中考数学几何综合压轴题汇编(解析卷).pdf
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1、中考数学几何综合压轴题汇编一.解答题(共18小题)1.如图,四边形 ABCD 内接于。O,AB=17,CD=10,ZA=90,cosB*,求 AD 的长.52.如图,在四边形ABCD中,BC=CD,NC=2 NBAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求 证:(1)ZBOD=ZC;(2)四边形OBCD是菱形.31DC3.如图,AB是。O的直径,AC是。O的切线,切点为A,BC交。O于点D,点E是AC的中点.(1)试判断直线DE与。O的位置关系,并说明理由;(2)若。的半径为2,ZB=50,AC=4.8,求图中阴影部分的面积.4.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交
2、于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分NBCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.25.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AFLDE,垂足为F,OO 经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:AFGsa DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求。的半径.6.如图,矩形ABCD中,AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转。(0090,ZA=60,则NB=15。;(2)如图,在RtZXABC中,ZACB=90,AC=4,BC=5.若AD是NBAC的平分线,不难证 明4ABD是“准互余三角形”.试问
3、在边BC上是否存在点E(异于点D),使得4ABE也是“准 互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.(3)如图,在四边形 ABCD 中,AB=7,CD=12,BDCD,ZABD=2ZBCD,且AABC 是“准 互余三角形”,求对角线AC的长.511.如图,在以线段AB为直径的。上取一点C,连接AC、BC.将a ABC沿AB翻折后得到ABD.(1)试说明点D在。上;(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2二ACAE.求证:BE为。的切线;(3)在(2)的条件下,分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.12.如图,在a ABC中,AB=AC,A
4、O_LBC于点O,OE_LAB于点E,以点O为圆心,OE为 半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:AC是。O的切线;(2)若点F是A的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.613.结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答.题目:如图,Rta ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求4ABC的面积.解:设AABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.根据切线长定理,得 AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整
5、理,得 x2+7x=12.所以S四bc=1aCBC茎(x+3)(x+4)(x2+7x+12)2=i-X(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3义4,即AABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:ZkABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若NC=90。,求证:AABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若 ACBC=2mn,求证NC=90。.改变一下条件(3)若NC=60。,用m、n表示AABC的面积.714.【发现】如图,已知等边ABC,将直角三角板的60。角顶点D任意放在BC边上(点D 不与点B、C重合),使两边分别交
6、线段AB、AC于点E、F.(1)若 AB=6,AE=4,BD=2,则 CF=4;(2)求证:AEBDADCF.【思考】若将图中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图所示,问:点D是否存在某一位置,使ED平分NBEF且FD平分N CFE?若存在,求出罂的值;若不存在,请说明理由.【探索】如图,在等腰AABC中,AB=AC,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个 顶点放在点O处(其中NMON=NB),使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与 ABC的顶点重合),连接EF.设NB=a,则AEF与4ABC的周长之比为1-cosa(
7、用 含a的表达式表示).815.问题呈现如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求ta nN CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中N CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MNEC,则NDNM=NCPN,连接DM,那么NCPN就变换到RtZXDMN中.问题解决(1)直接写出图1中ta nZCPN的值为2;(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cosNCPN的值;思维拓展(3)如图 3,ABBC,AB=4BC,点
