,化简得2=4(尤一1).(5)因为
8、p2c o s 2 9=4,所以 p2c o s2 9 p2sin2 夕=4,即 x2y2=4.(6)因为p=2_;oJe,所以22一c o s。=1,因此2炉工了一%=1,化简得 3f+4y 22x1=0.【答案】(l)psin2 9=4c o s 6(2)p22pc o s 9 1=0(3)y=5x(4)/=-4(x-l)(5)x2-y2=4(6)32+4产2x1=0状元笔记直角坐标方程与极坐标方程互化的方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式%=pc o s。及y=psin。直接 代入并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如。c o s%o sin的形式,
9、进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方 是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变 形过程的检验.,送用考题15兀2,MJ;若点p的直角坐标为(1,一,),则点p的极坐标为(2)若点尸的极坐标为3,z,则点尸的直角坐标为2,2);【解析】由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标,所以它们之间可以互化,则x=pc o s 9,.A 或i y=psm 0pt an 9=(x WO).x尤=1,尸一小,r-5以故=2,t an J=一弋3,夕=.故极坐标为2,ji(2)p=3,9=X,故尤=c o s 9=y=sin 9=-2.从而点尸的直角坐标为殍,一早
10、5以)3/2,JI I 91 31 31判断点A 2,五,3 3,丁,C2,7是否在直线9=zSR)上;JI(4)求直线9=tSR)和p=2的交点的极坐标.-J【解析】(3)方法一:点a和点。的极坐标都满足方程所以(、itA,。两点都在直线上.点5的极坐标不满足方程,但点3与3,五表示同一个点,所以点5也在直线上.方法二:三个点的直角坐标分别为4啦,豆),B邛,),c(T,-L JI柩,直线9=X SR)的直角坐标方程为y=心 显然三点都在直线上.JI JI(4)方法一:显然0,j是一个交点,由于圆2=2和直线e=w SR)都关(5于极点对称,所以另一个交点是2,JI方法二:直线9=aSR)的
11、直角坐标方程为y=x,圆p=2的直角坐标方程为d+y 2=%解得交点的直角坐标为A(啦,a/2),B(a/2,一啦),化为极坐标是A2,彳,B2,.今J I 今JJl S j(【答案】在(4)2,7,2,才题型二 直线、圆的极坐标方程(、JI例2 圆心。的极坐标为2,1,且圆。经过极点.求圆。的极坐标方程;(2)求过圆心。和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.【解析】(1)圆心C的直角坐标为(g,a/2),则设圆C的直角坐标方程为(%也y+(y啦依题意可知/=(o啦y+(o也)2=%故圆。的直角 坐标方程为(九一地y+(y啦)2=4.即f+y 2 2、&九+y)=0,化为极坐标方程为
12、p22也夕(sin 9+c o s。)=0,即2=2g(sin 9+c o s。).(2)在圆。的直角坐标方程f+,一2&(x+y)=0中,令y=0,得f25=0,解得尤=0或2啦.于是得到圆。与九轴的交点坐标为(0,0),(22,0),由 题意知直线过圆心C(啦,啦)和点(2啦,0),则该直线的直角坐标方程为y-0、叵一o=啦_2%2啦),即+厂2g=0.化为极坐标方程得c o s 9+sin。2a/2=0.【答案】(1)a=2g(sin 9+c o s。)(2)pc o s d+psin 9 2 g=0状元笔记欲求极坐标方程,一般先求直角坐标方程,再利用 x=pcos 9,y=psin d
13、 转化为极坐标方程即可.优思考题2(1)已知曲线的极坐标方程分别为G:=10,。2:psin e-1化G,G的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线的形状;求G,G交点间的距离.【解析】由G:)=10,得”=100,所以G的直角坐标方程为2+)2=100.所以C1为圆心在(0,0),半径等于10的圆.由 C2:psin=6,得所以。2的直角坐标方程为 厂5=12,即g xy+12=0.所以。2表示直线.由于圆心(0,0)到直线4xy+12=0的距离为d=/石、八2=610,所以直线。2被圆截得的弦长等于2.心62=16.【答案】G:f+/=100,表示圆心在(0,0),半径等于10的圆;C2
