川大版高数第三册答案.pdf
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1、第一章行列式1.1(23154)=1+1+0+1+0=3该数歹U为奇排列(2)毛(631254)=5+2+0+0+1+0=8该排歹U为偶排歹U(3)中(1)321=(1)+(2)+(3)+2+1+0=当=4加或=4加+1时,屯321为偶数,排列为偶排列当=4加+2或=4加+3时,寸(一1)321为奇数,排列为奇排列(其中加=0,1,2)(4)巾35.(2 1)246.(2叨=0+1+2+3+(聋-1)二的心当=4冽或=4加+1时,中35(2-1)246(2叨为偶数,排列为偶排列当=4加+2或=4加+3时,巾35(2 1)246(2叨为奇数,排列为奇排列(其中加二0,1,2)2.解:已知排列殖)
2、的逆序数为怎这个数按从大到小排列口寸逆序数为(-1)+(-2)+(-3)+2+1+0=迎心个.2设第滋H之后有个数比北小,则倒排后(的位置变为北_什1,其后XT个数比+1小,两者相加为-x故璋/一i;)=7)-4)3证明:.因为:对换改变排列的奇偶性,即一次变换后,奇排列改变为偶排列,偶排列改变为奇 排列.当n2时,将所有偶排列变为奇排列,将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相 等,即所有的情况不变。.偶排列与奇排列各占一半。4(1)q3a24。33。41不是行列式的项 44。23。34:是行列式的项因为它的列排排列逆序列Z二(4321)=3+2+0+0=5为奇数,应带负号(2)。51。42
3、。33。24%不是行列式的项 434 52a41。35a24=24 4 35a41。52因为它的列排排列逆序列C(34512)=2+2+2+0+0=6为偶数.应带正号。%1。23。32。445 解:an 电3。34 g1利用汇为正负数来做,一共六项,丁为正,则带正号,T为负则带负。14。23。31。42号来做。6 解:(1)因为它是左下三角形0 0.01 1“11 21。31 a41 an4 d 22 0 a22”32 042&“20 0/3。43 册331 32 33 ,0。0。44%4an3 ann0 0 0 0.am1/r(123)(-1)q22。33=(2)%a22a33a2。31%2
4、。3区4。240%5。250%产。22。32。42。23002400。2500+。22。32“230为1。42000000。51。52000a52%2(-1户;:=%回22(-1广。-%2%(-1);。=。a5 1 0 0 012 0 00313243421170-15(1)1+2+1+2-153二 321x000yy o x y 0 x 0 0 0 00 0 0 0 y o x y0 xx5+y5X y 000y0y(7)3+2Ox y0 Q x+y(_)2+3+l+20XyXXy0Xa an7.证明:=Imau 0 0.02 77a a22 0.0*将行列式转化为 若零元多于2 个时,21
5、 214)%凡2%anX 凡 20006100行列式可变为故可知行列式为0.08.1)册120-4-120-4-143-1043-10361-1=5361-1361-1=55940=53-1 312-11-2301-2301-230233123312331233124513-19 4-2 34=5 21133-121 0=6307 0第一章 高数3册9.(1).7=根+6.经过(X,必)(2,y2),斜率加=21二%X 一2y=左代入(王,%)X 一7=.玉+6=6=%.X 一 ,(%一%)再_%必一 马必芭-x2贝 W 二 z2iX-x2一町2一工2必.人十玉-x2Xy1又由i=oy21左边
6、=(必一2)%一歹(再一12)十(占歹2-、2%)=0=右边则y=Az2i.X+-“IX-x2问题特征:3b+cc+a1 0.(1)b+c,b+cc+ac+aa+ba+b,fl ffb+a利用性质(4)和(5).分成六个行列式相加 其余结合为零故原式=h b,b+c=2ab b,cc(性质2)ah b,bia bsi n2 a si n2 si n2 yco s2 a co s2 p co s2 yco s 2a cos 2/3 co s 271-co s2 a 1-co s2 p1-co s2 yco s2 a co s2 p co s2 yco s 2a co s 2/7 co s 27-
