土木工程制图04平面立体及其轴测投影.pdf
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1、I绪论.1 01制图的基本知识与技能02投影基础I 03平面立体及其轴测投影 04曲面立体及其轴测投影!05工程形体的表达方法06标投影107房屋建筑施工图I 08结构施工图I 09建筑给水排水工程图 10道路、桥梁及涵洞工程图I绪论.1 01制图的基本知识与技能I 02投影基础I 03平面立体及其轴测投影 04曲面立体及其轴测投影!05工程形体的表达方法本章导读第5页本章导读图3-1建筑形体的组成土木工程中,我们经常会接触到 各种形状的建筑物,这些建筑物及其 配件的形状虽然复杂多样,但一般都 是由一些简单的几何体经过叠加、切 割或相交等形式组成的,如图3-1所 示。我们把这些简单的几何体称为
2、基 本几何体或基本体。本章主要介绍基本几何体中的平 面立体的相关知识,如平面立体及其 表面上点和线的投影、平面立体表面 交线的投影、同坡屋顶的交线,以及 绘制平面立体轴测图等内容。通过绘 制轴测图,可帮忙读者理解投影理论,提高空间想象力。技能目标第6页技能目标掌握各种常见平面立体的投影规 律和投影特性。掌握平面立体表面上点和线的投 影规律,并能够利用从属性法、积聚性法和辅助线法补画 立体表面上点和线的投影。掌握平面与平面立体相交,以及 平面立体与平面立体交接时的投影 画法。了解同坡屋顶交线的画法。能够绘制平面立体的轴测投影图。第三章平面立体及其轴测投影第7页第一节平面立体及其表面上点和线的投影
3、基本几何体的大小和形状是由其表 面限定的。按表面性质不同,基本几何 体可分为平面立体和曲面立体。我们把 表面全部由平面围成的几何体称为平面 立体,如棱柱、棱锥、棱台等,如图3-2 所示;把表面全部为曲面或由曲面和平 面围成的几何体,称为曲面立体,如圆 柱、圆锥、球体、圆环等。本章仅介绍 平面立体的相关知识。(d)四棱台(c)四棱锥图3-2平面立体第三章平面立体及其轴测投影第8页一平面立体的投影立体上相邻表面的交线称为棱线。由图3-2可知,平面立体的 表面都是平面多边形。常见的平面立体有棱柱体和棱锥体。其中,棱线与底面倾斜的棱柱体称为斜棱柱;棱线与底面垂直的棱柱体称 为直棱柱;上、下底面均为正多
4、边形的直棱柱称为正棱柱。棱锥体 的底面为多边形,棱线相交于一点,如图3-2中的四棱锥。棱柱体和棱锥体均以底面的形状来命名。例如,底面为三角形、四边形、五边形.边形的形体,分别称为三棱柱(锥)、四棱柱(锥)、五棱柱(锥).棱柱(锥)。平面立体的投影就是作出组成立体表面的各平面、各棱边和各 顶点的投影。由于点、直线和平面是构成平面立体表面的几何元素,因此,绘制平面立体的投影,归根结底是绘制点、直线和平面的投 影。在平面立体中,可见棱线用粗实线表示,不可见棱线用细虚线 表示,以此区分可见表面和不可见表面。第三章平面立体及其轴测投影第9页-)棱柱的投影(1)形体特征。棱柱是由两个底面和若 干棱面围成的
5、平面立体。棱柱的各棱线相互 平行,底面和顶面为多边形。如图3-3(a)所 示的正六棱柱,它是由上、下两底面和6个矩 形侧面组成的。其中,上、下两底面相互平 行,6个侧面均为全等的矩形,且与底面垂直。因此,6条棱线也相互平行,长度相等,且与 上、下两底面垂直。(2)摆放位置。摆放形体时应考虑两个 因素:一要使形体处于稳定状态,二要考虑 形体的工作状况。为了作图方便,应尽量使 形体的表面平行于投影面。如图3-3(a)所示 的正六棱柱,可将上下底面平行于H面、前后 侧面平行于丫面放置。图3-3正六棱柱的投影第三章平面立体及其轴测投影第10页(3)投影分析。图3-3(b)所示为正 六棱柱的投影图,它具