14、:f3x-y+12=0,表示直线16(2)(2022.贵州遵义第一次模拟)如图是美丽的三叶草图案,在以。为极点,0%轴为极轴的极坐标系中,它由弧弧MN,弧组成.已知它们分别是ji ji方程为=4sin3+j ),P=4sin yI,0=4sin。的圆的一部分.分别写出点H,M,N的极坐标;设点尸是由点H,M,N所确定的圆。上的动点,直线/:求点尸到/的距离的最大值.解析】本题考查极坐标的概念、/cJI0=4sin 0+(*),P=4sin 9P=4sin 夕(*).联立(*)(*)得 sin 0+-y=sin。,极坐标方程、极坐标的运算.Ji)ji 5 n 11 nr 5则e+可=2%兀一ak
15、b,又。引0,2兀),故或一.当时,5 oo o5 n*11 ji 11 jiP 4sin a=-2 OA OB sin ZAOB=2 P sin(-0)=2cos 9 乙 乙 J3sinCy-9)|=|c o s(2e+-)+|,二当 0=3TJI以时,AOB的面积的最大值为1 JL乙a 十2.1 3 7 3【答案】(1)(1,1),(亍 p(2)1+2进思考题3(2021.华大新高考联盟4月)直角坐标系xOy中,直线/的方程 是九.以。为极点,九轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线。的极坐标方程 是p2c o s2 9+54 Pc o s d-psin d+3=0.(1)求直线/的极坐标方程和
16、曲线C的直角坐标方程;(2)求直线/被曲线。截得的线段长.【解析】将九=COS d,y=psin。代入直线方程尸/尤,得t an 9=ji所以直线I的极坐标方程是9=tSR)将 pc o s e=x,夕 sin。=y 代入22c o s之。+5由夕c o s。一夕sin 9+3=0,得f+53%一y+3=0,所以曲线C的直角坐标方程为y=d+5x+3.(2)设直线/和曲线。两交点的极坐标分别为Si,%)和52,。2).夕2c o s之夕+5小pc o s 9 psin 夕+3=0,由方程组 3i 得,2+8小夕+12=0.9=二-4=(8行)24X 12=144,Qi+p2=83,夕i Q2=
17、12.,1。1P2l=1(P1+P2)2仙。2=(8小)24X 12=12.所以直线/被曲线。截得的线段长为12.【答案】(1)/:9=;SR),C:y=x+5y3x+3(2)12本课总结关于极坐标系:(1)极坐标系的四要素:极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正 方向,四者缺一不可.(2)由极径的意义知220,当极角9的取值范围是0,2兀)时,平面上的点(除 去极点)与极坐标S,e)sw o)建立一一对应关系,规定极点的极坐标是极径2=0,极角可取任意角.(3)极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.请做:题组层级快练(六十五)衡水重点中学支谢谢观看-高考调研课内导航。O O OO回课前自助餐
18、叵I授人以渔 画课外阅读第孤时参数方程复习要求1.了解参数方程,了解参数的意义2能选择适当的参数写出直 线、圆和圆锥曲线的参数方程.课前自助餐【回归教材】1参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线。上任意一点尸的坐标九和y都可x=f(力,以表示为某个变数t的函数,、并且对于t的每个允许值,由方程组 lr=g(力,X=f(力,x=f(t),所确定的点P(x,y)都在曲线。上,那么方程 叫做曲线。L y=g(力 L y=g(力的参数方程,变数才是参数.独圆锥曲线的参数方程,0 xa-rcos,(0为参数)(1)圆心为(,b),半径为一的圆的参数方程为上竺一_2 2 J%=COS,、,(2
19、)椭圆方+5=13泌0)的参数方程为 ik加in。(。为参数),2 2(3)双曲线7沙=1(。,b0)的参数方程为,a尤一c o s夕(。为参数).y=/?t an 9(4)抛物线k=2须0)的参数方程为x=2p?,20 为参如3直线的参数方程1 c o s a_,过点Mo(x(),%),倾斜角为。的直线/的参数方程为_ Q了 一/0 十 I_sm_为参数),其中,表示直线上以定点Mo为起点,任意一点M(%,y)为终点的有向 线段4赢的 数量,当介0时,“向的方向向上;当”0时,M向的方向向下;当/=0时,点M与点M)重合.根据直线的参数方程的标准式中1的几何意义,有如下常用结论:过定点M)的