7、(2)列+(1)列2 co s2 a-l2 co s2 夕-12 co s2 7-Ico s2 a co s2/)co s2/co s 2a cos 2/3 co s 27co s 2a co s 2/7 co s 2/co s2 a co s2 P co s2 yco s 2aco s 2=0(性质(5)co s 2/4(3).0Xyz0 xyzxyzxyzX0zy|。)|列 xyz 1X0 xz2孙2yz0X&(3)列 x x z-(4)列 xxzyzxz-xyy田0 x2yzyX0zx2z0(4)列x孙xyz-xyzyz-xz-xy|0111011102 Zy2102 Z必12 Z0 x
8、212 Z01 1必x201x20bdaa+ba+b+ca1 1.(1)a+b+c+d2a+b3a+2b+c4q+3b+2c+d3a+ba10。+66+3c+,(1)列41)加到 (2)(4)列6a+3b+cabc dabcd0aa+ba+b+c(2)行.(-2)+(3)行0aa+ba+b+c02a3a+264q+36+2c(2)行3)+(4)行00a2a+b03a6a+3610。+66+3c003a6+36行(3)+(4)行-a4abcd0aa+ba+6+400a2a+b000a51 2 3 n-10 3 n(2)-1-2 0 n-1-2-3 02 60 3降阶 1x(-1).0 0 40
9、0 0X G2 13*X 2 Q23 ,(3)x x2 x3%x2 x3 11列M+(2)列-1(1)列 x-/)+()列1列 x(-2)+(2)列、1 0 0-12 6-10 3-1 0 0 ,x4xx/2=n死%”。23 a2n%3 砥%3 Z3 an-Xn:3 生一与GT”-01 2,n-2 n-1n(n+l)2u:2 33 41 2123n-1nn-1n0111 nn1将前行乘以-i加 n(n+l)0111-n1到后行得 2n-2n-l01-n1 111 11 1变为(口-1)阶=.1 1-n1-n 111-n1-n1将(2卜(n)列加、n(n+l)-1-11 1 11-n1-n1到列
10、上得)211-11 1111=-(-1)2(IL_ n(n+l)111 1 11-n1-n1-1X列加到(+1)1111 0 n-n02(2卜(1!)列,211-n 111-n.011 11100 02-3+2 2w-2二(-1)2+丁 Th+177(W-1)二(l)k/+l22(3)1 aa2 4111 11 a-13-1 y(a-1尸act 1a 2 a-n+11 a-2(2)2(a-2)i转置,a2(a-1)2(2)2(一+1)21 an+1(a n+1)2+n-l a(1尸(a-2)1 (a n+l)w-1范达蒙行列式T)2 i!2!.(”l)!注:根据范达蒙行列式原式=(_1)(_2
11、(_+1)=(_1)1+2+3+-+(2)1!2!.(_1)!(-1)2.)X+-1=(一1)2 1!2!(-1)!7 可-%i 0尸甲.a/;-b:a7 b2 q/片?咛 星(4)第行提出a:得n 一2乙2 t w-l inan+也+1“+14+1”“+12+1 年+i1 篇均a二k.4一可1b2段.姨也。%a22 a2球I d;.12+1%.hn-1%+1 4+1一1氏+1%+1%+1%+11 b邛一K1 axa;1目殳 2夕 n-lK境=a;a;a:7T(h bj、_/LUj U2,*an+%+产()7iu:uiZY ZT Cl-CL j端%A un+%匕1Un+2)+=一 X+&y+a
12、 u(二 X2+2 3 2 w+S 2 y 2+2blx+2 b M y+c)以o,_/2C co s(p si n cp n=l 时 A=l-疝(P co s 外/co s(p si n(p co s(p sm (p n=2 时/2=(si n 夕 co s 夕八一si n 夕 co s 力co s 2(p si n 2。=、一 si n 2夕 co s 2夕,co s 2 夕 si n 2 夕f co s 夕 si n 夕n=3 时 A3=A A=、一si n 2(p co s 2 夕,-si n(p co s(p,co s 3(p si n 3、一si n 3(p co s 3(p)(c
13、o s n(p sm n(p二假设/二si n n(pco s n(p,/,co s cp sm (p(1 当 n/=i 时,1=1一si n cp co s 外(.co s(p si n cp(2假设当介2时(n为自然数)成立,令-k,则(p co s/成立;当n=k+l时co ssi nk(p k(psi nco sk(p k(P,co s(p si nsi n(p co s、夕6f co s 左0si n k(p-si n 左 si n cp、一si n 左9 co s 9+co s kg sin(pco s-si nkcpsva 夕一 si n 左0 co s(p k(psin e+c