6、有如下特点。H面投影:为正六边形,它是上、下底 面的投影,且反映两底面实形;六边形的 6个顶点是6条棱边(铅垂线)的积聚投影。V面投影:为3个矩形线框。其中,中间 的矩形线框为前、后侧面的重合投影;左 侧矩形为左侧前、后侧面的重合投影,右 侧矩形为右侧前、后侧面的重合投影,它 们均为类似形;上、下两底面的投影积聚 为直线段。W面投影:为两个矩形线框,分别是左、右4个铅垂侧面的重合投影(不反映实 形)。厂通过上述分析可以得出棱柱体、的投影特性,具体为:(1)棱柱体在平行于上、下 底面的投影面上的投影反映底面实 形,即投影为多边形;(2)另外两面投影均为矩形,L或矩形的组合图形。第三章平面立体及其
7、轴测投影第11页知识基本体中柱体的投影特征可归 纳为矩矩为柱。这句话的含义 是:只要是柱体(包括圆柱和棱 柱),则必有两面投影的外线框为 矩形。反之,若某一形体的两面投 影的外线框为矩形,则该形体一定 是柱体,这时,可利用第三面投影 来判别具体是哪种柱体。rT.Y1第三章平面立体及其轴测投影第12页(二)棱锥的投影(1)形体特征。棱锥是由一个多边形 底面和若干个具有公共顶点(锥顶)的三角 形棱面围成的平面体。若一个棱锥的底面为 正多边形,且锥顶在底面的投影位于正多边 形的中心,则该棱锥称为正棱锥。棱锥的所 有棱线交于一点,侧棱面均为三角形,如图 3-4(a)所示。(2)摆放位置。底面平行于某一
8、投影 面,并尽量使多个侧面垂直于其他两个投影 面,以减少投影图中的虚线。如图3-4所示,将三棱锥的底面ABC平行于“面、侧面SAC 置于侧垂面放置。第三章平面立体及其轴测投影第13页(3)投影分析。图3-4(b)所示为正 三棱锥的投影图,它具有如下特点。H面投影:为等边三角形,它反映正三 棱锥的底面实形,3个侧面的投影表现为 类似形,顶点投影重合于等边三角形的垂 心。V面投影:为两个三角形,即左、右两 个侧棱面的类似形。W面投影:为一个三角形。其中,后侧 棱面SAC积聚为最后方的一直线段,左、右侧棱面的投影仍为三角形,且相互重合。图3-4正三棱锥的投影通过上述分析可以得出以下结 论:(1)三棱
9、锥在与其底面平行 的投影面中的投影反映底面实形,即投影为多边形或三角形的组合图 形;(2)另外两面投影为并列的 三角形。第三章平面立体及其轴测投影第14页锥体的投影特征可归纳为三 三为锥,即若形体有两面投影的 外线框均为三角形,则该形体一定 是锥体(包括棱锥和圆锥)。反之 凡是锥体,则必有两面投影的外线 框为三角形,这时,可利用第三面 投影来判别具体是哪种锥体。几种 常见棱锥的投影如图3-5所示。第三章平面立体及其轴测投影第15页(c)六棱锥(a)四棱锥(b)五棱锥图3-5几种常见棱锥的投影第三章平面立体及其轴测投影第16页二,平面立体表面上点和线的投影平面立体的表面都是平面多边形,求其表面上
10、取点、线的作图 问题,实质上就是求平面上点、线的投影问题。由于平面立体的各 表面存在着相对位置的差异,必然会出现投影的相互重叠,从而产 生各表面投影的可见与不可见问题。因此,对于平面立体表面上点 和线的投影,还应考虑其投影的可见性。判断立体表面上点、线可见性的原则是:如果点、线所在表面 的投影可见,则点、线的同面投影可见;否则,不可见。求立体表面上点和线的投影问题,一般是指已知立体的三面投 影和其表面上某一点的一面投影,求该点或线的其他两面投影。这 类问题的求解方法有从属性法、积聚性法和辅助线法。第三章平面立体及其轴测投影第17页-)利用从属性法和积聚性法作图 从属性法:当点位于立体表面的某条
