线性代数-向量组的线性相关性习题课.pdf
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1、可观薛件线性代数向量组线性相关性习题讲解可我薛件第四章向量组的线性相关性一、要点复习二、作业讲解三、典型例题介绍可我薛件线性表示一、哭点复习 一个向量可由一组向量线性表示 一组向量可由另一组向量线性表示、两组向量可相互线性表示(等价)向量组的线性相关性 八1线性无关可我薛件向量组的极大线性无关组向量组的秩齐次线性方程组线性方程组解的结构YI非齐次线性方程组 基础解系线性方程组的解的各种情形的判断 利用基础解系表示线性方程组的通解可我薛件1.向量的基本定义和运算定义:由个数为出,M组成的有序数组称沏维向量记为“=(%,2,,耳)或 a=“=夕=(4也,也),keR“+/=(%+配在+优,氏+)负
2、向量 G=(一/,一出,一 J /=+(fi)=(%-4,2-8,氏一)=(左,左,kan)o可观薛件2.线性表示定义:设维向副,4,如果存在一组巍J左2,人,使 p=kg+k2a2+ksas,则称向邺可由向量组,砥线性表示。定义:设维向量组4:%,“2,B:储邛2,,邛若5中每个向量都可由向量 组/线性表示,则称向量郅可由向量组4线性表示。若向量组4与向量超可相互线性表示,则说这两个向量组等价。判断向郢可否由向量组内,%,4线性表示的方法:矩阵4=(册。2,a声矩阵a=(“7,”2,,%/)的秩是否相等。将向量按列组成矩的7,的/,&*)用初等行变换化为行阶梯形,(1)若R(A)wR(5),
3、贝1以不可由向量组Z/,电,,4线性表示。(2)若R G4)=R(5),贝B可由向量组外,电,,鬼线性表示。同时可用一个相应线性方程组求出表次口可观薛件3.线性相关、线性无关定义:对于维向量组”1,。2,一,4,如果存在一组不全关零的数3左2,,左使ka +k2a 2+,+ks(x,s=0,则称向量组Z,“2,s线性相关;否则,称向量组小的,4线性无关(即只薇=左2=七=0才能使得上式成立)判断维向量组即%,4线性相关性的方法:1、比较矩阵4=(即“2,a)秩与向量个麴。求出(,的,4)的秩,(1)若ys,则向量组的,。2,a线性相关。(2)若人=,则向量组Z,的,a线性无关。可观薛件2、当s
4、=时,矩阵4日.即必握方阵,可用4的行列式进行判断,(1)若m=0,则向量组力,以2,小线性相关。(此时R(/)S)若|/卜0,则向量组Z,%,Ms线性无关。(此时?(/)=s)3、当SH时,向量组7,。2,“S线性相关。(此时A(/)K0 0 10 0-2 0所以,P +电+2%2a4.1 10 11110;3 (110-1:5-0-1;-6)10-1:51;-9,所以,6=一11%+14“2+9%.可我薛件4郑=(7,-2,初,%=(2,3,5),2=(3,7,8),%=(1,-6,1),,问“为何值时,可经久,电,小 线性表示?为何值时,/不能经久,%,%线性表示?解,23A378161
5、7、-2a,31-21-361-3 07、5a 15,,20”2=5(夕2+夕3“3=5(4+63)。(A 5 P1,人)=(1,2”3)11111-P1,11(“1,的,/3)=邛2邛)-1I111-1Y11二(01邛 2 邛 3)ON)y 1-20 1-1 2 O 1-2 1-1 2 1-21-2 O6,判断下列向量组的线性相关性:(1)%=(0,2,2)7,%=(2,0,2)。%=(2,2,0尸%=(3-5厂2,1)。的=。,1,0,-5)。%=(T,3J3尸0 2 2解 2 0 2=16。0,所以,向量组线性无关.2 2 031-1A 15-21 3-50 1-21-5-3J 1351
6、01-3、1-5-3、1-530-24-120 210-10-50 0-b(0 16 8,、0 0-3、10向量组线性信。R=23,所以,可我薛件7,问取何值时向量组以 1 以2=(1,-1,1,-1),,“3=(1,2,4,8)1以4=(1必。2,43y线性无关解1 1 11-1 21 1 41-1 81a a1 a36(+1)(一 l)(a 2),所以,当a w w 1且a w 2时,向量组线性无关。可我薛件8,已知名=(1,2,3)二“2=(3,-1,2)二“3=(2,3)。问X取何值时,%,电,“3线性相关,并把“3表示为”1,a2的线性组合解2=5时,所以,向量组线性相关C11 1=
7、a、+,“2。可我薛件9.已知向量组线性无关,证明:向量组”+线性无关.证明 设有一组数3七使得 h(+)+k2(a-fl)=0,即(%+左2)+(左一左2)/=,由向量组见夕线性无关可知 6+左2=0,左-左2=。,则 h=0,4 2=。,故向量组a+p,a-1线性无关o可我薛件10.已知向量组a,一,7线性无关,证明:向量组6+4+26-37线性无关.证明 设有一组数3左2,左3使得 kxa+左2(+A)+左3(a+2A 3 7)=0,即(k+左2+后3)+(后2+2 左3)A 3k37=0,由向量组a1,7线性无关可知 左1+左2+左3=0,左2+2左3=0厂3左3=0,贝 ij k=0
8、,左2=。,后3=故向量组/以+4。+2a-37线性无关。可我薛件例3已知向量组线性无关,4=%+。2,力2=%+%也=%+4,试证4也也线性无关证设有占户2户3使x+x2b2+x3b3=0即 巧(%+%)+x2(a2+cif3)+x3(a3+%)=0,亦即(占 十 七)%+(巧+x2)a2+(x2+x3)a3=0,因%,av%线性无关,故有2 03 J I。-2、70所以,向量组的撷=2,111J1 21 20 10 1-30q0)010-1010一个极大线性无关组为M2。向量组的槛=3,一个极大线性无关组为19254可我薛件12,设向量组,=(1,1,1,3尸,%=(-1,-3,5,1尸,
9、%二(32Lp+2),%=(-2,-6,10,夕尸(1)当口为何值时,该向量组缆生无关?(2)当夕为何值时,该向量组线生相关?此时,求出锁秩和一个极大线性寐组。解2、-2、-2、(-310-212-2-713131311521600614014400010412+2P 7P)P+6J100P-2)所以,当夕。2时,该向量组线性无关(2)当夕=2时,该向量组线性相关秩为灭=3,一个极大线性无关组为aJa2,以3。设,见是一k个几维向量组,已知2维单位向量绷,*2,,J能由,怎线性表示,证明:囚,”2,线性无关解 由于任f 维向量都可西维单位向量继“J,,:线性表示,故向量组内,“2,,。可由g四
10、,述线性表示;又已知1述2,述能由“1必2,凡线性表示,故向量组,电,,%与向量组1/2,为等价。而维单位向量组句,J,J线性无关,故尺(外,”2,,%)=&(G泮2,:邑)=,从而四,“2,线性无关。可我薛件14.设是小x矩阵,且形,证明:力,力=0.证明 NZ是 x 矩阵,而取力,)rrrin7?(y4r),7?(y4)mn,所以4Z=Q.求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并用基础解系 表示方程组的通解:+3x2-4x3+2x4=0,(1)xx-x2+2x3+x4=0,解 a系数矩卜韧=1+%=0;3-4 2、-1 2 1-1 0 1?3匹+5x2+6%-4x4=0,匹+2x2+4x3-
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