14、o s/co s(p)co s(左+1)同si n(左+1)0si n(左+1)co s 6+点成立co s n(p si n n(p综上当n微自然数时/=一$皿n(p co s n(p)1 0、(2)A=0 1 1、0 0 1,1 1 0、当 n=l 时,I=0 1 1、。J141111121当n=2时,A2010012当n=3时,A3101假设400o 11710110121001710111o)133、01101310101y0017n101当n=l时/=00假设n=k+l时1Ak+=AkA=001+kkr010011+左0100(一)、2n17110+k100、12k17110、011
15、k(k-l)2k+17左(左+1)21+左1成立n综.上当n为自然数时,A0110017(刘 一1)、2n00115A=(a 1 0 0、00a 1 00 a 1、0 0 0 a.当A=2时/2a0 a20 0,0 01 0、X 1a2 an=3时A3=00(03a2 3a 1a3 32 3a0 a3 3a20 0n=4时A4=(4 a4/000106a 2 4。4a 3 6a 2a4 4/0-(a5 5 a 4 10a 3 10a 4n=5 时 A5=00a505a4 a510a 35/000an几优t C:2an-2 C n na加_、30anan-2假设n2 3时成立400na na?-
16、l0002,7/a3i2 3a1、0a3 3/3a当n=3时 A3二00 优3a20 0a,(akkak-1*-2 a产30annak-x C.2ak-假设n=k时成立AK二100akkak-1。00ak7/CJkak-1C;a2 cd 一 3/a10q当 n=k+l 时 ak+l0akkak-1C 20a1000akkak00a0000ak jb00a,16整理得/k aka+kaklka,+cy-2+cy-20ak+xak+kakkak-l+C;400k+aak+kak、000尸)”(左+M dak+x=0 ak+(左+1)/成立0 0 ak+x(左+1)/0 0 0k+a7(2 n-2
17、3/7-3 Aa nci。n/“c l 2U a nci J a所以40 0 a nanx(心3)、0 0 0 an?1 4 2、综上a 1 00a2 2a 1 0、(an na-C盘屋、0 a 100 a2 2a 1,小 0 an nan-An=0 0a00 0 a2 2a0 0 a na、0 0 0a)、0 0 0 a2 jo 0 0 an;7、已知 B=0-3 2、0 4 3证明8二E,当n为偶数;B,当n为奇数证明:(13=04 2 V12、(-3-2 04 3104-34-20 0、1 00 03J 1.B2k=B2)k=Ek=EB2k+=B2kB=EB=BB=E,当n为偶数;B,当
18、n为奇数8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。证明:设两个n阶上三角形矩阵为AB,17斯 o&%q%nn且A=ann)B=ah22(0A0000bnn/根据矩阵乘法,AB=%也1“114 2+0a22l、00有%2b22、1 瓦+anb2n+%/122,22,2+。也4也7则可知AB为上三角形矩阵同理,可得BA也为上三角形矩阵。9、若 AB=BAAC=CA证明:A、B、C 为同阶矩阵,且 A(B+C)=(B+C)AA(BC)=BCA.证:设A=(明,40)冈,C=(C“xs由题知AB、BA有意义,则可知必有m=s,又由于AB=BA且AB为m Xn阶矩阵,则可知m=n,所以 A
19、、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵,故可得A、B、C为同阶矩阵A(B+C)=AB+AC(5+0 A=BA-C又由于=A4,ZC=C4)(B+C)A=BA+CA=AB+AC=A(B+C)A(BC)=(AB)C=B(AC)=B(G4)=BCA10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA,证明:(1)(A+B)2=A2+2AB+B2(=(3)+=Am+CAB2+Bm(加为正整数)解:(/+5)2=(/+5)(/+8)18=A-A+A B+B A-B=A1+AB+BA+B2由于4B=BA,则原式(Z+B)2=A2+2AB+B2(2)(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2由于Z5=5 2贝