11、棱 边上时,该点的投影必定在该棱线的投影 上。此时,可利用线上点的从属性求出该 点的投影。A 3积聚彳生法:当点所在的立体表面对某投 影面的投影具有积聚性时,该点的投影必 在该表面的积聚投影线上。此时,可利用 平面的积聚性求出该点的投影。如图3-6(a)所示,三棱柱后棱面上给 出了M点的正面投影(加),上表面给出了N 点的水平投影,可利用棱面和上表面投影的 积聚性直接作出M点和N点的水平投影加和正 面投影,如图3-6(b)所示。妒图3-6三棱柱表面上点的投影第三章平面立体及其轴测投影第18页【例3-1】已知立体表面上直线勺正 面投影加为,如图3-7(a)所示,试作该直 线的其他两面投影。分析:
12、由图3-7(a)可知,该形体的投影特 征符合梯梯为台的特性,故该图所示的形体 为四棱台。由于正面投影中的根”可见,因此可 判定该直线位于四棱台的前棱面上。由于M点在 棱边上,故可利用从属性法求出该点的其他 两面投影;N点所在的表面为侧垂面,其侧面投 影具有积聚性,因此可先利用表面的聚积性求出 点,然后再利用,点和点求出点。(a)已知条件图3-7利用从属性法和“积聚性法 求立体表面上点的投影第三章平面立体及其轴测投影第19页作图步骤(参见图3-7(b):(1)利用从属性法过万点作水平 直线和铅垂线,分别交四棱台的另外两面投 影于初点和加点。(2)利用积聚性法过川点作水平直 线交四棱台的侧面投影于
13、点,然后利用 点和4点求出水平投影点。(3)由于直线位于四棱台的前棱面 上,四棱台的前棱面的水平投影为可见梯形,因此,直线的水平投影如:不可见直线,即用直线依次连接水平投影中的小点和点即 可。(4)四棱台的前棱面在侧面投影中积(b)作图方法图3-7利用从属性法和积聚性法 求立体表面上点的投影聚为一条斜线,因此该平面上的直线的 投影)”为该斜线上的两点,因此可不用直J出接。J第三章平面立体及其轴测投影第20页二)利用辅助线法作图当点所在的立体表面无积聚投影时,该 点的投影必须利用辅助线法求出,即先过已 知点在立体表面上作一辅助直线(辅助线可 以是一般位置直线或特殊位置直线),求出 该直线的另外两
14、面投影,然后依据点的从 属性求出点的各面投影。第三章平面立体及其轴测投影第21页【例3-2】已知立体表面上M点和N点的 投影加和,如图3-8(a)所示,求作这两个 点的其他两面投影。分析:加点为可见点,故M点位于SAB平面上。由于SAB平面为一般位置平面,故M点的其他两面 投影需通过作辅助线求出。点为可见点,故N点 位于S3。平面上,同理可分析出S3。平面为一般位 置平面,故N点的其他两面投影也需要通过作辅 助线求出。(a)已知条件图3-8利用辅助线法求立体 表面上点的,殳影第三章平面立体及其轴测投影第22页作图步骤(参见图3-8(b):、(1)过点作一条平行于底面的辅助 线,该辅助线的投影交
15、sw于r点。由于r点 位于直线S0上,故可直接求出水平投影点1。(2)过1点作直线的平行线,则m点 的水平投影一定在该平行线上。因此,过 点作垂线交平行辅助线于一点,则该点即为 加点。(3)连接s点和点并延长,交直线儿于 点2;由于点2在底面ABC上,故可直接求出 其正面投影点7。(4)连接s,和7,则N点的正面投影一 定在s?上。因此,过点作垂线交于一点,则该点即为点。由于N点所在的平面S3。在 正面投影图中被SAB平面的投影遮挡,因此,d点的正面投影不可见,即为()。(b)作图方法图3-7利用辅助线法求立体 表面上点的温影当标 1第三章 平面立体及其轴测投影【例3-3】已大U图3-9(a)