20、直线与圆锥曲线相交,交点为Ml,Mz,其对应的参数分别为人,弦长lt 一切;M)是弦m.m2的中点=九十%2=0;=|介引.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“J”或 X”).(1)参数方程一;+1)表示的曲线为直线.x=c o s。+加,(2)参数方程,0 当加为参数时表示直线,当。为参数时表示的曲线为圆.j=sm u m,x=12/c o s 30,(3)直线 1.1no。为参数)的倾斜角。为150。.y=l 十/sin 150参数方程一:卜为参数且国。,事表示的曲线为椭圆.y=5sin,I答案(1)X(2)V(3)V(4)X2.若曲线。的参数方程为x=l+c o s 2 0,y=s
21、in2 d(。为参数),则曲线。上的点的轨迹是(D)A.直线尤+2y2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(1)2+,=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析 将曲线的参数方程化为普通方程得尤+2y2=0(0&W2,OWy Wl).x=xc-atj3.已知直线,。为参数)上两点A,5对应的参数分别是公办 y=yorbt则|A5|等于(C)A.比+知C.6Z2+/?2|/i MB.比一切比一引W+7解析 依题意,A(Xo+m,/o+初1),3(%()+口2,为+初2),则|AB|=1尤()+/1-(心+/2)f+Uo+方均一(y o+b2)2=2+Z?午 1友|.x=1+3%,4.(2
22、019北京,理)已知直线/的参数方程为“为参数),则点(1,y=2 十 4/0)到直线/的距离是(D)A.1 B.|一4C.D.彳解析 由题意,得直线/的普通方程为4%3y+2=0,则点(1,0)到直线4x,|4X 1-3X O+2|6“小-3y+2=0 的距曷 d=+13)2=5.故选 D.X=-1+-/,5.(2018 天津,理)已知圆d+y 2 2%=0的圆心为C,直线4 r-|尸3等1(/为参数)与该圆相交于4 5两点,则A5C的面积为二_.解析直线的普通方程为X+y2=0,圆的标准方程为(%l)2+y 2=i,圆 心为。(1,0),半径为1,点。到直线+y2=0的距离4=吐/2=*,
23、所 以|AB|=2J1 42=地,所以&abc=XgX授人以渔题型一参数方程化为普通方程例1把下列参数方程化为普通方程.。为参数);x=sin 0,一(2)2月。为参数,。0,2叮).y=c o s【解析】由题意知f=t,=l-t=l-x而 后0,01-1,得0 x l,0Wy W2,,普通方程为 d+:=l(OWx Wl,0y 2).(2)*.*sin2+c o s2。=1,,d+y=l,即 y=ld.又.|sin蚱1,,其普通方程为y=l-xxl).【答案】(1)/+;=1(X W1,0Wy W2)(2)尸 1d(g)状元笔记将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其
24、中 的X,y(它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普 通方程与参数方程的等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后加减消元、整体消元等.蔡思考题1下列参数方程与方程/F表示同一曲线的是(d)x=t,x=sin2KB.y=sm t1c o s I tD.0,设A,3对应的参数分别为切5则6+/2=7,2=7 AB=ti 一切=,(%1+/2)2 4%1%2=.P点的直角坐标为(一2,2),线段A3的中点对应的参数为“,由看的几何意义,可知点尸到线段A5的中点的距离为坐=苧【答案】粤“当(2022.定西模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数
25、方程为x=l+3c o s 9,b=3sin 9(夕为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐/JI标系,直线/过极坐标系内的两点A 2吸,1和33,JI2写出曲线。的普通方程和直线I的参数方程;设直线/与曲线。交于尸,。两点,求|8尸|50|.【解析】曲线。的普通方程为(x1)2+产=9,VA(2,2),B(0,3),.,直线/的斜率为一J,方程为y=:%+3.直线的参数方程为 71 为参数).尸3+E易知点p在直线I上,将直线I的参数方程与曲线C的方程(X1)2+=9 联立,得/+24/+1=0,因为40,设方程的两个根分别为小协所以田尸|田。|=|”2尸1.2【答案】c(x-1
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