20、lj A3 出0故+力 2_笈(3)数学归纳法当冽=2时,(N+5)2=/2+2AB+2成立 设相=孔时成立,(/+8)T=/T+(_ 1)A-2B+CAB1+Bn-l 当根=时,(Z+8)=(4+3)(/+3)a=(4+6(纪彳明炉8+可=(%+(-1)/一1+CAn-2B2+C:t/T53+.)+An-B+(n-1)An-2B2+-+Bn)=/+nAn-xB+C,3+(1)An-2B2+c 3+c ji/f 3+.+5=/+nAB+CAn2B2+3”综上,(A+B)n,=A1+CAB2+-+BmIk(A A b、U2 Unbz be b、解:由题知8必为阶矩阵,设8=口21 口22 2n,
21、b,b、b n 2 nn/19BA=4133 anb JA 2,22J飞口 62 P 1b b2乡21 b2nb2 2 2a2an)bb MeIM。3,卢林)2由于48=BA,且a2为两两互不相等,则必有除勾,怎,勾等元之外的元均为零,(bu故5=22 J即5必为对角矩阵。12、证明0)/=(%L,B=(b将/4分成根x 块,即/%2nxs/%1/114i则&2nA册2a 1 ml20/F中a A+2+4分*/uA+4 0才+册,)./砸第z个行向量为Mi+%昆+a*/=1,2,加(2)若将Z分成一列为一块,8分成力xs块即z=(4,4,4),8出鱼4八(1.力 8=(4,4,J/#6 4+2
22、-=4/#6 a+2-A/i+b./f-.勿的第/个列向量为牝4+匕4+A,13、a b c,-b a dA=一c d a-d c-ba b cT-b a dAAt=一c-d a-d c-bd1+b2+c2+d2 00 a2+b2+c2+c0 0、0 Ai%bns)b b 4 1%2 us,2I 人22 b2s%2b2,+b”4,2,+bA,d.ci-b-c-d.-c b a-d cb e d a-ba)yd-c b a?0 0i2 0 0a2+b2+c2+d2 00 a2+b2+c2+d221从而AAt 4a2+/+/+/又小=如|=(tz2+Z)2+c2+t/2214、(1)1+西歹11+
23、九291i+x y 2 i+x瑞1+XV 2记为D”1+x%i+il+x%1+”当 =2 时,D2=1+再必l+、2%1+X1%1+12歹2当题2 3时,10011111x200歹30%000二01400 0000故原行列式=(玉一%2)(乃一必),0,n3n=2记COScos2=cos-4)一%)3-%)1coscoscos(-%)1coscoscos(%一%)(%-%)3-%)cos_%)cos(%一%)COS(6Z3-6Z)1当=2时,D21COS(%一%)co s 一%)1=1-co s2(%当 2 3时,COS。sin a00COS%COS%.cos ancos%sin a200si
24、n asin%.sin anD.二*0 .0=0:cos ansin an0 000.022故2=,si n2=20,w 3记-J*l-anb21-V1 1-a 也21-axbn1-a;b;1-。也Dn=1-a2bl*1 a2b2*1-2*1-1-1 一岫1一也1 一。也a.=1+a.b.+q2 b:+.+a-%/t U 1 J 1 J 1 J则R=%n(%lz jn-)n(bj-bj y ijn=n(%-)(bj-1i j =co s a、si na-smaco s aA-x1*(cos a-7 A-.(-si n。si n。co s a.1(3)4=0、。1M=。0p(2)A=0,02-3
25、、1 20 b2 一 P1:=1 4*o 11 0、1 10 1,1-2 y=0 1、0。Jl1 0、当 n=l 时,1=0 1 1、0 0 J2假设 4=0 1 n0 0 11010、2P当n=2时,A2=011011012100J017100b12np10)q33当n=3时,A3=01i011=013iC:a2+C涉2、0ak+ak+kakkak-l+C注 100ak+lak+kakJ004J综ak+x(k+l)akci心+2、a1=0ak+i(k+l)ak成立00小1(k+Y)ak000ak+i)/a加一C:4cannan-C2an-2所以4c0n n-a na(3)00 an上2616
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