16、朋小二梭锥的 三面投影及其表面上线段前的投影求作 该线段的其他两面投影。分析:从图3-9(a)可知,线段方的水平投 影拘见,则该线段必在左侧棱面SAB上。由于该 平面为一般位置平面,因此可过村乍一条辅助直 线,然后根据从属性求出瓦点和厂点的投影。第23页AA V l b(a)已知条件 图3-8利用辅助线法求立体 表面上点的,殳影第三章平面立体及其轴测投影第24页作图步骤(参见图3-9(b):(1)延长直线使其与SAB的两条 边相交于点1和点2。(2)根据从属性法依次作出点1和点2 点的侧面投影1,2及正面投影r,2然后 用细实线依次连接1点和2点,点和7点。(3)从水平投影中的e点和/点向上作
17、铅 垂线,并与直线分别交于,点禾,点;分 别过一点和厂点向右作水平线,与直线12的 交点即为e 点和广点。(4)由于直线方所在的平面的侧 面投影和正面投影均为可见三角形,因此直 线刀的侧面投影和正面投影也可见。用粗实 线依次连接,点和厂点,e点和/点,则线段 e尸和,广即为所求。(b)作图方法图3-7求作三棱锥表面上线段的投影第三章平面立体及其轴测投影第25页由以上例题可以看出,要在平面立体的表面上根据已知点 或已知直线的一个投影,求作其他面投影时,必须从以下几方 面着手:(1)首先分析平面立体的性质,以及立体表面与投影面的 相对位置;(2)分析所给出的点或直线位于立体的哪个表面上;(3)若点
18、或直线所在的表面有积聚性,则应先求出该表面 积聚投影上的点或线段的投影;若点或直线所在的表面为一般 位置平面,则应利用该平面上过已知点或直线的辅助线来求点 或直线的投影;(4)由后或直线的已知投影和求得的第二面投影,再根据 投影规律求出其第三面投影;(5)最后判别所求点或直线的投影的可见性。第二节 平面立体的表面交线土木工程中的平面立体在多数情况 下,以图3-10所示的3种形式出现。其中,图3-10(a)中的形体称为切割体,它是 利用平面来切割平面立体后形成的;图 3-10(b)所示为叠加体,是由多个平面 立体叠加后形成的;图3-10(c)所示为 平面立体与平面立体的交接。绘制图3-10所示形
19、体的投影,主要 是绘制平面与平面立体交线的投影,以 及平面立体与平面立体叠加或交接时交 线的投影图3-10平面立体的表面交线第三章平面立体及其轴测投影第27页一平面与平面立体相交平面与平面立体相交,可设想 为用平面截切平面立体,该平面称 为截平面,所得交线称为截交线,截交线所围成的平面图形称为截断 面,平面立体被平面截切后的形体,称为截切体,如图3-n所示。图3-11平面与平面立体相交第三章平面立体及其轴测投影第28页截平面与立体表面的相对位置不相同,所产生 的截交线的形状也可能不同,但所有的截交线都具 有以下两个基本性质。封闭性:因为任何基本体表面都是封闭的,而截 交线又是截平面和基本体表面
20、的交线,所以截交 线所围成的图形一定是封闭的。共有性:因为截交线既属于截平面,又属于基本 体表面,所以截交线是截平面和基本体表面的共 有线。由血可见,求作截交线的实质,就是求出截平 面与立体表面公共点的集合。第三章平面立体及其轴测投影第29页2.截切体投影的画法由图3-11可知,平面立体的表面 由若干个平面围成,因此平面立体的 截交线是由直线段围成的封闭多边形 该多边形的各边是截平面与各平面的 交线,顶点是棱边的投影或截平面与 各棱边的交点。因此,平面立体上截 交线的投影常采用交点法。所谓交点法,是指先求出平面立 体的各棱线与截平面的交点,然后将 各点依次连接起来即得截交线。连接 各交点时应注
