高三数学空间向量专题复习附答案.doc

一、利用向量处理平行与垂直问题
A
B
C
A1
B1
C1
M
y
z
例1、 在直三棱柱中，, ,是得中点。求证：

练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

例2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面

A
B
C
D
E
F
x
y
z
M
N

练习1、在正方体中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F

2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
A
B
C
D
E
P
x
y
z
F

二、利用空间向量求空间的角的问题
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E1
F1
H
G
例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。

A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E1
F
例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小

A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
例3 在正方体中,求二面角的大小。

例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角的大小。

三、利用空间向量求空间的距离的问题
例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。

例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。

例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。

空间向量与立体几何考点系统复习
一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）
A
B
C
A1
B1
C1
M
y
z
例1、 在直三棱柱中，, ,是得中点。求证：
证明：如图，建立空间坐标系

练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），
=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，
∵B1D⊥面PAC，∴，
∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC
例2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面
证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
A
B
C
D
E
F
x
y
z
M
N

又平面CDE的一个法向量
由
得到
因为MN不在平面CDE内
所以NM//平面CDE
练习1、在正方体中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
,
因为
所以
所以平面
2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
解答：根据题设条件，结合图形容易得到：
A
B
C
D
E
P
x
y
z
F

假设存在点F
。

又，
则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得
即有
所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。
二、利用空间向量求空间的角的问题
例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E1
F1
H
G
解：设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系
,，＝15

例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E1
F
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
为D1AC平面的法向量，

所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
例3 在正方体中,求二面角的大小。
解： 求出平面与平面的法向量

例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
（1）

A1D与EF所成角是
（2）,

（3）,，
二面角的正弦值为
三、利用空间向量求空间的距离的问题
例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。
解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）
∴ =（－1,1,－）， =（－1,0,－） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为，则

即
所以，点B1到平面A1BC的距离
例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
解：（I）略
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量，又
点E到平面ACD的距离
例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离

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