8、 M 在 AB 上,且 AM=BC,延长 CB 到 N,使 BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求NCPN的度数.916.对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图)(1)根据以上操作和发现,求舄的值;(2)将该矩形纸片展开.如图,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求 证:ZHPC=90;不借助工具,利用图探索一种新的折叠方法,找出与图中位置相同的P点,要求只有一条 折痕,且点P在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由)D17.如图,在
9、边长为1的正方形ABCD中,动点E、F分别在边AB、CD,将正方形ABCD 沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合),点C落在 点N处,MN与CD交于点P,设BE=x.(1)当Am时,求x的值;(2)随着点M在边AD上位置的变化,PDM的周长是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值;(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.18.在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.4ABC是边长为2的等边三角形,E是 AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.图1 图2(1)如图1,当点E在线段
10、AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,请你 找出来,并证明.(2)当点E在线段上运动时,点F也随着运动,若四边形ABFC的面积为看如,求AE的长.(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时,CF、BE相交于点D,请你探求4ECD的面积S1与4DBF的面积S2之间的数量关系.并说明理由.(4)如图2,当4ECD的面积5率时,求AE的长.1 612中考数学几何综合压轴题汇编 参考答案与试题解析一.解答题(共18小题)1.如图,四边形 ABCD 内接于。O,AB=17,CD=10,ZA=90,cosB=1,求 AD 的长.解:四边形ABCD内接于(DO,ZA=90,.,.ZC=1
11、8 0-ZA=90,ZABC+ZADC=18 0.作 AELBC 于 E,DF_LAE 于 F,则 CDFE 是矩形,EF=CD=10.在 Rta AEB 中,V ZAEB=90,AB=17,cosZABC=,5RIBE-ABcos NABE=反,AE=Va2_Be2啜,.,.AF=AE-EF啜-10=y-.VZABC+ZADC=18 0,ZCDF=90,J ZABC+ZADF=90,VcosZABC=f-,5J sinZADF=cosZABC=.5在 Rta ADF 中,V ZAFD=90,sinZADF=|-,5B2.如图,在四边形ABCD中,BC=CD,NC=2 NB AD.O是四边形A
12、BCD内一点,且OA=OB=OD.求证:(1)ZBOD=ZC;(2)四边形OBCD是菱形.证明:(1)延长OA到E,VOA=OB,.,.ZABO=ZBAO,又 Z BOE=ZABO+ZBAO,J ZBOE=2ZBAO,同理 NDOE=2NDAO,Z.ZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(ZBAO+ZDAO)即 NBOD=2NBAD,又 NC=2NBAD,J ZBOD=ZC;(2)连接OC,VOB=OD,CB=CD,OC=OC,AAOBCAODC,.e.ZBOC=ZDOC,ZBCO=ZDCO,ZBOD=ZBOC+ZDOC,ZBCD=ZBCO+ZDCO,,ZBOC=yZBOD,ZBCO=
13、yZBCD,又 NBOD=NBCD,J ZBOC=ZBCO,.,.BO=BC,又OB=OD,BC=CD,.,.OB=BC=CD=DO,四边形OBCD是菱形.3.如图,AB是。的直径,AC是。的切线,切点为A,BC交。O于点D,点E是AC的中 点.(1)试判断直线DE与。O的位置关系,并说明理由;(2)若。的半径为2,ZB=50,AC=4.8,求图中阴影部分的面积.解:(1)直线DE与。O相切.理由如下:连接OE、OD,如图,AC是。O的切线,.AB_LAC,J ZOAC=90,点E是AC的中点,O点为AB的中点,OEBC,.Z1=ZB,Z2=Z3,VOB=OD,AZB=Z3,.-.Z1=Z2,
14、在AAOE和ADOE中 OA=ODQE 二 OE.,.AOEADOE,5.,.ZODE=ZOAE=90,AOAIAE,DE为。的切线;(2)点E是AC的中点,.AE=iAC=2.4,2 ZAOD=2ZB=2X50=100,2图中阴影部分的面积=2X 2 X 2.4-10=;2 _4.8-2 360 94.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分NBCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.解:(1)四边形ABCD是矩形,ABCD,ZFAE=ZCDE,E是AD的中点,.AE=DE,又,:ZFEA=Z