21、意:只有两点在同一 投影面上时才能连接;可见棱面上 的两点用粗实线连接,不可见棱面上 的两点用细虚线连接。求平面立体切 摩,割体的投影时,要 先分析平面立体在未切割前的形状、它是怎样被切割的 以及截交线有何特 点等问题,然后再 进行作图。第三章平面立体及其轴测投影第30页【例3-4】已知五棱柱及其截平面的V面 投影和“面投影,如图3-12所示,求作五棱柱被截切后的三面投影图。分析:由图3-12可知,五棱柱的棱线均为铅 垂线,除了后方侧棱面为正平面外,其他侧棱面 均为铅垂面,上、下底面为水平面。截平面为正 垂面,截切五棱柱的上表面和4个侧棱面,所以,截交线的空间形状为五边形A5CLE图3-12五
22、棱柱截断体第三章平面立体及其轴测投影第31页作图步骤:(1)参照立体图在丫面投影和W面投影 上找到截断面ABC。略顶点的投影,并标上 相应的字母。C,。点在面上的投影c和何 利用积聚,笆去作出,并用直线连接,如图3-13(a)所示。(2)用细线画出未切割前五棱柱的W面 投影,如图3-13(a)所示。(3)由于A,C,瓦点是棱线与截平面 的交点,因此,可利用高正齐在W面投 影上找到点及点,再利用宽 相等可求出。点的W面投影。,然后用直 线依次连接。,br,cn,,次,点。(4)由于截断面在W面上的投影可见,故截交线为可见轮廓线。在侧面投影图中,五棱柱最右侧侧棱的上半部分被截断面遮挡,下半部分与最
23、左侧侧棱重合,因此该投影线 的上半部分应画成虚线,如图3-13(b)所示。图3-13补画五棱柱截断体的投影第三章平面立体及其轴测投影第32页【例3-5】已知正三棱锥被一正垂面斜切,且正面投影和水平投影的轮廓线已知,如图 3-14(a)所示,试补全该截断体的水平投影。分析:由于截平面与三棱锥的3个棱面相交,故截交线是一个三角形。由于截平面是正垂面,因此其正面投影积聚成一条直线,且该直线与三 棱锥各侧棱投影的交点即为截交线各顶点的正面 投影。在水平投影中找出这几个顶点的水平投影 然后用直接连接即为截交线的水平投影。第三章平面立体及其轴测投影第33页作图步骤:(1)在正面投影图上找到截交 线各顶点的
24、正面投影r,2,3,然 后在水平投影中对应棱线的投影上找 出点I和点in的水平投影点1和点3,如图3-14(b)所示。(2)由于点n在侧平线S3上,故点n的水平投影需借助辅助线求出,其作图方法如图3-14(c)所示。(3)用直线连接水平投影中的 点1、点2和点3,可得截交线的水平 投影,然后用直线连接这3个点与三 棱锥底面各顶点,最后擦去多余的线 条并加深,结果如图3-14(d)所示。图3-14正三棱锥截交线的作图步骤第三章平面立体及其轴测投影第34页【例3-6】补全图3-15所示带切口的三 棱锥的水平投影和侧面投影。分析:图3-15所示形体为三棱锥被两个截 平面(水平面和正垂面)切割后形成的
25、,如图 3-16所示。因此,要补画该切口的水平投影和 侧面投影,只需求出两个截平面与三棱锥表面 的交线,以及两截平面之间的交线。图3-15已知条件图3-16三棱锥切割体第三章平面立体及其轴测投影第35页(1)由于水平截平面与棱锥的底面 ABC平行,所以。石AB,DF/ACO由 于。点是棱边SA上的一点,因此,过正 投影图中的d点作铅垂线,交水平投影线 sq于点;过点作帅的平行线,可得e点。同理,可得至此点。最后根据de,dflWde1,dff,可求出侧面投影de和丁,如图 3-17(a)所亦。图3-17补画三棱锥切割体的水平投影和侧面投影第三章平面立体及其轴测投影第36页(2)正垂面可利用正面
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