15、CED,.,.FAEACDE,,CD=FA,又:CDAF,四边形ACDF是平行四边形;(2)BC=2CD.16证明:TCF平分NBCD,.ZDCE=45,*.ZCDE=90,.CDE是等腰直角三角形,,CD=DE,E是AD的中点,Z.AD=2CD,VAD=BC,.,.BC=2CD.5.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF,DE,垂足为E OO 经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:ZAFGs4DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求。的半径.(1)证明:在正方形ABCD中,ZADC=90,.ZCDF+ZADF=90,V AFX DE,Z.ZA
16、FD=90,J ZDAF+ZADF=90,ZDAF=ZCDF,四边形GFCD是。O的内接四边形,.,.ZFCD+ZDGF=18 0,17 ZFGA+ZDGF=18 0,.ZFGA=ZFCD,.AFGADFC.(2)解:如图,连接CG.V ZEAD=ZAFD=90,ZEDA=ZADF,AAEDAAADF,.EA DA pnEA AF AF DF DA DFVAAFGADFC,.Ag_AF DC DF.也期 ,DC DA在正方形ABCD中,DA=DC,AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3,.*.CG=DG2+DCa=5,*.ZCDG=90,.CG是。O的直径,OO的半径为6.如图,矩形AB
17、CD中,AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转。(002解:(1)作AH_LAB于H,连接BD,BD),则四边形ADA】H是矩形.AD=HA1=n=l,在 Rta AHB 中,VBA=BA=m=2,.,.BA=2HA1,J ZABA=30,,旋转角为30。,BD=12-i-2 2-a/5,AD到点D.所经过路径的长度卫三退:名.1 180 6(2)VABCEABA2D2,.CE_A2g2_n*CB A2B m,2.CE=-EAi,需返,2.,.AC=/6,m _ 2 BH=AC 印 1rl2-n 2=V&-m194m2-n2=64y,ID.*.m4-m2n2=6n4,2 41n a
18、nm m:巫当-(负根已经舍弃).m 37.如图,AB为。的直径,C为。上一点,NABC的平分线交。O于点D,DEJ_BC于点E.(1)试判断DE与。O的位置关系,并说明理由;(2)过点D作DFJ_AB于点F,若BE=3/5,DF=3,求图中阴影部分的面积.解:(DDE与。O相切,理由:连接DO,VDO=BO,J ZODB=ZOBD,V ZABC的平分线交。O于点D,Z.ZEBD=ZDBO,Z.ZEBD=ZBDO,A DO/BE,VDE1BC,Z.ZDEB=ZEDO=90,DE与。O相切;(2)TNABC 的平分线交。O 丁点 D,DEBE,DFAB,Z.DE=DF=3,VBE=3/3,BD市
19、不可取=6,VsinZDBF=A,6 22)Z.ZDBA=30,.ZDOF=60,/.sin60-DO-DO,.,.DO=2V3,则 FO=V3,故图中阴影部分的面积为:6%产2/尺口一手8.如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延 长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AEBD是菱形;(2)若 DC=Vi,ta nZDCB=3,求菱形 AEBD 的面积.(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADCE,ZDAF=ZEBF,V ZAFD=ZEFB,AF=FB,.,.AFDABFE,.,.AD=EB,.ADEB,四边形AEBD是平行四边形,VBD=
20、AD,四边形AEBD是菱形.(2)解:四边形ABCD是平行四边形,.,.CD=AB=V10,ABCD,21.,.ZABE=ZDCB,ta n Z ABE=ta n Z DCB=3,四边形AEBD是菱形,.,.ABIDE,AF=FB,EF=DF,.,ta n/ABE 掘=3,BF7BF=Vio2.ef/运,2DE=3-/10,S菱瑕eb)T.ABDE总近53班括15.9.如图,AB、AC分别是。的直径和弦,ODJ_AC于点D.过点A作。的切线与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是。的切线;(2)若NABC=60。,AB=10,求线段 CF 的长.2VOD1AC,O
21、D经过圆心O,Z.AD=CD,.,.PA=PC,在AOAP和OCP中,0A=0C.,PA二PC,QP 二 OPAAOAPAOCP(SSS),ZOCP=ZOAP PA是半。O的切线,Z.ZOAP=90.J ZOCP=90,即 OCJ_PC PC是。o的切线.(2)VOB=OC,ZOBC=60,/.OBC是等边三角形,J ZCOB=60,VAB=10,.,.OC=5,由(1)知 NOCF=90,,CF=OCta nZCOB=5V3.10.如果三角形的两个内角a与p满足2a+B=90。,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形(1)若AABC 是“准互余三角形,ZC90,ZA=60,则NB=15。;(
22、2)如图,在RtZABC中,ZACB=90,AC=4,BC=5.若AD是NBAC的平分线,不难证 明4ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得4ABE也是“准 互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.(3)如图,在四边形 ABCD 中,AB=7,CD=12,BDCD,ZABD=2ZBCD,且a ABC 是“准 互余三角形”,求对角线AC的长.23解:(1);ABC 是“准互余三角形,ZC90,ZA=60,.,.2ZB+ZA=60,解得,ZB=15,故答案为:15。;(2)如图中,图在 Rta ABC 中,VZB+ZBAC=90,ZBAC=2ZB
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